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宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第六次月考试题 数学（文） Word版含答案
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这是一份宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第六次月考试题 数学（文） Word版含答案，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合.A={-1,0,1,2},B={x|0<2-x<3},则A∩B=
A. {0,1} B. {-1,0} C. {-1,0,1} D. {0,1,2}
2. 已知向量 m=2λ,n=2−λ−4,若m与n共线且同向，则实数λ的值为
A. 2 B. 4 C. -2 D. -2或4
3. 若(i+z)z=4+2i, 则 z+z2=
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知平面α，β，直线l⊂α，直线m不在平面α上， 下列说法正确的是
A. 若α∥β,m∥β, 则l∥m B. 若α∥β,m⊥β, 则l⊥m
C. 若l∥m,α∥β, 则m∥β D. 若l⊥m,m∥β, 则α⊥β
5. 在区间(1,2)和(2,3)中各随机取1个数x和y, 则 y−x<12的概率为
A. 78 B. 12 C. 14 D. 18
6. 在等比数列{an}中, a₂, a₆是方程: x²−8x+m=0两根，若 a₃a₅=3a₄, 则 m的值为
A. 3 B. 9 C. -9 D. -3
7. 已知圆 C₁:x−a²+y+2²=4与圆 C₂:x+b²+y+1²=1相外切，则ab的最大值为
A. 2 B.17
94 D. 4C.
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的n值是
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
9. 若函数 fx=x2−12lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围
A. [1,+∞) B.132 C.−1232 D.132
10. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a0,b>0)的右焦点F 与抛物线 y²=8x的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点A(m,2 3), 则双曲线的方程为
A.x212−y24=1 B.x24−y212=1 C.x23−y2=1 D.x2−y23=1
11. 下列关于函数 fx=1−2sin2x−π4的说法错误的是
A. 最小正周期为π B. 最大值为1, 最小值为-1
C. 函数图象关于直线x=0对称 D. 函数图象关于点 (π/2.0),对称
12. 已知f(x)是奇函数，且在[0，+∞)上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在(-∞，0)上单调递增的是
A. g(x)=f(x)-f(-x) B. g(x)=f(x)+f(-x)( C.gx=f2ˣ−2⁻ˣ D. g(x)=f(-x)-f(x)二、填空题(本大题共4 小题，每小题5分. 共20分)
13. 已知单位向量ā, b满足( 2a+b⊥b,则ā与b的夹角为 .
14. 函数 fx=lg21−x,x<04x,x≥0, 则f(-3)+f(lg₂3)= .
15. 设Sn是等比数列{an}的前n项和, S₃, S₉, S₆成等差数列,且( a₄+a₇=2aₙ.则n= .
16.有甲、乙两个班级共计105 人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：附: K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
C
30
已知在全部 105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 27，则下列说法正确的是 .
①列联表中c的值为30, b的值为35; ②列联表中c的值为20, b的值为 45;
③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
三、解答题(共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。)
(一)必考题: (共 60 分)
17.(本小题满分 12分)
在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知( ac=2a²−b²−c²,且sinA=2sinB.
(1)求A的大小;
(2)求 cs(A-2B)的值.
18. (本小题满分12分)
在如图所示的直三棱柱 ABC−A₁B₁C₁中, D、E分别是BC、A₁B₁的中点.
(1)求证: DE∥平面 ACC₁A₁;
(2)若△ABC为等边三角形, 且AB=AA₁, M为AB上的一点, AM=14AB,求直线 DE与直线 A₁M所成角的正切值.
19. (本小题满分 12分)
2022年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策.某地为了检测双减的落实情况，从某高中选了6名同学，检测课外学习时长(单位：分钟)，相关数据如下表所示.
(1)若从被抽中的 6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于 210分钟的概率；
(2)下表是某班统计了本班同学2023 年 1-7月份的人均月课外劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月课外劳动时间y关于月份x的线性回归方程 y=bx+4,y与x的原始数据如下表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 ∑i=17xiy1=452.
