广西壮族自治区桂林市宝贤中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区桂林市宝贤中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共22页。
1．答题前，考生务必将答题卷上的考生信息填写清楚，认真贴好条形码．
2．用2B铅笔回答选择题，用0.5mm黑色水性笔回答非选择题．
3．所有的题目请在答题卡上做答，否则无效．
4．本试卷共4页，考试结束后，请将试题、答题卡和草稿纸全部收回．
一、选择题（每题3分，共36分）
1. 一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A. 2，3，1B. ，3，1C. 2，， D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程，其中分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项，据此可得答案．
【详解】解：一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，3，1，
故选：A．
2. 二次函数的最小值是（ ）
A. 2B. ﹣2C. 5D. ﹣5
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．
【详解】解：二次函数的最小值是5
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，掌握二次函数的顶点式求最值问题的方法是解题的关键．
3. 反比例函数y＝的图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第一、二象限D. 第二、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高象限．
【详解】解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟知比例系数的符号与函数图象的关系是解题的关键．
4. 若与的相似比是，则它们对应中线的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，若两个三角形相似，则它们对应中线的比等于相似比，根据题意即可得到答案，熟记相似三角形性质是解决问题的关键．
【详解】解：与的相似比是，
它们对应中线的比等于相似比为，
故选：A．
5. 小明的数学作业本的纸上都是等距离的横线，他在上面任意画一条不与这些横线平行的直线，那么这条直线被这些横线所截得的线段( )
A. 平行B. 相等C. 平行或相等D. 不相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线等分线段定理进行分析，从而得到答案．
【详解】解：根据平行线等分线段定理，得这条直线被横线所截得的线段相等．
故选B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例.
6. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
【详解】解：根据x的一元二次方程，
可知：，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
7. 如图，在中，，，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用正弦函数值求线段长，根据三角函数正弦值列方程求解即可得到答案，数形结合，熟记正弦函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，，，
，即，解得，
故答案为：C．
8. 某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（ ）
A. 380粒B. 400粒C. 420粒D. 500粒
【答案】D
【解析】
【分析】用蓝色黄豆数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得．
【详解】解：估计这袋黄豆约有25÷＝500（粒），
故选：D．
【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
9. 已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意；
B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意；
C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意；
D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意；
故选：D．
10. 在长为20米、宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为164平方米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据图可知草坪的长和宽，根据矩形得面积公式等于长乘以宽列出一元二次方程即可．
【详解】解：由图可知：草坪的长为：米，草坪的宽为：，
故草坪的面积为：，
故选：C．
11. 如图，点P在y轴上，轴，分别交反比例函数和图象于点A，B，则的面积是（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质，延长交x轴于H，连接，证明得到，再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则．
【详解】解：如图所示，延长交x轴于H，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∵点A和点B分别在反比例函数和图象上，
∴，
∴，
故选：B
12. 如图，在中，，D是上的一点，过D作交于点E，若，，，则的长是（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，正切函数的定义．过点E作于点F，由与得出．，进而得出，由相似三角形的性质得出，进而求出，利用等腰三角形的性质得出．
【详解】解：如图，过点E作于点F，
∵．与，
∴，，
∴．，
∴．
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（每题2分，共12分）
13. 若反比例函数的图象经过点，则的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数解析式，由题意，将代入反比例函数即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
14. 一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是：_____．
【答案】x1＝﹣2，x2＝3
【解析】
【分析】利用因式分解法把原方程化x+2＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．
【详解】（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
15. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是_____________．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【详解】解：由方差的意义，观察数据可知，
∵，
∴甲块试验田的方差小，
故甲试验田小麦长势比较整齐．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16. 某人沿着坡度为的斜坡向上前进了，那么他上升的高度是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坡度定义，涉及勾股定理等知识，数形结合，由坡度定义列式，设，，在中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案，熟记坡度定义及勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：由题意，如图所示，得到，
设，，
在中，由勾股定理可得，
，
，解得，即，
故答案为：．
17. 某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米行驶车的数量x辆（x为正整数）的关系如图所示，当时，y与x成反比例，当车辆的行驶速度低于21千米/时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶车的数应该满足的范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，设反比例函数的解析式为∶，根据图象将代入，求出k的值，得出反比例函数的解析式，然后再代入y值，即可求出对应的x值，然后根据x为正整数即可求出x的范围．
【详解】解：设反比例函数的解析式为∶，
则将，代入得∶，
解得：，
故反比例函数的解析式为∶，
故当车速度为21千米/时，则，
解得∶，
故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是∶，
故答案为∶ ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是____．
【答案】5
【解析】
【分析】先求出，，，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
∴；
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，；
过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图，
∴，，
∵，，
∴四边形是正方形，且，
∴点O与点T关于直线对称，
∴，
∴，
∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，
∵，，
∴的最小值，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
19. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，首先计算零指数幂和负整数指数幂、并代入特殊角的三角函数值，然后进行乘法运算，最后进行加减法．
【详解】解：
20. 解方程：.
【答案】，.
【解析】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】系数化为1并移项，得
配方，得
即
两边开方，得
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中， △ABC的顶点都在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为．
（1）求；
（2）在第三象限内，以O为位似中心，在网格中作，使其与原图形的位似比为；并写出点坐标．
【答案】（1）
（2）见详解，
【解析】
【分析】本题主要考查了正切函数的定义，勾股定理以及画位似图形．
（1）根据网格信息可知，再根据网格信息利用勾股定理分别求出和BC的值，最后根据正切得定义即可求出答案．
（2）先根据网格坐标得出点B，点C的坐标，然后利用位似的性质得出点，点，点的坐标，连接各点即可．
【小问1详解】
解∶由网格信息可知：，
∵，，
∴．
【小问2详解】
点A的坐标为，由网格坐标可知：，，
根据以O为位似中心，，与的位似比为，
∴，，，
如下图所示：
22. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在______组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
【答案】（1）400，60，D
（2）见解析 （3）1120名
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图、扇形统计图中的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量，求中位数分方法是解题的关键．
（1）频数分布直方图中C的人数是96人，所占百分比是，由此可求出抽取的总人数；根据总体人数及B组人数占的百分比，进而求得B组人数m；根据中位数的定义，即可求出中位数落在哪一组；
（2）根据频数分布直方图中其余各组人数即可求出E组人数；
（3）根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：（名），
∵B组的人数为：（名），
∴；
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，A，B，C组的人数和为：，D组人数为，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
【小问2详解】
解：E组的人数为：（人）；
补全频数分布直方图如下：
；
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计该校成绩优秀的学生有1120名．
23. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量约为25万辆，2022年出口量约为64万辆．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量约为多少万辆？
【答案】（1）年平均增长率是
（2）预计2023年我国新能源汽车出口量约为102.4万辆．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是，根据2020年出口量约为25万辆，2022年出口量约为64万辆，列出方程进行求解即可；
（2）利用2022年出口量，根据增长率，求出2023年我国新能源汽车出口量即可．
【小问1详解】
设2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是，根据题意得
，
解得（舍）；
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是．
【小问2详解】
答：预计2023年我国新能源汽车出口量约为102.4万辆．
24. 综合与实践
【问题情境】
数学实践活动上，同学们通过自己的方法成功测量了学校旗杆的高度．他们对此产生了浓厚的兴趣，决定尝试测量学校篮球场某个路灯的高度．此时路灯已经点亮了校园的运动场．
【问题探究】
第一小组的一名的同学从路灯底端出发向前走一段距离停止．做好标记后，测量并记录，重复三次操作．示意图如图1．
（1）该测量模型中，若，，用含a，b的代数式表示路灯的高度______．
【拓展应用】
（2）另一组的同学想到另外一个方案，他们让两名身高同为的同学一起从路灯底端出发向前走一段距离，其中一名同学停下后，另一名同学继续前进，直到位于前一名同学的影子顶端才停止．他们画出的测量示意图如图2，测得第一名同学的影长为，第二名同学的影长为．你能否帮他们求出路灯的高度？
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，用代数式表示式．
（1）由测量模型可知，，，根据相似三角形的性质，得出，进一步得出．再用字母表示出来即可．
（2）根据（1）可知，，根据相似三角形的性质，得出，，由可知，即可求出，进一步求出即可．
【详解】解：（1）由测量模型可知：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）可知：，，
∴，，
∵，
∴，
即：，
解得：，
∴
故路灯的高度为：米.
25. 投掷实心球是桂林市中考体育的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，一名女生掷实心球，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，此时距离地面．
（1）求关于的函数表达式；
（2）桂林市体育中考评分标准（女生）如下表所示：
该女生在此项目中获得多少分，请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、函数图象与轴的交点等知识，熟练掌握待定系数法确定二次函数关系式是解决问题的关键．
（1）根据题意，设二次函数顶点式为，将代入解析式求解即可得到答案；
（2）根据（1）中求得的二次函数解析式，令，求出掷实心球距离为时，查表即可确定分值为分．
【小问1详解】
解：当水平距离为时，实心球行进至最高点，此时距离地面，
设二次函数顶点式为，
掷出时起点处高度为，
将代入得到，解得，
关于的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）知关于的函数表达式为，
令，得，解得或（负值舍去），
综上所述，由表可得，当掷实心球距离为时，分值为分．
26. 如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

