2024春八年级数学下册第五章分式与分式方程学情评估试题（福建专版北师大版）

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第五章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．要使分式eq \f(1,x＋2)有意义，则x的取值应满足(　　)A．x≠0 B．x≠－2 C．x≥－2 D．x＞－22．下列各式：①eq \f(k2,2π)；②eq \f(1,m＋n)；③eq \f(m2－n2,4)；④eq \f(2b,3a)；⑤eq \f(（x＋1）2,x－1)；⑥eq \f(1,x)，其中分式有(　　)A．6个 B．5个 C．4个 D．3个3．下列各分式中，是最简分式的是(　　)A.eq \f(xy,x2) B.eq \f(y2＋y,xy) C.eq \f(x2－y2,x＋y) D.eq \f(x2＋y2,x＋y)4．下列各式从左到右的变形中，正确的是(　　)A.eq \f(x－\f(1,2)y,\f(1,2)xy)＝eq \f(2x－y,xy) B.eq \f(0.2a＋b,a＋2b)＝eq \f(2a＋b,a＋2b) C．－eq \f(x＋1,x－y)＝eq \f(x－1,x－y) D.eq \f(a＋b,a－b)＝eq \f(a－b,a＋b)5．若把分式eq \f(2x＋y,3x＋y)中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值(　　)A．扩大为原来的10倍 B．不变 C．缩小为原来的eq \f(1,10) D．缩小为原来的eq \f(1,100)6．若关于x的分式方程eq \f(m－3,x－1)＝1的解为x＝2，则m的值为(　　)A．5 B．4 C．3 D．27．如图，在数轴上表示eq \f(x2－2x＋1,x2－1)＋eq \f(2,x＋1)的值的点是(　　)A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点8．已知eq \f(3x＋4,（x－2）（x＋1）)＝eq \f(A,x－2)－eq \f(B,x＋1)，其中A，B为常数，则4A－B的值为(　　)A．7 B．9 C．13 D．59．《千里江山图》是宋代王希孟的作品(如图)，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8∶13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应为多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为(　　)A.eq \f(1.4－x,2.4－x)＝eq \f(8,13) 　　　 B.eq \f(1.4＋x,2.4＋x)＝eq \f(8,13)C.eq \f(1.4－2x,2.4－2x)＝eq \f(8,13) 　　　 D.eq \f(1.4＋2x,2.4＋2x)＝eq \f(8,13)10．已知关于x的分式方程eq \f(3x－a,x－3)＋eq \f(x＋1,3－x)＝1的解为正数，关于y的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋9≤2（y＋2），,\f(2y－a,3)≥1))的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的个数为(　　)A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．分式eq \f(1,6ab2)和eq \f(1,9a2b)的最简公分母是__________．12．已知分式eq \f(2x＋a,x－b)(a，b为常数)满足表格中的信息：则c的值是________．13．已知关于x的分式方程eq \f(x－3,x－2)＝2－eq \f(m,2－x)会产生增根，则m＝________．14．已知非零实数x，y满足y＝eq \f(x,2x＋1)，则eq \f(3x－3y＋xy,4xy)的值等于________．15．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产________台机器．16．若关于x的分式方程eq \f(2x＋a,x＋1)＝1的解为负数，则a的取值范围为________________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)化简下列各式：(1)eq \f(4a＋4b,5ab)·eq \f(15a2b,a2－b2)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x－1,x＋1)))÷eq \f(x2＋6x＋9,x2－1).18．(8分)解下列方程：(1)eq \f(x－3,x－2)＋1＝eq \f(3,2－x)；(2)eq \f(3,2)－eq \f(1,3x－1)＝eq \f(5,6x－2).19．(8分)先化简，再求值：eq \f(a2－2a＋1,a2＋a)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a＋1)))，其中a＝eq \r(3).20．(8分)下面是小华同学学习了分式混合运算后解答的一道题目，请认真阅读并完成下面的问题．化简：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,x－1)－\f(x,x＋1)))·eq \f(x2－1,2x).解：原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x（x＋1）,（x－1）（x＋1）)－\f(x（x－1）,（x－1）（x＋1）)))·eq \f(x2－1,2x)……第一步＝eq \f(3x2＋3x－x2＋x,（x－1）（x＋1）)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x)……第二步＝eq \f(2x2＋4x,（x－1）（x＋1）)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x)……第三步＝eq \f(2x（x＋2）,（x－1）（x＋1）)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x)……第四步＝x＋2.