(i) 求m , n的值;
(ii)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差).P(K²≥k₀)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.0005
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
学生序号
1
2
3
4
5
6
学习时长/分
220
180
210
220
200
230
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y
8
9
m
12
n
19
22
附: y=bx+a,b=∑i=1nxi−xyi−y∑i=1nxi−x2=}∑i=1nxi2−nx2.
20. (本小题满分 12分)
已知椭圆. E:x2a2+y2b2=1ab>0)的上顶点为B，左、右焦点分别为 F₁,F₂,离心率 e=32,BF1F2的面积为 3.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)直线l:y=kx+m(m≠±1)与椭圆E 相交于点P,Q, 则直线BP,BQ的斜率分别为 k₁,k₂,且 k₁+k₂=1,则直线l是否经过某个定点A? 若是，请求出A的坐标.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数. fx=eˣ−ax²+x−1.
(1)当a=1时, 求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)=0有两个不等的实根，求实数a的取值范围.
(二)选考题(共10分.请考生在第22、23 两题中任选一题做答，如果多做. 则按所做的第一题记分。)
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为 x=t+1y=1−t2 (t为参数). 以坐标原点O 为极点. x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ρcsθ+3ρsinθ+m=0.
(1)求曲线 C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线 C存在两个公共点，求实数m的取值范围.
23. [选修4—5: 不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x-1|+|2x-m|, m∈R.
(1)当m=3时, 解不等式f(x)≤2;
(2)若存在x₀满足 |x₀−1|+fx₀<3,求实数m的取值范围.2024届高三月第六次月考数学(文科) 试卷答案
一、 选择题
二、 填空题
13. 2π3 14. 11 15. 10 16. ②③
三、解答题
17.(本小题满分 12分)
解: (1)根据正弦定理, 由sinA=2sinB得: a=2b, 又因为 ac=2a²−b²−c²,所以，由余弦定理得： csA=b2+c2−a22bc=−12acac=−12;又因为0(2)因为sin A=2sinB, 所以 sinB=34,因为A为钝角，所以B为锐角，所以 csB=1−sin2B=134, 于是 sin2B=2sinBcsB=398,cs2B=1−2sin2B=58,所以 csA−2B=csAcs2B+sinAsin2B=−12×58+32×398=313−516.
18. (本小题满分 12分)
解: (1)证明: 取AB的中点 F, 连接DF, EF, (2分)在△ABC中, 因为D, F分别为BC, AB的中点, 所以DF∥AC, DF∥平面ACC₁A₁,AC⊂平面ACC₁A₁,所以DF∥平面ACC₁A₁.(4分)在矩形ABB₁A₁中,因为E, F分别为A₁B₁, AB的中点, 所以EF∥AA₁, EFφ平面ACC₁A₁,AA₁⊂平面ACC₁A₁, 所以EF∥平面ACC₁A₁.(6分)因为DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ACC₁A₁.(4分)因为DE⊂平面DEF, 所以DE∥平面ACC₁A₁.(6分)
(2)因为三棱柱 ABC−A₁B₁C₁为直三棱柱, 所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁,连接CF, 因为 △ABC为正三角形，F为AB中点, 所以CF⊥AB,所以CF⊥平面ABB₁A₁.取BF的中点G, 连接DG, EG, 可得] DG‖CF,故DG⊥平面 ABB₁A₁.又因为 AM=14AB,所以EG∥A₁M,所以∠DEG 即为直线DE与直线A₁M所成角.(16分)设 AB=4,在 Rt△DEG中, DG=12CF=3,EG=16+1=17,所以 tan∠DEG=317=5117(12 分)
19.【详解】(1)用(x，y)表示从被抽中的 6名同学中随机抽出 2名同学的序号分别为x和y，则基本事件有(1，2)，(1，3)，(1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6), 共15个, 将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件， 由已知，序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟, ∴事件A 中基本事件有(1,3), (1,4), (1,6), (3,4), (3,6), (4,6), 共6个, ∴PA=615=25;
(2)(i) 由表知 x=17×1+2+3+4+5+6+7=4,y=17×8+9+m+12+n+19+22=70+m+n7,
∴∑i=17xi−x2=−32+−22+−12+02+12+22+32=28,∴î=}∑i=xi−x2452−7×4×70+m+n728 即 m+n=43−7b,
①∵回归直线恒过样本点的中心 xy,∴70+m+n7=4b+4,即 m+n=28b−42,②
由①②, 得 b=177,m+n=26,circle3;∑i=17x,yi=8+18+3m+48+5n+114+154=452,∴3m+5n=110,(①由③④, 得m=10, n=16.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
B
D
B
A
A
B
D
C
D
(ii) ∵线性回归方程为 y=177x+4,∴当x=6时, 预测值 ∧y=177×6+4=1307,此时残差为 19−1307=37.
