广东省2024届高三下学期3月一模考试数学试题

这是一份广东省2024届高三下学期3月一模考试数学试题，共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，“”是“”的，已知向量，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．记复数ｚ的共轭复数为，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
4．过，，三点的圆与y轴交于M，N两点，则（ ）
A．3B．4C．8D．6
5．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%．那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍．（参考数据：，，）（ ）
A．23B．100C．150D．232
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．分别以锐角三角形的边，，为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，若a，b，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
10．已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点P为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．有无数个点P，使得平面
B．有无数个点P，使得平面
C．若点平面，则四棱锥的体积的最大值为
D．若点平面，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．随机变量，若且，则随机变量X的第80百分位数是______．
13．已知函数在区间上单调，且满足，，则______．
14．已知直线l与椭圆在第一象限交于P，Q两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足，则l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知，函数．
（1）求的单调区间．
（2）讨论方程的根的个数．
16．（15分）
如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点P是圆上异于点C，D的任意一点．
（1）若点D到平面的距离为，证明：．
（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围．
17．（15分）
如图，已知抛物线，其上有定点，，动点P在抛物线上，且点P位于点A，B之间的曲线段上（不与点A，B重合），过点B作直线的垂线，垂足为Q．
（1）若点P是的中点，求点P的坐标．
（2）求的最大值．
18．（17分）
某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码k（，2，3，…，N），按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场．
（1）求面试号码为2的学生来自A校的概率．
（2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率．
（3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是X的数学期望，证明：．
19．（17分）
数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵．对于平面向量，其模定义为．类似地，对于n行n列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第i行第j列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模．弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用．
（1），，矩阵，求使的n的最小值．
（2），，矩阵
求．
（3）矩阵，证明：，，．
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）
数学参考答案
评分标准：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．8813．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15．解：（1）求导得．
因为，，
所以当时，且；当时，．
所以在，上单调递减，在上单调递增．
（2）①当时，因为，，所以．
所以在上有0个根．
②当时，由（1）得，时，的最小值为．
因为，所以．所以．
所以．
所以在上有0个根．
综上所述，方程有0个根．
16．（1）证明：如图1，连接，过点D作，垂足为H．
因为是圆的直径，所以．
因为是圆柱侧面的母线，所以平面．
因为平面，所以．
又因为，平面，，所以平面．
因为平面，所以．
又因为，，平面，，所以平面．
所以点D到平面的距离为，即．
设，则．
由，得，解得．
因为，所以．
因为是的中点，所以．
（2）解：（方法一）如图2，在平面内，过点作交圆于点E，连接，
因为平面，所以，，两两相互垂直，以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，．
设点，因为点P在圆上，所以，且．
则，，．
设平面的法向量为，
则即解得
取，得．
设与平面所成角为，
则．
因为，且，
所以．
所以．
所以．
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．
（方法二）由（1）知，点D到平面的距离为．
连接交于点F，如图3．
因为，且，所以．
所以点O到平面的距离为．
在中，由等面积法得，．
所以．
设与平面所成角为，
所以与平面所成角的正弦值．
所以．
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．
17．解：（1）由点P在抛物线上，设点P的坐标为，，
由点P是的中点，且点A的坐标为，得点Q的坐标为．
故，．
因为，所以，即．
整理得．
解得，或（舍）．
所以点P的坐标为．
（2）当直线的斜率为0时，直线的斜率不存在，此时点P的坐标为，点Q的坐标为，得．
显然直线的斜率存在，当直线的斜率不为0时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线：，：，
解得，的交点Q的横坐标为，
所以．
因为，，
由，得，
当且仅当，即时等号成立．
综上所述，的最大值为．
18．解：（1）记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A，
将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为，
事件A表示A校有1名学生的面试号码为2，其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排，则事件A包含的样本点数为，
故．
（说明：根据每名参加面试的学生在任意次序面试都等可能，直接写出概率给2分）
（2）设B校参加面试的学生有x名，由题意得，解得．
所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名．
记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，显然事件B，C互斥．记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则．
当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，
则．
当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，
则．
所以．
（3）由题知随机变量X的取值为，，…，，
则随机变量X的分布列为，，，…，N．
分所以随机变量X的期望
，
．
所以．
19．解：（1）由题意得．
若，则，即．
因式分解得．因为，所以．
所以使的n的最小值是10．
（2）由题得第1对角线上的平方和为，
第2对角线上的平方和为，
……
第k对角线上的平方和为，
……
第n对角线上的平方和为，
所以
．
所以．
（3）由题意知，证明等价于证明，
注意到左侧求和式，将右侧含有n的表达式表示为求和式有，
故只需证，，成立，
即证，，成立，
令，则需证，成立，
记，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，即，，成立，所以原不等式成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
D
B
A
C
B
题号
9
10
11
答案
ABD
BD
ACD