……第五步(1)以上解题过程中，第__________步是通分，其变形依据是______________________；(2)若小明第一步用乘法的分配律进行解答，请你根据小明的思路完成化简．21．(10分)福平铁路的建成，使平潭、长乐与福州老城区形成了“半小时生活圈”．已知该铁路全长约90千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了20%，行驶全程所需时间减少了9分钟．(1)求列车提速前的速度；(2)若将铁路全长延伸至108千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围．22．(10分)如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：eq \f(x＋1,x－1)＝eq \f(（x－1）＋2,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，所以eq \f(x＋1,x－1)是“和谐分式”．请运用这个知识完成下面各题：(1)已知eq \f(3x－2,x＋1)＝3＋eq \f(m,x＋1)，则m＝________；(2)将“和谐分式”eq \f(4a＋1,2a－1)化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)当x为整数时，若eq \f(2x2＋3x－3,x－1)也为整数，求满足条件的所有x值的和．答案一、1.B　2.C　3.D　4.A　5.B　6.B　7.C　8.C　9.D10. C　点拨：解分式方程得x＝a－2，∵x＞0且x≠3，∴a－2＞0且a－2≠3，∴a＞2且a≠5.解不等式组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥5，,y≥\f(a＋3,2)，))∵不等式组的解集为y≥5，∴eq \f(a＋3,2)≤5，∴a≤7，∴2＜a≤7且a≠5，∴所有满足条件的整数a的值有3，4，6，7，共4个．二、11.18a2b2　12.5　13.－1　 14.eq \f(7,4)　15.20016. a＞1且a≠2　点拨：解分式方程得x＝1－a，∵该分式方程的解为负数，∴1－a＜0，且1－a＋1≠0，∴a＞1且a≠2.三、17.解：(1)原式＝eq \f(4（a＋b）,5ab)·eq \f(15a2b,（a＋b）（a－b）)＝eq \f(12a,a－b).(2)原式＝eq \f(2（x＋1）－（x－1）,x＋1)÷eq \f(（x＋3）2,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(x＋3,x＋1)·eq \f(（x＋1）（x－1）,（x＋3）2)＝eq \f(x－1,x＋3).18. 解：(1)方程两边同时乘x－2，得x－3＋x－2＝－3，解得x＝1.检验：当x＝1时，x－2≠0，∴x＝1是原方程的解．(2)方程两边同时乘2(3x－1)，得3(3x－1)－2＝5，解得x＝eq \f(10,9).检验：当x＝eq \f(10,9)时，2(3x－1)≠0，∴x＝eq \f(10,9)是原方程的解．19. 解：原式＝eq \f(（a－1）2,a（a＋1）)÷eq \f(a＋1－2,a＋1)＝eq \f(（a－1）2,a（a＋1）)·eq \f(a＋1,a－1)＝eq \f(a－1,a).当a＝eq \r(3)时，原式＝eq \f(\r(3)－1,\r(3))＝eq \f(3－\r(3),3).20. 解：(1)一；分式的基本性质(2)原式＝eq \f(3x,x－1)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x)－eq \f(x,x＋1)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x)＝eq \f(3x＋3,2)－eq \f(x－1,2)＝eq \f(2x＋4,2)＝x＋2.21. 解：(1)设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为(1＋20%)x千米/小时，依题意得eq \f(90,x)－eq \f(90,（1＋20%）x)＝eq \f(9,60)，解得x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：列车提速前的速度为100千米/小时．(2)第一次提速后的速度为100×(1＋20%)＝120(千米/小时)，第一次提速后行驶全程所需时间为90÷120＝0.75(小时)．依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120（1＋m）≤180，,120（1＋m）×0.75＞108，))解得0.2＜m≤0.5，即20%＜m≤50%.22. 解：(1)－5(2)eq \f(4a＋1,2a－1)＝eq \f(2（2a－1）＋3,2a－1)＝2＋eq \f(3,2a－1).(3)令A＝eq \f(2x2＋3x－3,x－1)＝eq \f(2x2＋3x－5＋2,x－1)＝eq \f(（x－1）（2x＋5）＋2,x－1)＝eq \f(（x－1）（2x＋5）,x－1)＋eq \f(2,x－1)＝2x＋5＋eq \f(2,x－1).∵当x为整数时，A也为整数，即eq \f(2,x－1)也必为整数，∴－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3，且x为整数．又∵分式要有意义，∴x－1≠0，即x≠1，∴满足条件的x的值为－1，0，2，3，∴满足条件的所有x值的和为－1＋0＋2＋3＝4.x的取值20.5c分式的值无意义03