20.【详解】(1) 因为B(0,b),△BF₁F₂的面积. S=12×2c×b=bc=3, 且 e=ca=32, 又 a²=b²+c²,故解得 a=2,c=3,b=1, 则 a²=4,b²=1,则隋圆E的标准方程为 x24+y2=1;
(2) 假设 Px₁y₁,Qx₂y₂,直线与椭圆联立得 x24+y2=1y=kx+m,消去y整理得 4k²+1x²+8kmx+4m²−4=0,则 x1+x2≡−8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1,又因为B(0,1), 所以 k1=y1−1x1,k2=y2−1x2,
则 k1+k2=y1−1x1+y2−1x2=kx1+m−1x2+kx2+m−1x1x1x2=1, 即 2kx1x2+m−1x1+x2x1x2=1,
代入韦达定理得 2k2−44k2+1+m−1−8km4k2+14m2−44k2+1=1, 即 2k4m2−4+m−1−8km4m2−4=1, 化简得 2km−1m2−1=1,
因为m≠±1, 则 2km+1=1,即2k=m+1,2k-1=m代入直线得(1:y=kx+2k-1,即l:y+1=k(x+2)
所以直线l经过定点A(-2,-1).
21. 【详解】(1)当a=1时, fx=eˣ−x²+x−1,f'x=eˣ−2x+1,f1=e−1,f'1=e−1所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(e-1)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y=0.
(2)显然f(0)=0, 要使方程f(x)=0有两个不等的实根,只需当x≠0时,f(x)=0有且仅有一个实根, 当x≠0时, 由方程f(x)=0,
得 a=ex+x−1x2.令 gx=ex+x−1x2x≠0, 则直线.y=a与 gx=ex+x−1x2x≠0的图象有且仅有一个交点. g'x=ex+1x2−2xex+x−1x4=x−2ex−1x3.
又当x<0时, g'(x)<0,g(x)单调递减,当02时, g'(x)>0,g(x)单调递增,所以当x=2时, g(x)取得极小值 g2=e2+14, 又当x<0时, eˣ<1,所以 eˣ+x−1<0,即g(x)<0, 当x>0时, c³>1,c³+x−1>0,即g(x)>0，所以作出g(x)的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y=a与
gx=ex+x−1x2x≠0的图象有且仅有一个交点，只需a<0或
a=e2+14综上，若f(x)=0有两个不等的实根，则a的取值范围为 −∞0∪e2+14.
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程](10分)
【详解】(1) 由 x=t+1y=1−t2(t为参数), 得 x−1=ty=1−t2(t为参数)，两式平方相加，得 C的普通方程为 x−1²+y²=1(y≥0). 由 ρcsθ+3ρsinθ+m=0,得1的直角坐标方程为 x+3y+m=0.
