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所属成套资源：高考数学二轮复习压轴题专题 （2份打包，原卷版+教师版）
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高考数学二轮复习压轴题专题22 椭圆（解答题压轴题）（2份打包，原卷版+教师版）
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这是一份高考数学二轮复习压轴题专题22 椭圆（解答题压轴题）（2份打包，原卷版+教师版），文件包含高考数学二轮复习压轴题专题22椭圆解答题压轴题原卷版doc、高考数学二轮复习压轴题专题22椭圆解答题压轴题教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc15792" ②椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc15792 \h 10
\l "_Tc29964" ③椭圆中的面积问题 PAGEREF _Tc29964 \h 15
\l "_Tc158" ④椭圆中的参数和范围问题 PAGEREF _Tc158 \h 22
\l "_Tc18149" ⑤椭圆中的最值问题 PAGEREF _Tc18149 \h 28
\l "_Tc32588" ⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc32588 \h 35
\l "_Tc8656" ⑦椭圆中向量问题 PAGEREF _Tc8656 \h 42
\l "_Tc20166" ⑧椭圆综合问题 PAGEREF _Tc20166 \h 48
①椭圆的弦长（焦点弦）问题
1．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于A， SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求弦 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)5
【详解】（1）设交点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
因为弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分，
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由弦长公式可知 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
根据椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，消去y，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于A，B两点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0
3．（2023春·上海·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个顶点， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)写出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长；短轴长；焦距；离心率
(3)求直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)长轴长 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长4，焦距4，离心率 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个顶点， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故长轴长 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长4，焦距4，离心率 SKIPIF 1 < 0 .
（3）设交点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求椭圆的 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)3
【详解】（1）由题知，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
由题可知，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为0时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.
5．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆中心在原点 SKIPIF 1 < 0 上，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 到两焦点的距离的和等于 SKIPIF 1 < 0 ：
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)在（2）的结论下，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以设椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又椭圆上一点到两焦点的距离和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知，椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有： SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，又： SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，又： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即有： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时：直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知：当 SKIPIF 1 < 0 时，也有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，且过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）法一 设 SKIPIF 1 < 0 及AB中点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以上两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
可化为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，化简为： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理知 SKIPIF 1 < 0
由弦长公式得： SKIPIF 1 < 0 ．
法二 设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ， 整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则中点 SKIPIF 1 < 0 ，满足直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以AB： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理知 SKIPIF 1 < 0
由弦长公式得： SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 的最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由复合函数的单调性知：
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，记线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 3 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率;
(2)若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直于x轴时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又点P在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于x轴时，得点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 ，点M，N必在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
②椭圆的中点弦问题
1．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分，所以
设交点坐标 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
联立椭圆与直线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题可知， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆上的点到两焦点距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
由点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点 SKIPIF 1 < 0 作弦且弦被 SKIPIF 1 < 0 平分，则此弦所在的直线方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
又椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ③，
所以联立①②③解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的对称性可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的斜率．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设A，B两点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为弦AB的中点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中学校联考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题可知， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
由椭圆定义知 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点，且长轴长为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 都在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于两点，满足条件.
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
③椭圆中的面积问题
1．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)3
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3．
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为3．
2．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆C于M、N两点，求三角形OMN的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
又 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
O到直线MN的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 到右焦点距离的最大值为3，过点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆过原点 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
由题意得，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在或为0时，易得 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0时，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程：
(2)若三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积，若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）依题意，可知AM： SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，
又BM： SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
④椭圆中的参数和范围问题
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离与动点 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 上是否始终存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称？若存在，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）假设曲线 SKIPIF 1 < 0 上始终存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
当 SKIPIF 1 < 0 时，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
易知当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在两点，关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆C的左右焦点，且抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，M为椭圆的上顶点， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方），直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如图，
依题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 ．
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到两个焦点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，P为椭圆C上一点．若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直线l： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因此 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．因此 SKIPIF 1 < 0 ．
综上知， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得到，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
弦AB中点M的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ．
另一个方面，直线PM的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 在此直线上，
故 SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ．
代入 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
⑤椭圆中的最值问题
1．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又原点到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设A为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点A，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点A，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 舍去 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点A到MN的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数的单调性知 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）
当点P为椭圆C短轴顶点时， SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线PQ的斜率为零，由对称性知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意.
