河南省驻马店市驿城区第四中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题

这是一份河南省驻马店市驿城区第四中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则求解即可．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，正确，符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 如图，五线谱是由等距离，等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】C
【解析】
分析】如图所示作辅助线，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．
【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，
，
五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高，
，
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键．
3. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图可得，实验结果在0.33附近波动，故概率，计算四个选项概率即可得出答案．
【详解】A. 抛一枚硬币两次，出现得结果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种，所以连续两次出现正面的概率，故A排除；
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故B正确；
C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率为，故C排除；
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故D排除．
故选：B
【点睛】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，在解答过程中掌握概率公式是解决本题的关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 菱形的四个内角都是直角B. 矩形的对角线互相垂直
C. 正方形的每一条对角线平分一组对角D. 平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键．
5. 根据下表：
确定方程的解的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可．
【详解】解：由表格得：时，，
时，；
时，；
时，，
可得方程的解取值范围是或．
故选：A．
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
7. 若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为 ，将点 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点 ，即可求解
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
将点 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点 ，
∴抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
8. 已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点得出对称轴为直线，图象开口向上，利用二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数关系式为，
∴二次函数的对称轴为直线，图象开口向上，
∵
∴当时的函数值与时的函数值相等，
∵，
∴，
故选：B．
9. 如图，四边形内接于，，，的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据补角的性质求出的度数，再由圆内接四边形的性质求出的度数，由等腰三角形的性质求得的度数，再有圆周角圆心角的关系得出结论．
【详解】解：，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出点B、D的坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作轴于点E，轴于点F，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是等腰直角三角形，，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴每8次旋转一个循环，
∵
由题意可得，最后的位置是,如图，
∴点的坐标
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分.）
11. 二次函数的顶点坐标为______．
【答案】(1，0)
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为（1，0），
故答案为（1，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
12. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点、的度数分别为、，则的大小为___________
【答案】
【解析】
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠ACB＝∠AOB，
而∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝×56°＝28°．
故答案为：28°．
【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
13. 如图，某圆弧形拱桥的跨度，拱高，则该拱桥的半径为______m.
【答案】8.9
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径为，连接．根据垂径定理得，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，
设圆心是，半径是，连接．
根据垂径定理，得：，
在中，根据勾股定理，得，
解得：，
即该拱桥的半径为，
故答案为：8.9
14. 如图，矩形的边与y轴平行，且，反比例函数的图象同时经过点B与点D，则k的值为_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据四边形为矩形，结合，得出点B、D的坐标，然后再根据点B、D在反比例函数的图象上，列出关于m的方程，解方程即可得出m的值，最后求出k的值即可．
【详解】解：∵矩形的边与y轴平行，，
∴点B的坐标为，点D的坐标为，
∵点B、D在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴点B的坐标为，
∴．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，解题的关键是根据题意得出，．
15. 如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之间的关系，设出边长的值，构造出直角三角形，根据勾股定理求出的长，然后再根据勾股定理可得到有关的一元二次方程，求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边关系得到等式是解题的关键．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴,
设，
∵沿折叠得到，
∴，，
①当点F落在上时，过点F作的平行线交于一点M，如图所示：
，
此时，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：；
②当点F落在直线上时，延长边,过点F作的平行线交的延长线于一点N，如图所示：
，
在中，，
即，
∴，
在中，，
即，
解得：，
综上的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（8小题，共计75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的混合运算以及二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用绝对值以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的运算法则进行计算得出答案．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
17. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程—公式法，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
，