(2)数形结合，直线 x+3y+m=0过点(2,0)时得到m=-2. 直线. x+3y+m=0与曲线 C相切时 |1+m|12+32=1,解得 m=-3或m=1 (舍去). 所以-332时, 则 fx=x−1+2x−3=3x−4≤2,解得 x≤2, 此时， 32(2) 解: 若存在x₀满足 x₀ x₀−1|+fx₀<3,等价于 |2x−2|+|2x−m|<3有解，
由三角不等式可得 |2x−2|+|2x−m|≥|2x−2−2x−m|=|m−2|,，当且仅当( 2x−22x−m≤0时，等号成立，只需 |m−2|<3即可，即 −3
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合.A={-1,0,1,2},B={x|0<2-x<3},则A∩B=
A. {0,1} B. {-1,0} C. {-1,0,1} D. {0,1,2}
2. 已知向量 m=2λ,n=2−λ−4,若m与n共线且同向，则实数λ的值为
A. 2 B. 4 C. -2 D. -2或4
3. 若(i+z)z=4+2i, 则 z+z2=
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知平面α，β，直线l⊂α，直线m不在平面α上， 下列说法正确的是
A. 若α∥β,m∥β, 则l∥m B. 若α∥β,m⊥β, 则l⊥m
C. 若l∥m,α∥β, 则m∥β D. 若l⊥m,m∥β, 则α⊥β
5. 在区间(1,2)和(2,3)中各随机取1个数x和y, 则 y−x<12的概率为
A. 78 B. 12 C. 14 D. 18
6. 在等比数列{an}中, a₂, a₆是方程: x²−8x+m=0两根，若 a₃a₅=3a₄, 则 m的值为
A. 3 B. 9 C. -9 D. -3
7. 已知圆 C₁:x−a²+y+2²=4与圆 C₂:x+b²+y+1²=1相外切，则ab的最大值为
A. 2 B.17
94 D. 4C.
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的n值是
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
9. 若函数 fx=x2−12lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围
A. [1,+∞) B.132 C.−1232 D.132
10. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a0,b>0)的右焦点F 与抛物线 y²=8x的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点A(m,2 3), 则双曲线的方程为
A.x212−y24=1 B.x24−y212=1 C.x23−y2=1 D.x2−y23=1
11. 下列关于函数 fx=1−2sin2x−π4的说法错误的是
A. 最小正周期为π B. 最大值为1, 最小值为-1
C. 函数图象关于直线x=0对称 D. 函数图象关于点 (π/2.0),对称
12. 已知f(x)是奇函数，且在[0，+∞)上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在(-∞，0)上单调递增的是
A. g(x)=f(x)-f(-x) B. g(x)=f(x)+f(-x)( C.gx=f2ˣ−2⁻ˣ D. g(x)=f(-x)-f(x)二、填空题(本大题共4 小题，每小题5分. 共20分)
13. 已知单位向量ā, b满足( 2a+b⊥b,则ā与b的夹角为 .
14. 函数 fx=lg21−x,x<04x,x≥0, 则f(-3)+f(lg₂3)= .
15. 设Sn是等比数列{an}的前n项和, S₃, S₉, S₆成等差数列,且( a₄+a₇=2aₙ.则n= .
16.有甲、乙两个班级共计105 人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：附: K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
C
30
已知在全部 105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 27，则下列说法正确的是 .
①列联表中c的值为30, b的值为35; ②列联表中c的值为20, b的值为 45;
③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
三、解答题(共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。)
(一)必考题: (共 60 分)
17.(本小题满分 12分)
在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知( ac=2a²−b²−c²,且sinA=2sinB.
(1)求A的大小;
(2)求 cs(A-2B)的值.
18. (本小题满分12分)
在如图所示的直三棱柱 ABC−A₁B₁C₁中, D、E分别是BC、A₁B₁的中点.
(1)求证: DE∥平面 ACC₁A₁;
(2)若△ABC为等边三角形, 且AB=AA₁, M为AB上的一点, AM=14AB,求直线 DE与直线 A₁M所成角的正切值.