设直线PQ 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
即直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线PQ过定点 SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由平面几何知识 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)6
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 可设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值6．
5．（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一个动点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左焦点，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·四川·校联考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上除去 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴端点时，原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴端点时，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
⑥椭圆中定点、定值、定直线问题
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆C交于点A、B， SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由离心率为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可设直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)M为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故可知 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）
M为椭圆C的左顶点，
又由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，设直线AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
展开后整理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时，AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
3．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的两个动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴围成底边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的等腰三角形，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）如下图所示：
设直线 SKIPIF 1 < 0 交该椭圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
由直线 SKIPIF 1 < 0 能与 SKIPIF 1 < 0 轴共同围成底边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的等腰三角形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
整理得
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，不论 SKIPIF 1 < 0 为何值时 SKIPIF 1 < 0 都成立，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴共同围成底边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的等腰三角形时直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值 SKIPIF 1 < 0
4．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B为椭圆 SKIPIF 1 < 0 左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)直线AD与直线BE的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上
【详解】（1）设椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
联立椭圆方程，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线BE的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴直线AD与直线BE的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率依次成等比数列．椭圆 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入椭圆的方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平分，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，①
又因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率依次成等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合△ SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线 SKIPIF 1 < 0 与C交于M，N两点．
(1)当m＝2时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）折线为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设M在F的右侧，N在F的左侧，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则M，N关于x轴的对称点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（1） SKIPIF 1 < 0 ，
当m＝2时， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则直线AM的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为M在F的右侧，所以 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AM的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线BN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线BN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得x＝1，
所以定点P在直线x＝1上．
⑦椭圆中向量问题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 点，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
在方程 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 存在斜率时，设为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程设为 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，其离心率 SKIPIF 1 < 0 ，长轴长为6．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
易知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
显然过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
联立直线与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程的两根，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因此点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，联立两直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，联立两直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 为原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若在x轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的所有方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆显然过点 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ；
若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理，得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
显然 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，当以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·天津和平·统考三模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上，下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上的任意一点到下焦点 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为3，最小距离为1.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，长半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 的交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
⑧椭圆综合问题
1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在；点 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，故可设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设存在点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，其倾斜角互补，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，即存在点 SKIPIF 1 < 0 满足题意．
2．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于不同的 SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等比数列．在 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在； SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在，设直线的l方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
需满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
由于直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
存在点M，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
理由如下：四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又点M在椭圆C上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的一点，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 异于椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点），当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程整理得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积最大.
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 .求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可设直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值．
5．（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 SKIPIF 1 < 0 .已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求“共轭点对” SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，（2）中的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 点的纵坐标大于0，设四点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上逆时针排列.证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积小于 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明见解析.
【详解】（1）依题意，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设“共轭点对” SKIPIF 1 < 0 中点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，
依题意，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）知，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，线段PQ被直线l平分，
设点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为d，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点P且与直线l平行的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 与C相切时，d取得最大值，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则此时点P或点Q必有一个和点 SKIPIF 1 < 0 重合，不符合条件 SKIPIF 1 < 0 ，从而直线 SKIPIF 1 < 0 与C不可能相切，
即d小于平行直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
\l "_Tc15792" ②椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc15792 \h 10
\l "_Tc29964" ③椭圆中的面积问题 PAGEREF _Tc29964 \h 15
\l "_Tc158" ④椭圆中的参数和范围问题 PAGEREF _Tc158 \h 22
\l "_Tc18149" ⑤椭圆中的最值问题 PAGEREF _Tc18149 \h 28
\l "_Tc32588" ⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc32588 \h 35
\l "_Tc8656" ⑦椭圆中向量问题 PAGEREF _Tc8656 \h 42
\l "_Tc20166" ⑧椭圆综合问题 PAGEREF _Tc20166 \h 48
①椭圆的弦长（焦点弦）问题
1．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于A， SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求弦 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)5
【详解】（1）设交点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
因为弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分，
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由弦长公式可知 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
根据椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，消去y，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于A，B两点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0
3．（2023春·上海·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个顶点， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)写出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长；短轴长；焦距；离心率
(3)求直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)长轴长 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长4，焦距4，离心率 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个顶点， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故长轴长 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长4，焦距4，离心率 SKIPIF 1 < 0 .
（3）设交点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求椭圆的 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)3
【详解】（1）由题知，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
由题可知，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为0时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.
5．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆中心在原点 SKIPIF 1 < 0 上，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 到两焦点的距离的和等于 SKIPIF 1 < 0 ：
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)在（2）的结论下，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以设椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又椭圆上一点到两焦点的距离和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知，椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有： SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，又： SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，又： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即有： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时：直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知：当 SKIPIF 1 < 0 时，也有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，且过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）法一 设 SKIPIF 1 < 0 及AB中点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以上两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
可化为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，化简为： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理知 SKIPIF 1 < 0
由弦长公式得： SKIPIF 1 < 0 ．
法二 设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ， 整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则中点 SKIPIF 1 < 0 ，满足直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以AB： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理知 SKIPIF 1 < 0
由弦长公式得： SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 的最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由复合函数的单调性知：
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，记线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 3 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率;
(2)若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直于x轴时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又点P在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于x轴时，得点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 ，点M，N必在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
②椭圆的中点弦问题
1．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分，所以
设交点坐标 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
联立椭圆与直线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题可知， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆上的点到两焦点距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
由点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点 SKIPIF 1 < 0 作弦且弦被 SKIPIF 1 < 0 平分，则此弦所在的直线方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
又椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ③，
所以联立①②③解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的对称性可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的斜率．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设A，B两点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为弦AB的中点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023秋·吉林·高二梅河口市第五中学校联考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题可知， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
由椭圆定义知 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点，且长轴长为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 都在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于两点，满足条件.
