2024年高考数学二轮专项复习高考原生态满分练2三角函数与解三角形（Word版附解析）

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(1)求角A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
高考原生态满分练2 三角函数与解三角形
解 (1)由题意并结合正弦定理可得BC2-AC2-AB2=AC·AB,2分
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcs A,
∴cs A=AC2+AB2-BC22AC·AB=-12,3分
∵A∈(0,π),∴A=2π3.4分
(2)(方法一)由余弦定理及(1)得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcs A=AC2+AB2+AC·AB=9,
即(AC+AB)2-AC·AB=9.6分
∵AC·AB≤AC+AB22(当且仅当AC=AB时取等号),7分
∴9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-AC+AB22=34(AC+AB)2,9分
∴0∴△ABC的周长L=AC+AB+BC≤3+23.
故△ABC周长的最大值为3+23.12分
(方法二)由正弦定理及(1)得ABsinC=ACsinB=BCsinA=3sin2π3=23,∴AB=23sin C,AC=23sin B,6分
从而AB+AC+BC=23sin C+23sin B+3=23sinπ3-B+23sin B+3=23sinB+π3+3.9分
∵0教师批阅
分析1:本题第(1)问是求三角形的内角,应先求其某一三角函数值.本题第(2)问,要求周长的最大值,实质是求AB+AC的最大值,因此可用基本不等式(方法一),也可利用正弦定理将AB+AC用角B或C的三角函数表示,然后借助三角恒等变换求得最值(方法二).
分析2:第(1)问求得cs A=-12后,不说明A∈(0,π),直接得出A=2π3.
分析3:第(2)问,采用方法一,利用不等式求最值时,不说明等号成立的条件.
分析4:方法一中,在得到AC+AB≤23后直接下结论△ABC周长的最大值为3+23,没有通过不等式进行推理说明.方法二中,在得到AB+AC+BC的表达式后,不确定角B的取值范围,直接得出最大值.
满分答题