2024春八年级数学下学期期中学情评估试题（福建专版北师大版）

这是一份2024春八年级数学下学期期中学情评估试题（福建专版北师大版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．科学实验的意义在于帮助人们揭开自然界的某些奥秘，从而指导人类的实践活动．下面是四种科学实验仪器的图标，其中的图案是中心对称图形的是( )
2．下列命题都是真命题，其逆命题也是真命题的是( )
A．若a＋b＝0，则a2＝b2
B．若a＞b＞0，则|a|＞|b|
C．若a－b＝0，则a2＝b2
D．若a±b＝0，则a2＝b2
3．不等式x＋1＞eq \f(x－1,3)的解集在数轴上表示正确的是( )
4. 如图，已知线段DE是由线段AB平移得到的，且AB＝DC＝4 cm，EC＝3 cm，则△DCE的周长是( )
A．9 cmB．10 cmC．11 cmD．12 cm
5．一次函数y＝nx＋2n的图象如图所示，则关于x的不等式nx＋2n＞0的解集为( )
A．x＞－1 B．x＞－2 C．x＜－2 D．x＜－1
(第5题) (第6题)
6．如图，有三块菜地△ACD，△ABD，△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积是96，则菜地△ACD的面积是( )
A．24 B．27 C．32 D．36
7．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AC＝16，点A对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是( )
A．96 B．96 eq \r(3) C．192 D．160 eq \r(3)
(第7题) (第8题)
8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．春节期间，小明帮父母打理小区内自己家开的生活便民超市，小明的妈妈告诉小明各种商品的利润率，并要求在利润率不低于5%的情况下可以销售．小区阿姨要买标价为60元/壶的油，要求小明优惠卖给她，小明知道粮油的利润率是20%，则该壶油的售价至少是( )
A．51元 B．52.5元 C．55元 D．59元
10. 如图，将长方形ABCD绕点A旋转至长方形AB′C′D′的位置，此时AC′的中点恰好与点D重合，AB′交CD于点E.若AB＝3，则△AEC的面积为( )
A．3 B．1.5 C．2 eq \r(3) D.eq \r(3)
(第10题) (第12题)
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．若不等式(a－3)x＞1的解集为x＜eq \f(1,a－3)，则a的取值范围是________．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝8 cm，则AC＝________cm.
13．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠BAC＝104°，∠B＝40°，则∠DAC的度数为________．
(第13题) (第14题)
14．台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯(如图)进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则打________折销售优惠力度最大．
15．如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，点D在AB边上(不与点A，B重合)，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则△BDE周长的最小值是______cm.
(第15题) (第16题)
16．如图，△ABC的顶点A(－8，0)，B(－2，8)，点C在y轴的正半轴上，AB＝AC，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为________．
三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)解不等式组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋6≤3x＋4，,\f(1＋2x,3)＞x－1，))并把解集在数轴上表示出来．
18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)在AC边上找一点D，使DB＋DC＝AC；(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下，若AC＝5，AB＝6，求DC的长．
19．(8分)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．
(1)将△ABC向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
(3)画出△ABC关于原点对称的图形△A3B3C3；
(4)△AB2C2可看作由△A1B1C1绕点P旋转而成，点A1，B1，C1的对应点分别为A，B2，C2，则点P的坐标为________．
20．(8分)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝CE.
21．(8分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC＝AD，∠DAC＝∠ABC.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠DAC＝45°，OA＝1，求OC的长．
22．(10分)漳州云霄县是“中国枇杷之乡”．某水果商从散户果农处收购A品种的枇杷200千克，B品种的枇杷150千克，共花费5 000元．已知A品种的枇杷比B品种的枇杷每千克的收购价多4元．
(1)A品种的枇杷和B品种的枇杷每千克的收购价分别是多少元？
(2)若A品种的枇杷每千克的售价比B品种的枇杷每千克的售价多6元，且运输过程中，A品种的枇杷损耗10%，B品种的枇杷损耗20%.水果商售完这批枇杷盈利不少于1 480元，则A品种的枇杷每千克的售价最少应为多少元？
23．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BD平分∠ABC.