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
③椭圆中的面积问题
1．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)3
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3．
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为3．
2．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆C于M、N两点，求三角形OMN的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
又 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
O到直线MN的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 到右焦点距离的最大值为3，过点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆过原点 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
由题意得，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
则菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在或为0时，易得 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0时，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程：
(2)若三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积，若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）依题意，可知AM： SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，
又BM： SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
④椭圆中的参数和范围问题
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离与动点 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 上是否始终存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称？若存在，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）假设曲线 SKIPIF 1 < 0 上始终存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
当 SKIPIF 1 < 0 时，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
易知当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在两点，关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆C的左右焦点，且抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，M为椭圆的上顶点， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方），直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如图，
依题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 ．
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到两个焦点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，P为椭圆C上一点．若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直线l： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因此 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．因此 SKIPIF 1 < 0 ．
综上知， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得到，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
弦AB中点M的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ．
另一个方面，直线PM的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 在此直线上，
故 SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ．
代入 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
⑤椭圆中的最值问题
1．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又原点到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设A为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点A，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点A，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 舍去 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点A到MN的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数的单调性知 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）
当点P为椭圆C短轴顶点时， SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线PQ的斜率为零，由对称性知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意.
设直线PQ 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
即直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线PQ过定点 SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由平面几何知识 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)6
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 可设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值6．
5．（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一个动点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左焦点，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·四川·校联考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上除去 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴端点时，原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴端点时，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
⑥椭圆中定点、定值、定直线问题
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆C交于点A、B， SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由离心率为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可设直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)M为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故可知 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）
M为椭圆C的左顶点，
又由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，设直线AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
展开后整理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时，AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
3．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的两个动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴围成底边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的等腰三角形，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）如下图所示：
设直线 SKIPIF 1 < 0 交该椭圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
由直线 SKIPIF 1 < 0 能与 SKIPIF 1 < 0 轴共同围成底边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的等腰三角形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
整理得
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，不论 SKIPIF 1 < 0 为何值时 SKIPIF 1 < 0 都成立，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴共同围成底边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的等腰三角形时直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值 SKIPIF 1 < 0
4．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B为椭圆 SKIPIF 1 < 0 左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)直线AD与直线BE的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上
【详解】（1）设椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
联立椭圆方程，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线BE的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴直线AD与直线BE的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率依次成等比数列．椭圆 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入椭圆的方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平分，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，①
又因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率依次成等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合△ SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线 SKIPIF 1 < 0 与C交于M，N两点．
(1)当m＝2时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）折线为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设M在F的右侧，N在F的左侧，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则M，N关于x轴的对称点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（1） SKIPIF 1 < 0 ，
当m＝2时， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则直线AM的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为M在F的右侧，所以 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AM的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线BN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线BN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得x＝1，
所以定点P在直线x＝1上．
⑦椭圆中向量问题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 点，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
在方程 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 存在斜率时，设为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程设为 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，其离心率 SKIPIF 1 < 0 ，长轴长为6．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
易知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
显然过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
联立直线与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程的两根，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因此点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，联立两直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，联立两直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 为原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若在x轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的所有方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆显然过点 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ；
若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理，得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
显然 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，当以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·天津和平·统考三模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上，下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上的任意一点到下焦点 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为3，最小距离为1.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，长半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 的交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
⑧椭圆综合问题
1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在；点 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，故可设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设存在点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，其倾斜角互补，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，即存在点 SKIPIF 1 < 0 满足题意．
2．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于不同的 SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等比数列．在 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在； SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在，设直线的l方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
需满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
由于直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率成等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
存在点M，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
理由如下：四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又点M在椭圆C上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的一点，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 异于椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点），当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程整理得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积最大.
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 .求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可设直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值．
5．（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 SKIPIF 1 < 0 .已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求“共轭点对” SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，（2）中的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 点的纵坐标大于0，设四点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上逆时针排列.证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积小于 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明见解析.
【详解】（1）依题意，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设“共轭点对” SKIPIF 1 < 0 中点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，
依题意，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）知，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，线段PQ被直线l平分，
设点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为d，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点P且与直线l平行的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 与C相切时，d取得最大值，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则此时点P或点Q必有一个和点 SKIPIF 1 < 0 重合，不符合条件 SKIPIF 1 < 0 ，从而直线 SKIPIF 1 < 0 与C不可能相切，
即d小于平行直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
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