上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

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2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知全集，集合，则______.
【答案】
【解析】
2.若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为______.
【答案】
【解析】则的虚部为
3.已知函数，则______.
【答案】
【解析】（2），
，
则，
故（2）．
4.已知等差数列的前项和为，若，则______.
【答案】8
【解析】.
5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则其母线与底面所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】设母线长为，底面半径为，
由，
，
因此所求角的余弦值即为
6.已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值______.
【答案】
【解析】由，得，
则，又，则切线方程为
，得
7.已知，，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，，，
所求，，，
所以，
当且仅当时取等号
8.在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则的最大值是 ．
【答案】45
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示：
，，，
外接圆，
设，，
则，，
，，当且仅当时取等号．
所以的最大值是45．
9.已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之和为______.
【答案】
【解析】不妨设，，可设椭圆的焦点坐标，，
正六边形的一个顶点，，
由，即，
解得椭圆的；
双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得双曲线的离心率为．
即有椭圆与双曲线的离心率之和为．
10.正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为______.
【答案】
【解析】如图，
设，交于，连接，由正四棱锥的性质可得，平面，
因为平面，故．
又，，，平面，
故平面．
由题意，则动点的轨迹为过且垂直的平面与正四棱锥的交线，即如图，
则平面．
由线面垂直的性质可得平面平面，又由面面平行的性质可得，，，又是边的中点，
故，，分别为，，的中位线．
由题意，故．
即动点的轨迹的周长为
11.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．
令，则为奇函数．
．
当时，不等式．
，在单调递增．
函数在上单调递增．
对，不等式恒成立，．
．
当时，，
则，可得时，函数取得极小值即最小值，
．
当时，，则在上单调递减，则
则的取值范围是
12.已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点（允许重合），满足，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】设，，，，，，
抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
所以，，，
，又、、为抛物线上三点，显然三点不完全重合，
，，，，，即，，
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
当时，、，此时，
显然不成立，故等号不成立，
因为，所以，
所以，所以，即，当且仅当时等号成立，
当时显然不成立，故等号不成立，
所以，所以，即，即．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.如果，，，，则下列选项正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【解析】对于选项，若，如，则，所以选项不正确；
对于选项，若，如，则，所以选项不正确；
对于选项，若，，根据不等式的性质可知，所以选项正确；
对于选项，若，，如，，，，
此时，所以选项不正确．
故选：C．
14.定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中不正确的是
A．为函数的单调增区间
B．为函数的单调减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小
【答案】C
【解析】对选项时，，单调递增，正确；
对选项时，，单调递减，正确；
对选项时，单调递增，错误；
对选项时，单调递减，
当时，单调递增，函数在处取得极小值，正确．
故选：．
15.已知集合，，，，，，若，则、之间的关系是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则
化简整理得，即，集合可看成复平面上直线上的点，
集合可看成复平面上圆的点集，若即直线与圆没有交点，
，即
故选：．
16.在数列中, . 对于命题:
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①存在，对于任意的正整数, 都有.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对于任意和任意的正整数, 都有.
下列判断正确的是（ ）
A、 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是真命题， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②也是真命题 B、 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是真命题， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②是假命题
C、 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是假命题， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②是真命题 D、 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是假命题， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②也是假命题
【答案】A
【解析】数列是周期数列，为则 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是真命题
对于任意和任意的正整数当
又都有则 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②也是真命题
故选A
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图, 在四棱锥 中, 已知 底面 , 底面 是正方形, .
(1) 求证: 直线 平面 ;
(2) 求直线 与平面 所成的角的大小.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：因为平面，且平面，所以在正方形中，，而，故平面.
（2）以为坐标原点，分别以、、为、、 轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，从而，，，设平面的法向量为，，令，则，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面的所成角大小为.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数的最小正周期为，其中．
（1）求的值与函数的单调增区间；
（2）设的内角、、的对边分别为、、，且，（C），求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1），
，
，
令，解得，
故的单调增区间为．
（2），即，
又，，
故，解得，
，
，
，
，
解得，
．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为的正方形，高为，将其侧棱剪开，得到展开图，如图1所示．，，，分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于点，正好形成一个正四棱锥，如图2所示，设（单位：．
（1）若，求正四棱锥的表面积；
（2）当取何值时，正四棱锥的体积最大
【答案】（1）；（2）
【解析】
在正四棱锥中，连接，，交于点，
设中点为，连接，，．
（1），，，
正四棱锥的表面积为：
，
正四棱锥的表面积为．
（2），，，
，
正四棱锥的体积为．
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，，
当时，正四棱锥的体积最大．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为
（1）若，求椭圆的标准方程
（2）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线，若上动点到点的最短距离为，求的值
（3）当时，设点为椭圆的右焦点，，直线交于（均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，若，求的周长
【答案】（1）；（2）；（3）8
【解析】
（1）由题意知
则椭圆的标准方程为
（2）由题意知
设右顶点的坐标为，则抛物线的标准方程为
设，
则
当时，取到最小值，解得或（舍去）
则
（3）由（1）知，椭圆方程为，右焦点坐标为
设直线
则
故由，可得
故
整理得到
又
故
故或，此时均满足
若，则直线，此时直线恒过，与题设矛盾
若，则直线，此时直线恒过
而为椭圆的左焦点，设为
故的周长为
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中为实数.
（1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）记，若为的两个驻点，当在区间上变化时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），，
当时，，在定义域上是严格增函数，
当时，在上是严格减函数，在上是严格增函数，不符合题意，
因此.
（2）由（1）可知，，，于是
一方面，由于，在上是严格增函数，
且在上的图像是一段连续曲线，于是在上有唯一零点；
另一方面，，，
令，则，
故在上是严格减函数，因此，即，
又在上是严格减函数，且在上的图像是一段连续曲线，
在上有唯一零点，从而，实数的取值范围是.
（3）由题意，，则，，
于是，，，，
，
令，，
，，
在上是严格增函数，于是，
从而.