(1)求证：BC＝DC；
(2)若∠ABC＝60°，DA⊥AB，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，试判断△ADE的形状，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，若AD＝2，求BC的长．
24. (12分)给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[a]，即当n为非负整数时，若n－eq \f(1,2)≤a＜n＋eq \f(1,2)，则[a]＝n.如：[0]＝[0.499]＝0，[0.54]＝[1.499]＝1，[2]＝2，[3.51]＝[4.32]＝4，试解决下列问题：
(1)若[a]＝2，则实数a的取值范围为____________．
(2)已知关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1≥1－\f(3,2)x，,[b－1]－x＞0))的整数解恰有2个，求b的取值范围．
(3)求满足[c]＝eq \f(5,4)c的所有非负实数c的值．
25. (14分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为E，连接CD.
(1)如图①，BD与BC的数量关系是______；
(2)如图②，若P是线段CB上一动点(点P不与点B，C重合)，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BD，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BD，BF，BP三者之间的数量关系．
答案
一、1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.B
10. D
二、11.a＜3 12.4 eq \r(2) 13.34° 14.八
15. (4＋2 eq \r(3)) 点拨：由题意得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CD＝DE.∵△BDE周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋AD＝AB＋CD＝4＋CD，∴当CD取最小值时，△BDE周长有最小值，易知当CD⊥AB时，CD取最小值2 eq \r(3) cm，∴△BDE周长最小值为(4＋2 eq \r(3))cm.
16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，6))
三、17.解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋6≤3x＋4，①,\f(1＋2x,3)＞x－1，②))
解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜4，
所以不等式组的解集为1≤x＜4.
解集在数轴上表示如图所示．
18. 解：(1)如图，点D即为所求作．
(2)∵AC＝5，AB＝6，
∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(62－52)＝eq \r(11).
设DC＝x，则DB＝AC－DC＝5－x.
在Rt△BCD中，∵BC2＋DC2＝BD2，
∴(eq \r(11))2＋x2＝(5－x)2，
∴x＝1.4，即DC的长为1.4.
19. 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△AB2C2即为所求．
(3)如图，△A3B3C3即为所求．
(4)(－2，－2)
20. 证明：过点A作AP⊥BC于P.
∵AB＝AC，AD＝AE，∴BP＝PC，DP＝PE，
∴BP－DP＝PC－PE，∴BD＝CE.
21. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠DAC＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.
∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.
(2)解：过点O作OE⊥BC于E.
∵∠DAC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°.
∵BD平分∠ABC，∴OE＝OA＝1.
在Rt△OEC中，∠ACB＝45°，OE＝1，
∴CE＝1，∴OC＝eq \r(2).
22. 解：(1)设B品种的枇杷每千克的收购价是a元，则A品种的枇杷每千克的收购价是(a＋4)元，根据题意得200(a＋4)＋150a＝5 000，
解得a＝12，
∴ a＋4＝16，
∴A品种的枇杷每千克的收购价是16元，B品种的枇杷每千克的收购价是12元．
(2)设A品种的枇杷每千克的售价是b元，则B品种的枇杷每千克的售价是(b－6)元，
根据题意得200×(1－10%)b＋150×(1－20%)(b－6)－5 000≥1 480，解得b≥24，
∴A品种的枇杷每千克的售价最少应为24元．
23. (1)证明：∵AB∥DC，∴∠CDB＝∠ABD.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC.
(2)解：△ADE是等边三角形．
证明：∵BC＝DC，CE⊥BD，
∴BE＝DE，即E为DB的中点．
∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∴AE＝eq \f(1,2)BD＝DE.
∵∠ABC＝60°，∴易得∠ABD＝30°.
∴∠ADE＝90°－∠ABD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
(3)解：∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝2，
∴BE＝2.
易知∠CBD＝30°，∵CE⊥BD，∴CE＝eq \f(1,2)BC，
在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2＋BE2＝BC2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)BC))eq \s\up12(2)＋22＝BC2，∴BC＝eq \f(4,3) eq \r(3).
24. 解：(1)1.5≤a＜2.5
(2)解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1≥1－\f(3,2)x，,[b－1]－x＞0))得1≤x＜[b－1]，
由不等式组的整数解恰有2个，得[b－1]＝3，
则2.5≤b－1＜3.5，∴3.5≤b＜4.5.
(3)设[c]＝eq \f(5,4)c＝k(k为整数，且k≥0)，
则c＝eq \f(4,5)k，∴[eq \f(4,5)k]＝k，∴k－eq \f(1,2)≤eq \f(4,5)k＜k＋eq \f(1,2)，
解得－eq \f(5,2)