初中数学北师大版七年级下册4 利用轴对称进行设计示范课ppt课件
展开在几何图形中添加辅助线,往往能把分散的条件集中, 使隐蔽的条件显露,将复杂的问题简单化.例如:作“三线” 中的“一线”或平行线说明线段相等,利用截长补短法说明 线段和、差关系或求角的度数,利用倍长中线法说明线段的 倍分关系等,将不在同一个三角形中的线段转移到同一个三 角形(两个全等三角形)中,然后运用等腰三角形(全等三角 形)的性质来解决问题.
方法1 等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线1.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中 点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF.试说明:(1)DE=DF;
【解】因为△BED≌△AFD,所以 ∠BDE=∠ADF,所以∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°,所以∠EDF=90°,所以DE⊥DF.
方法2 等腰三角形中没有底边中点时常作底边上的高2.[2023·武汉黄陂区期中]如图,点D,E在△ABC的边BC上 (不与点B,C重合),AB=AC,AD=AE.(1)如图①,试说明:BD=CE;
【解】(1)如图①,过点A作AH⊥BC于点H.因为AB=AC,AD=AE,AH⊥BC,所以BH=CH,DH=EH,所以BH-DH=CH-EH,即BD=CE.
(2)如图②,当AD=CD时,过点C作CM⊥AD于点M.若DM =2,求CD-BD的值.
方法3 等腰三角形中说明与底有关的线段相等时常作底的 平行线3.如图,在等边三角形ABC中,D是边AC的延长线上一点, 延长BC至点E,使CE=AD,DG⊥BE于点G.试说明:BG =EG.
【解】如图,过点D作DF∥BE,交AB的延长线于点F,则 ∠ABC=∠F,∠ACB=∠ADF.
因为△ABC是等边三角形,
所以AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠A=60°,
所以∠AFD=∠ADF=60°,
易得△ADF是等边三角形,
所以AD=FD=AF,
所以AD-AC=AF-AB,即CD=BF.
因为AD=CE,所以FD=CE.
因为∠DCE=∠ACB=60°,所以∠DFB=∠ECD.
所以△FBD≌△CDE(SAS),
所以DB=ED,即△BDE是等腰三角形.
又因为DG⊥BE于点G,所以G为BE的中点,
方法4 等腰三角形中说明与腰有关的线段相等时常作腰的 平行线4.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发,沿线段BA 移动(点P不与点A,B重合),同时,点Q从点C出发,沿线 段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与BC相交于点D.(1)试说明:PD=QD.
(2)过点P作BC的垂线,垂足为E,点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.
方法5 补形法构造等腰三角形5.如图,AB∥CD,∠1=∠2,AD=AB+CD.试说明:(1)BE=CE;
【解】(1)如图,延长AB,DE交于点F.因为AB∥CD,所以∠2=∠F.又因为∠1=∠2,所以∠1=∠2=∠F,易得AD=AF.因为AD=AB+CD,AF=AB+BF,所以 CD=BF.因为∠DEC=∠FEB,所以△DCE≌△FBE(AAS),所以BE=CE.
【解】由(1)知△DCE≌△FBE,所以DE=EF.又因为AD=AF,所以AE⊥DE.
(3)AE平分∠DAB.
【解】因为DE=EF,AD=AF,所以AE平分∠DAB.
方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图,在△ABC中,AD为中线,点E为AB上一点,AD, CE交于点F,且AE=EF.
【解】如图,延长AD至点G,使DG=AD,连接CG.
因为AD为△ABC的中线,
又因为∠ADB=∠GDC,
所以△ABD≌△GCD(SAS),
所以AB=GC,∠BAD=∠G.
因为AE=EF,所以∠EAF=∠EFA.
又因为∠EFA=∠CFG,所以∠G=∠GFC,
易得CG=CF,所以AB=CF.
方法7 延长(截取)法构造等腰三角形
7.如图,在△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠ACB交AB于点 D.试说明:AC+AD=BC.
【解法一】如图①,延长CA至点E,使AE=AD,连接 DE,则∠E=∠ADE.
所以∠BAC=180°-∠DAE=∠E+∠ADE=2∠E.
因为∠BAC=2∠B,所以∠E=∠B.
因为CD平分∠ACB,所以∠ECD=∠BCD.
又因为CD=CD,所以△CDE≌△CDB(AAS),
因为CE=AC+AE=AC+AD,
所以AC+AD=BC.
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