19. (本小题满分 12分)
2022年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策.某地为了检测双减的落实情况，从某高中选了6名同学，检测课外学习时长(单位：分钟)，相关数据如下表所示.
(1)若从被抽中的 6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于 210分钟的概率；
(2)下表是某班统计了本班同学2023 年 1-7月份的人均月课外劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月课外劳动时间y关于月份x的线性回归方程 y=bx+4,y与x的原始数据如下表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 ∑i=17xiy1=452.
(i) 求m , n的值;
(ii)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差).P(K²≥k₀)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.0005
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
学生序号
1
2
3
4
5
6
学习时长/分
220
180
210
220
200
230
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y
8
9
m
12
n
19
22
附: y=bx+a,b=∑i=1nxi−xyi−y∑i=1nxi−x2=}∑i=1nxi2−nx2.
20. (本小题满分 12分)
已知椭圆. E:x2a2+y2b2=1ab>0)的上顶点为B，左、右焦点分别为 F₁,F₂,离心率 e=32,BF1F2的面积为 3.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)直线l:y=kx+m(m≠±1)与椭圆E 相交于点P,Q, 则直线BP,BQ的斜率分别为 k₁,k₂,且 k₁+k₂=1,则直线l是否经过某个定点A? 若是，请求出A的坐标.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数. fx=eˣ−ax²+x−1.
(1)当a=1时, 求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)=0有两个不等的实根，求实数a的取值范围.
(二)选考题(共10分.请考生在第22、23 两题中任选一题做答，如果多做. 则按所做的第一题记分。)
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为 x=t+1y=1−t2 (t为参数). 以坐标原点O 为极点. x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ρcsθ+3ρsinθ+m=0.
(1)求曲线 C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线 C存在两个公共点，求实数m的取值范围.
23. [选修4—5: 不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x-1|+|2x-m|, m∈R.
(1)当m=3时, 解不等式f(x)≤2;
(2)若存在x₀满足 |x₀−1|+fx₀<3,求实数m的取值范围.2024届高三月第六次月考数学(文科) 试卷答案
一、 选择题
二、 填空题
13. 2π3 14. 11 15. 10 16. ②③
三、解答题
17.(本小题满分 12分)
解: (1)根据正弦定理, 由sinA=2sinB得: a=2b, 又因为 ac=2a²−b²−c²,所以，由余弦定理得： csA=b2+c2−a22bc=−12acac=−12;又因为0
18. (本小题满分 12分)
解: (1)证明: 取AB的中点 F, 连接DF, EF, (2分)在△ABC中, 因为D, F分别为BC, AB的中点, 所以DF∥AC, DF∥平面ACC₁A₁,AC⊂平面ACC₁A₁,所以DF∥平面ACC₁A₁.(4分)在矩形ABB₁A₁中,因为E, F分别为A₁B₁, AB的中点, 所以EF∥AA₁, EFφ平面ACC₁A₁,AA₁⊂平面ACC₁A₁, 所以EF∥平面ACC₁A₁.(6分)因为DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ACC₁A₁.(4分)因为DE⊂平面DEF, 所以DE∥平面ACC₁A₁.(6分)
(2)因为三棱柱 ABC−A₁B₁C₁为直三棱柱, 所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁,连接CF, 因为 △ABC为正三角形，F为AB中点, 所以CF⊥AB,所以CF⊥平面ABB₁A₁.取BF的中点G, 连接DG, EG, 可得] DG‖CF,故DG⊥平面 ABB₁A₁.又因为 AM=14AB,所以EG∥A₁M,所以∠DEG 即为直线DE与直线A₁M所成角.(16分)设 AB=4,在 Rt△DEG中, DG=12CF=3,EG=16+1=17,所以 tan∠DEG=317=5117(12 分)
19.【详解】(1)用(x，y)表示从被抽中的 6名同学中随机抽出 2名同学的序号分别为x和y，则基本事件有(1，2)，(1，3)，(1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6), 共15个, 将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件， 由已知，序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟, ∴事件A 中基本事件有(1,3), (1,4), (1,6), (3,4), (3,6), (4,6), 共6个, ∴PA=615=25;
(2)(i) 由表知 x=17×1+2+3+4+5+6+7=4,y=17×8+9+m+12+n+19+22=70+m+n7,
∴∑i=17xi−x2=−32+−22+−12+02+12+22+32=28,∴î=}∑i=xi−x2452−7×4×70+m+n728 即 m+n=43−7b,
①∵回归直线恒过样本点的中心 xy,∴70+m+n7=4b+4,即 m+n=28b−42,②
由①②, 得 b=177,m+n=26,circle3;∑i=17x,yi=8+18+3m+48+5n+114+154=452,∴3m+5n=110,(①由③④, 得m=10, n=16.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
B
D
B
A
A
B
D
C
D
(ii) ∵线性回归方程为 y=177x+4,∴当x=6时, 预测值 ∧y=177×6+4=1307,此时残差为 19−1307=37.
