2024年高考数学二轮专项复习高考原生态满分练6解析几何（Word版附解析）

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[典例](本题满分12分)如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范围.
高考原生态满分练6 解析几何
解 (1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0.
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3).
当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,得tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB.2分
即-|y|x-2=2|y|x+11-|y|x+12,化简可得,3x2-y2-3=0.
而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,
综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).4分
(2)由y=-2x+m,3x2-y2-3=0,消去y可得x2-4mx+m2+3=0.(*)6分
由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.
设f(x)=x2-4mx+m2+3,
所以--4m2>1,f(1)=12-4m+m2+3>0,Δ=(-4m)2-4(m2+3)>0,解得m>1,且m≠2.8分
设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),
由|PQ|<|PR|有xR=2m+3(m2-1),xQ=2m-3(m2-1).
所以|PR||PQ|=xRxQ=2m+3(m2-1)2m-3(m2-1)=2+31-1m22-31-1m2=-1+42-31-1m2.10分
由m>1,且m≠2,有1<-1+42-31-1m2<7+43,且-1+42-31-1m2≠7.
所以|PR||PQ|的取值范围是(1,7)∪(7,7+43).12分
学生解答
教师批阅
分析1:求|PR||PQ|的范围难以入手,需转化为点的横坐标之比.
分析2:(1)∠MBA=2∠MAB与tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB不等价.
当∠MBA=90 °时,单独考虑;
(2)tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB与kMB=2kMA1-kMA2不等价,易漏点M在x轴下方的情况;
(3)轨迹C是去掉右顶点(1,0)的双曲线右支,易使x的范围增大;
(4)解直线与曲线方程的方程组时,易漏掉Δ>0的条件.
分析3:本题也可用设而不求法:因|PR||PQ|=x2x1,故设t=x2x1,t+1t=x2x1+x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2,代入根与系数的关系得函数f(m),求出f(m)的范围,再求t的范围.
满分答题