2024七下数学极速提分法第5招应用思想方法解相交线与平行线问题的八种技巧课件（北师大版）

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北师版七年级下第5招　应用思想方法解相交线与平行线问题的八种技巧数学思想与方法是解决数学问题的核心.只有掌握相关的数学思想与方法，才能正确思考数学问题，找到正确解法.解相交线与平行线问题时，常用的方法有基本图形(添加辅助线)法、分离图形法，常用的数学思想有方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、建模思想、从特殊到一般的思想. 如图，若∠BCD＝∠B＋∠D，试说明AB与DE的位置关系. 欲得出AB与DE的位置关系，从已知条件中无法直接得出结论，需用基本图形法作辅助线将原图演变成“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形，再根据平行线的性质和判定进行说明.解：在∠BCD的内部作∠DCF＝∠D，如图所示，则DE∥FC.因为∠BCD＝∠B＋∠D，∠BCD＝∠DCF＋∠FCB，所以∠FCB＝∠B.所以FC∥AB.所以AB∥DE. 基本图形(添加辅助线)法1.如图，请探索：要想得到AB∥CD，∠1，∠2，∠3之间应满足怎样的数量关系？【解】应满足∠1＝∠2＋∠3.理由：如图，过点E作EF∥AB，则∠1＋∠AEF＝180°.而若有AB∥CD，则必有EF∥CD.所以∠3＋∠2＋∠AEF＝180°.所以∠1＝∠2＋∠3.所以要想得到AB∥CD，∠1，∠2，∠3之间应满足∠1＝∠2＋∠3. 分离图形法2.若平行线EF，MN与相交线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？【解】如答图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角. 方程思想3.如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD.若∠EOF＝170°，求∠COD的度数.【解】因为AO⊥OB，所以∠AOB＝90°.设∠COD＝x. 因为OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，所以2∠COF＝∠BOC，2∠EOD＝∠AOD.因为∠EOF＝x＋∠COF＋∠EOD＝170°，所以∠COF＋∠EOD＝170°－x.又因为x＋2∠COF＋2∠EOD＋90°＝360°，所以x＋2(170°－x)＋90°＝360°.所以x＝70°，即∠COD＝70°. 转化思想4.如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D.试说明：BD∥CE.【解】因为∠1＝∠2，所以AD∥BE.所以∠D＝∠DBE.因为∠3＝∠D，所以∠DBE＝∠3.所以BD∥CE. 数形结合思想5.[2023·江苏天一中学期中]如图，在三角形ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2.(1)试说明：AF∥BC；【解】因为DE∥AC，所以∠1＝∠C.因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠C.所以AF∥BC.(2)若AC平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1的度数.  分类讨论思想6.如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是线段CD上的一个动点.当点P在线段CD上运动时，探究∠1，∠2，∠3之间的关系.【解】当点P在点C，D之间时，过点P向左作PE∥AC，如答图①所示，则PE∥BD.因为PE∥AC， 所以∠APE＝∠1.因为PE∥BD，所以∠BPE＝∠3.因为∠2＝∠APE＋∠BPE，所以∠2＝∠1＋∠3.当点P与点C重合时，∠1＝0°，如答图②所示.因为l1∥l2，所以∠2＝∠3.因为∠1＝0°， 所以∠2＝∠1＋∠3.当点P与点D重合时，∠3＝0°，如答图③所示.因为l1∥l2，所以∠2＝∠1.因为∠3＝0°，所以∠2＝∠1＋∠3.综上所述，当点P在线段CD上运动时，∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3. 建模思想7.生活中常见的一种折叠拦道闸如图①所示，其某一时刻的示意图如图②所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝ ⁠°.270　 从特殊到一般的思想8.如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF，∠DFE的平分线相交于点K.(1)求∠K的度数.因为AB∥CD，所以∠BEK＋∠FEK＋∠EFK＋∠DFK＝180°，即2(∠BEK＋∠DFK)＝180°.所以∠BEK＋∠DFK＝90°.所以∠EKF＝∠EKG＋∠GKF＝∠BEK＋∠DFK＝90°.【解】(1)如图，过点K作KG∥AB，交EF于点G.因为AB∥CD，所以KG∥AB∥CD.所以∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠DFK.因为EK，FK分别为∠BEF，∠EFD的平分线，所以∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK.(2)作∠BEK，∠DFK的平分线相交于点K1，∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的数量关系？写出结论并说明理由.【解】存在，∠EKF＝2∠K1.理由如下：因为EK1，FK1分别为∠BEK，∠DFK的平分线，所以∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1.因为∠BEK＋∠DFK＝90°，所以∠BEK1＋∠KEK1＋∠KFK1＋∠DFK1＝90°，即2(∠KEK1＋∠KFK1)＝90°.所以∠KEK1＋∠KFK1＝45°.所以∠K1＝180°－(∠KEK1＋∠KFK1)－(∠FEK＋∠EFK)＝45°.因为∠EKF＝90°，所以∠EKF＝2∠K1.(3)若作∠BEK1，∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2，∠DFK2的平分线相交于点K3，以此类推，…，请直接写出∠K4的度数.【解】∠K4＝5.625°.