20.【详解】(1) 因为B(0,b),△BF₁F₂的面积. S=12×2c×b=bc=3, 且 e=ca=32, 又 a²=b²+c²,故解得 a=2,c=3,b=1, 则 a²=4,b²=1,则隋圆E的标准方程为 x24+y2=1;
(2) 假设 Px₁y₁,Qx₂y₂,直线与椭圆联立得 x24+y2=1y=kx+m,消去y整理得 4k²+1x²+8kmx+4m²−4=0,则 x1+x2≡−8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1,又因为B(0,1), 所以 k1=y1−1x1,k2=y2−1x2,
则 k1+k2=y1−1x1+y2−1x2=kx1+m−1x2+kx2+m−1x1x1x2=1, 即 2kx1x2+m−1x1+x2x1x2=1,
代入韦达定理得 2k2−44k2+1+m−1−8km4k2+14m2−44k2+1=1, 即 2k4m2−4+m−1−8km4m2−4=1, 化简得 2km−1m2−1=1,
因为m≠±1, 则 2km+1=1,即2k=m+1,2k-1=m代入直线得(1:y=kx+2k-1,即l:y+1=k(x+2)
所以直线l经过定点A(-2,-1).
21. 【详解】(1)当a=1时, fx=eˣ−x²+x−1,f'x=eˣ−2x+1,f1=e−1,f'1=e−1所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(e-1)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y=0.
(2)显然f(0)=0, 要使方程f(x)=0有两个不等的实根,只需当x≠0时,f(x)=0有且仅有一个实根, 当x≠0时, 由方程f(x)=0,
得 a=ex+x−1x2.令 gx=ex+x−1x2x≠0, 则直线.y=a与 gx=ex+x−1x2x≠0的图象有且仅有一个交点. g'x=ex+1x2−2xex+x−1x4=x−2ex−1x3.
又当x<0时, g'(x)<0,g(x)单调递减,当0
gx=ex+x−1x2x≠0的图象有且仅有一个交点，只需a<0或
a=e2+14综上，若f(x)=0有两个不等的实根，则a的取值范围为 −∞0∪e2+14.
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程](10分)
【详解】(1) 由 x=t+1y=1−t2(t为参数), 得 x−1=ty=1−t2(t为参数)，两式平方相加，得 C的普通方程为 x−1²+y²=1(y≥0). 由 ρcsθ+3ρsinθ+m=0,得1的直角坐标方程为 x+3y+m=0.
(2)数形结合，直线 x+3y+m=0过点(2,0)时得到m=-2. 直线. x+3y+m=0与曲线 C相切时 |1+m|12+32=1,解得 m=-3或m=1 (舍去). 所以-3
由三角不等式可得 |2x−2|+|2x−m|≥|2x−2−2x−m|=|m−2|,，当且仅当( 2x−22x−m≤0时，等号成立，只需 |m−2|<3即可，即 −3
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