（1）如图1，当点A坐标为时，
①求直线的解析式：
②若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为2时，求点P的坐标；
（2）将直线向上平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求m的值．
【答案】（1）①；②或
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；
②作，过C作于Q；联立与反比例函数解析式，求得的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标；
（2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，同（1）可得，证明I为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即I是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可；
小问1详解】
解：①∵在上，
∴，
把代入中得：，
则直线解析式：，反比例函数解析式为：；
②由直线与反比例函数的图象分别交于点A和点B，
则，
解得或，
∴，
，
如图，过P作分别交x轴、y轴于点M、N，过C作于Q，
设的距离为d，则，
解得，
∴的距离为，
∴，

∵，令，则，令，则，即
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴直线是直线向右平移2个单位后得到的直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
或；
【小问2详解】
解：过点作于J，交于点，交于点，如图，

∴，
由题意可知直线的解析式为，
∴，
同（1）可得，
∴，
∵，
∴I为的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，
，即I是的中点，
联立，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，一次函数的平移，轴对称的性质，正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解是解题的关键．分值
12
15
18
21
24
27
30
33
36
距离（米）
3.1以下
31
3.4
3.7
4.0
4.3
4.6
4.9
5.2
分值
39
42
45
48
51
54
57
60
距离（米）
5.5
5.9
6.3
6.7
7.1
7.5
7.9
8.3