，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；
A．不可能 B．必然 C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
【答案】（1）C （2）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；
（2）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示，从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．
【小问1详解】
解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：C；
【小问2详解】
从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A)的结果有6 种，则，
则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，已知中，，以AB为直径的交BC于点D，交AC于点E，连接AD，BE相交于点F.
（1）求证：；
（2）若，，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而在中，利用勾股定理可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可得的长．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
∴，
；
【小问2详解】
解：是的直径，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
．
20. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，每月可多销售5条，设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得利润为w元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润为4175元，且让消费者得到最大的实惠，休闲裤的销售单价应定为多少？
【答案】（1） （2）售价为70元；获利最大，最大利润为4500元 （3）65元
【解析】
【分析】（1）由每月的销量等于100条加上增加的销量条即可得到答案；
（2）由每条的售价减去成本乘以每月的销售量列函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）由每月的销售利润等于（4175+200）元，再列方程，解方程并检验即可得到答案.
【详解】解：（1）由题意得：y=100+5（80-x）=-5x+500
（2）解：由题意得
W=（x-40）（-5x+500）=-5（x-70）2+4500.
∵-5＜0，函数有最大值，
∴当x=70时，W最大值为4500.
答：当售价为70元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元.
（3）解：由题意得：-5（x-70）2+4500=4175+200
整理得：
解之：x1=65，x2=75.
为了让消费者得到最大的实惠，
∴x=65，舍去
∴当售价定为65元时，符合网店要求，又让消费者得到最大的实惠.
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解总的利润等于每条休闲裤的利润乘以销售数量，并利用这个等量关系列方程，列二次函数关系式是解本题的关键.
21. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
（1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的．
（2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得．
（3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求；
（2）在点C的左侧作水平线段个单位长度，连结，在上取点N，使个单位长度，过点N沿格点线作，交于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得，所以点M就是所求的点；
（3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点．
【小问1详解】
如图，即为所求作的三角形；
【小问2详解】
如图，点M就是所求的点；
【小问3详解】
如图，点D就是所求的点．
22. 原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一.受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩.实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系.小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练.
（1）第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：
则：
①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是______；
②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩.
（2）第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？
（3）实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹.小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线中c的值不变，要提高成绩应使的值增大还是减小？
【答案】（1）①，实心球抛出后在距抛出点水平距离为3米时到达的最大垂直高度为2.7米；②本次成绩为米
（2）第二次训练成绩比第一次训练成绩有提高，理由见解析
（3）要提高成绩，应使的值增大．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）①根据表格中数据找到顶点坐标，再根据实心球的轨迹写出顶点的实际意义；
②设出抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可；再令，求出即可；
（2）令中的，解方程求出的值与②中的比较即可；
（3）根据的值不变，越大，着陆点越远，得出结论．
【小问1详解】
①由表格中数据可知，当和时，的值相同，
是抛物线对称轴，
顶点坐标为，
顶点是抛物线的最高点，
顶点实际意义为：实心球抛出后在距抛出点水平距离为3米时到达的最大垂直高度为2.7米；
故答案为：，实心球抛出后在距抛出点水平距离为3米时到达的最大垂直高度为2.7米；
②设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
与近似满足的函数关系式为，
令，则，
解得，（舍去），
，
本次成绩为米；
【小问2详解】
令，则，
解得或（舍去），
，
第二次训练成绩比第一次训练成绩有提高；
【小问3详解】
着陆点越远，成绩越好，
越大，着陆点越远，
要提高成绩，应使的值增大．
23. 在中，，，点是边上一动点（不与点，重合），作射线，将沿折叠得到点的对应点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．
【问题发现】（1）如图1，①与的数量关系为________；②若，猜想线段与的数量关系为________；
【类比探究】（2）如图2，若，请问（1）中②的结论还成立吗？并说明理由；
【拓展应用】（3）在（2）的基础上，已知，，在点移动的过程中，若为直角三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）①；②；（2）不成立，见解析；（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）①如图1，延长交于点，连接．由折叠的性质得，，，，，．由三角形内角和定理，对等角相等可求；②证明，则；
（2）由（1）知，证明，则，即．
（3）由勾股定理得，，由，可得，，由题意知，分，两种情况求解：当时，如图2，延长交于，由（2）知，，则，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，，即，求得满足要求的解，进而可求；当时，则，如图3，重合，由折叠的性质可知，，设，则，由勾股定理得，，求得，，进而可求．
【详解】（1）解：①如图1，延长交于点，连接．
图1
由折叠的性质得，，，，，．
∵，，，
∴，
故答案为：；
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：不成立，理由如下：
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴（1）中②的结论不成立；
（3）解：∵，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，，
由题意知，分，两种情况求解：
当时，如图2，延长交于，
由（2）知，，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴；
当时，则，如图3，重合，

由折叠的性质可知，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键．…
4
5
6
13
5
…
5
13
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1