北京海淀外国语学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份北京海淀外国语学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共30页。试卷主要包含了填空题，四象限，等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由互余可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得结果．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵直尺的两边平行，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
2. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则两数之和大于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出两数之和大于4的情况，最后根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意可列表格如下，
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由表格可知共有12种等可能的情况，其中两数之和大于4的情况有8种，
∴两数之和大于4的概率是．
故选D．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键．
3. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴可知，，可判断A的正误；根据，可判断B的正误；根据，可判断C的正误；根据，，可判断D的正误．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，故A错误，不符合题意；
∵，
∴，故B错误，不符合题意；
∵，
∴，故C错误，不符合题意；
∵，，
∴，故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负，不等式的性质等知识．解题的关键在于明确．
4. 如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，则点E的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出y轴的位置，再利用多边形的性质可得点B与点E关于y轴对称，即可求解．
【详解】解：如图，∵，
∴点A在y轴上，
∵，，
∴点C与点D关于y轴对称，
∴点B与点E关于y轴对称，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，正确得出y轴的位置是解题的关键．
5. 函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与反比例函数的图象的综合，关键是熟知两个函数的图象与系数的关系．先利用反比例函数图象得到，再根据二次函数图象与系数关系即可得出答案．
【详解】解：∵函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴函数的图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，又对称轴为y轴，
故选项A中图象符合题意，选项B、C、D中图象不符合题意，
故选：A．
6. 点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 存在，使得
【答案】C
【解析】
【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】解：反比例函数图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
7. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）．
A. 50B. 25C. 15D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质；
根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答．
【详解】解：过点D作，垂直为E，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
矩形的面积为，
故选：B．
8. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据注水开始一段时间内，当大容器中书面高度小于h时，小水杯中无水进入，此时小水杯水面的高度h为0cm；当大容器中书面高度大于h时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面的高度不断增加，直到；然后小水杯水面的高度一直保持在h不再发生变化，对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，当大容器中书面高度小于h时，小水杯水面的高度h为0cm；
当大容器中书面高度大于h时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面高度不断增加，直到；然后小水杯水面的高度一直保持在h不再发生变化；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数的图象．解题的关键在于理解题意，抽象出一次函数．
二、填空题（共8小题，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
10. 若，则代数式的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先用y表示x，再代入分式求值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴=，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查分式求值，用y表示x，再代入求值，是解题的关键．
11. 如图，，是的弦，，是的切线，若，则_______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内角和定理；由切线的性质得出，，得出，由圆周角定理可得，再由四边形内角和等于，即可得出结果．解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于求角．
【详解】解：如图，连接，，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形内角和等于．
∴在四边形中，．
故答案为：．
12. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为______m．（参考数据：，，．）
【答案】18
【解析】
【分析】由结合再解方程即可.
【详解】解：由题意得：

m，
故答案为：18
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题的关键.
13. 如图，在中，E是边上的点，连接交于点F，若，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14. 如图，小军在时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是，当他在时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是，若两次测得的影长之差为，则树的高度为______．（结果精确到，参考数据：，）
【答案】2.6
【解析】
【分析】设树顶为点，根据题意可知，，通过三角形的外角性质可知，从而可知，则通过锐角三角函数可求出在直角三角形中的即树的高度．
【详解】解：如图所示，设树顶为F点，
根据题意，有，，
，
，
是等腰三角形，
，
在直角三角形中，
，
，
树高．
故答案为：2.6．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用知识点，通过等腰三角形找出，然后再通过锐角三角函数求出树高是解题的关键．
15. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π）
【答案】πcm2．
【解析】
【分析】求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可．
【详解】解：∵AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，
∴AD=10cm，
∴贴纸的面积为S=S扇形ABC﹣S扇形ADE=（cm2），
故答案为πcm2．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：
从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．
【答案】EBDC##ECDB
【解析】
【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．
【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，
由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出
故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E；
第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C
第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C
所以，可确定第四个节目为节目D
综上，演出顺序为节目AEBDCF或AECDBF
故答案为：EBDC或ECDB（写一种即可）．
【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（17-22每小题5分，23-26每小题6分，27-28每小题7分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、二次根式的化简是解题的关键．
【详解】解：
．
18. 解不等式组，并求它的整数解.
【答案】原不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【解析】
【详解】试题分析：首先求出不等式组的解，然后进行计算．
试题解析：解不等式组得： ∴－2≤x＜3 ∴整数解为x=－2、－1、0、1、2．
考点：不等式组的计算．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】0
【解析】
【分析】根据整式的乘法对代数式进行化简，整体代入即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=
=
∵
∴原式=0
即代数式的值为0．
【点睛】本题考查整式的化简求值，根据整式的运算法则和乘法公式进行准确计算是解题的关键．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】（1）由四边形ABCD为平行四边形得出AD//BC，证得△BEF∽△DAF即可得出结论；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB、DF 即可得到AD的长.
