山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题

这是一份山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题，共10页。试卷主要包含了03，0075，0等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等比数列中，，，则（ ）
A．32B．24C．20D．16
2．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1B．10C．40D．80
3．已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
5．2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A．B．C．1D．
6．记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（ ）
A．9B．16C．25D．50
7．，，，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．－1
8．已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则
A．事件A与B是互斥事件B．事件A与B是对立事件
C．事件B与C是互斥事件D．事件B与C相互独立
10．已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数B．若，则
C．若，则的最大值为2D．若，则z为纯虚数
11．已知函数，则（ ）
A．在区间单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的值域为
D．关于x的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，，则的所有元素之和为______．
13．已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为______．
14．已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为△BCD的外心，棱AB与球面交于点P．若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则△PQR的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
16．（15分）
已知函数．
（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
（2）讨论的单调性．
17．（15分）
如图，在三棱柱中，与的距离为，，．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值．
18．（17分）
已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E．
（i）证明：G，E，H三点共线;
（ii）若，过点H作的平行线，分别交线段，于点T，，求四边形面积的最大值．
19．（17分）
记集合，对任意，设变换，．
定义运算：若，则，．
（1）若，用表示；
（2）证明：；
（3）若，，
证明：．
2024年高三年级第一次适应性检测
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1－8：ADBA CCBA
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．AB10．AC11．BCD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．0；13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1
日均阅读时间的平均数为：
（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人
的可能取值为：0，1，2
则
所以的分布列为：
16．（15分）
解：（1）当时，，解得
又因为，所以切线方程为：
（2）的定义域为，
当时，得恒成立，在单调递增
当时，令，
（i）当即时，
恒成立，在单调递增
（ii）当即时，
由得，或，
由得，
所以在，单调递增，
在单调递减
综上：当时，在单调递增；
当时，在，单调递增；
在单调递减
17．（15分）
解：（1）取棱中点D，连接BD，因为，所以
因为三棱柱，所以，
所以，所以
因为，所以，；
因为，，所以，所以，
同理，
因为，且，平面，所以平面，
因为平面ABC，
所以平面平面ABC
（2）取AB中点O，连接，取BC中点P，连接OP，则，
由（1）知平面，所以平面
因为平面，平面，
所以，，
因为，则
以O为坐标原点，OP，OB，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
则，，，，
设点，
，，，
设面的法向量为，得，得，
取，则，，所以
设直线AN与平面所成角为，
则
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线AN与平面所成角的正弦值的最大值
18．（17分）
解：（1）设，切点为N，则，
所以
化简得，所以C的方程为：
（2）（i）因为，所以可设，，
又因为，
所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线，
所以G，E，H三点共线．
（ii）设，，，，AB中点为E，中点为F，
将代入得：，所以，，
所以，同理（均在定直线上）
因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等；
所以四边形面积等于四边形GAHB面积
设，，
直线，即
整理得：直线，又因为，所以，
同理，直线，，所以
所以
所以四边形GAHB面积
当且仅当，即，即时取等号，
所以△GAT面积的最大值为16．
19．（17分）
解：（1）因为，
所以
（2）因为，
所以
又因为
所以
所以
（3）对于，
因为，
所以，
所以
所以
所以
0
1
2