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD
∵点E为BC的中点
∴BE=BC=A D
∵AD//BC,∴△BEF∽△DAF
∴
∴DF=2BF
（2）解：∵CD=
∴AB=CD=
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°
∴设AF=x，则BF=2x
∴AB = =， x =
∴x=1，AF=1，BF=2
∵DF=2BF
∴DF=4
∴ AD = =.
21. 一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高的测角仪测得塔尖A的仰角为，向塔的方向前进到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）

【答案】中央电视塔的高度为386米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用， 在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解．掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴
由题意可知，，
∴，
由图可知四边形是矩形，则
∴（米），
答：中央电视塔的高度为386米．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：；
（2）k的取值范围是．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【小问1详解】
解：对于，当时，，
∴一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：解方程组，得或，
由题意得：，
解得：，
则k的取值范围是．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键．
23. 海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；
b．京北校区成绩在这一组的是_______：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值：
（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，直接写出结果并说明理由；
（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．
【答案】（1）
（2）海淀校区赋予等级A的学生更多，理由见解析
（3）78
【解析】
【分析】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．
（1）根据中位数的定义，将京北校区同学的成绩按从小到大顺序排序，找到第10、第11位的成绩，取平均值即可；
（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，进行比较即可；
（3）利用抽样调查学生的平均数估计总体学生的平均数即可求出答案．
【小问1详解】
解：京北校区成绩的中位数．
【小问2详解】
解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：
京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；
海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；
所以海淀校区赋予等级A的学生更多．
【小问3详解】
解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，
因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，
故答案为：78．
24. 北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为米，则________．
（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
【答案】（1）
（2）8米 （3）米
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为，由此即可得；
（2）先求出的值，从而可得抛物线的解析式，再根据“他滑行高度与小山坡的竖直距离为米”建立方程，解方程即可得；
（3）先求出小山坡的顶点坐标为，从而可得，再根据“与坡顶距离不低于3米”建立不等式，求出的取值范围，由此即可得．
【小问1详解】
解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，
解得，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
将点代入得：，解得，
则，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为8米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
【小问3详解】
解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，
，
解得，即跳台滑出点的最小高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
25. 如图，是的外接圆，AB是直径，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解析】
【分析】（1）由和即可得出，由此证明结论．
（2）过点C作于点，根据，设（），则，， 求出，继而根据求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ．
∴．
∵
∴．
∴．
∵是的直径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵是⊙O的直径，
∴．
∴．
过点C作于点，
∴．
∴．
∵，
∴．
设（），则，．
∴，．
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴的半径为4．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质、三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
26. 已知抛物线的对称轴为直线．
（1）若点在抛物线上，求t的值；
（2）若点，在抛物线上，
①当时，求a的取值范围；
②若，且，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）1 （2）①或；②
【解析】
【分析】（1）把点代入，得，再由抛物线对称轴方程得解；
（2）①由对称轴为得，分和两种情况，根据点和点与顶点的位置关系得不等式，求出的取值范围；
②由已知得，分别把，代入抛物线解析式，得，，两式相减得，再由得，再由，得，从而得，所以．
【小问1详解】
∵ 点在抛物线上，
∴．
∴．
∴ ．
【小问2详解】
①当时，，所以．
∵ 点，在抛物线上，
∴ 当时，有．
得，得．
当时，有．
得，得．
综上，的取值范围是或．
②∵且，则，在对称轴右侧，随着的增大而增大，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点的关系，结合图象求解．
27. 在中，，，点D为射线上一点，过点D作且（点E在点D的右侧），射线交射线于点F，点H是的中点，连接，．
（1）如图1，当点D在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系；
（2）当点D在线段的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）数量关系，位置关系，理由见解析
（2），作图及证明见解析
【解析】
【分析】（1）易得为等腰直角三角形，连接，证明，即可得出结论；
（2）连接，，证明，推出，在中，由勾股定理，得到，进行线段的转化，即可得出结论．
【小问1详解】
解：数量关系，位置关系，理由如下：
∵，，
∴，
∵且，
∴，，
∴，
连接，
∵为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即：；
【小问2详解】
依题意补全图形，如图．
数量关系：．
证明：连接，，如图．
∵中，，，
∴．
∵，
∴，．
又∵
∴．
∵点是的中点，
∴，，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵，，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接，交线段于点T．求证：；
（2）的半径为1，M是上一点，点N在线段上，且（），若p为外一点，点Q为点P的“对应点”，连接．当点M在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；
②延长至点，连接，利用证明，得到，再计算出，，即可求出；
（2）连接并延长至，使，延长至，使，结合对称的性质得出为的中位线，推出，得出，则．
小问1详解】
解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，即为与的中点，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长至点，连接，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，
连接并延长至，使，延长至，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
结合题意，，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键．1
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1
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5
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6
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4
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演员1
演员2
演员3
演员4
演员5
演员6
演员7
演员8
节目A
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节目B
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节目C
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节目D
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节目E
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节目F
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平均数
中位数
京北校区
79.5
海淀校区
77
815