浙江省温州市苍南县六校联考2023-2024学年九年级上学期第一次学情检测数学试题

这是一份浙江省温州市苍南县六校联考2023-2024学年九年级上学期第一次学情检测数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 抛掷硬币时，正面朝上B. 太阳从东方升起C. 经过红绿灯路口，遇到红灯D. 负数大于正数
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答．
【详解】解：A、抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；
B、太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；
C、经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件；
D、负数不可能大于正数，故负数大于正数是不可能事件．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A. 圆外B. 圆上C. 圆内D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据的半径r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可．
【详解】解：根据题意可得：的半径为，点P到圆心O的距离为，
∵，
∴，
∴点P在内，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．
3. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代入抛物线解析式，求出相应的的值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，
故抛物线与y轴的交点坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征；解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是时的值．
4. 如图，点A、B、C在上，若，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧上的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
【详解】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5. 如图将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分占7份，
∴飞镖落在阴影区域的概率是；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
6. 将抛物线向左平移4个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式．
【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．理解和掌握函数图像平移的规律是解题的关键．
7. 如图是一个等边三角形，若将它绕着它的中心O旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质与等边三角形的特点进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，
∴至少将它绕中心顺时针旋转，才能使等边三角形旋转后与自身重合．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键熟练掌握等边三角形的特性．
8. 经市场调查发现，将进货价格为45元商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．当这种商品的售价减低元时，每个的销售利润为元，销售量为个，利用总利润每个的销售利润销售量，即可找出关于的函数关系式，此题得解．
【详解】解：当这种商品的售价减低元时，每个的销售利润为元，销售量为个，
根据题意得：．
故选：A．
9. 如图，为的直径，弦交于点E，点C恰好落在的中点，若，则弦为（ ）
A. 15B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
连接，折叠后，C点落在点，设的半径为r，根据折叠的性质及题意得出，，根据线段的和差求出，，则r，根据垂径定理求出，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，C点落在点，
设的半径为r，
∵点C恰好落在的中点，
∴，
根据折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
10. 已知，是抛物线上不同的两点，当时，恒有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．根据题意求得抛物线的对称轴为直线，即可求得或2时，，由可知，则函数为，然后利用二次函数的增减性即可得到的取值范围．
【详解】解：，是抛物线上不同的两点，
，
，
抛物线，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
函数在时有最小值，
或2时，，
当时，恒有，
．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 二次函数y=+2的顶点坐标为_________．
【答案】（1，2）.
【解析】
【详解】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）.
故答案为（1，2）．
考点：二次函数的性质．
12. 如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是________．
【答案】##90度
【解析】
【分析】本题考查了几何概率的知识．阴影部分所对圆心角的度数与的比，即为转动停止后指针指向阴影部分的概率．
【详解】解：设圆心角的度数为，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，已知是的弦，，点为的中点，连接，则的度数为_______．
【答案】70
【解析】
【分析】此题考查圆周角定理．连接，得出，再根据圆周角的性质得出，进而解答即可．
【详解】解：连接，
点为的中点，
，
，
，
，
故答案为：70．
14. 已知点，在抛物线上，且，则________．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质即可分析得出当时，随的增大而减小，结合题意即可得出答案．
【详解】解：∵，
故，抛物线开口向下，
抛物线对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
15. 如图，、、为上的点，，连接，交于点，若，，则的长为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，垂径定理．过点作交于点，设，根据圆周角定理可得，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理即可求得，，根据直角三角形两个锐角互余可求得，根据等角对等边可得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理可得，即可求解．
【详解】解：过点作交于点，如图：
设，则，
∵，
，
则，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
，
，，
，
即，
，
在中，，
即，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
16. 图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中，，为伸缩杆，其中，支架最大宽度，支架的高为，则外接圆的半径为___________________，当一部宽为的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同，形成的外接圆的圆心为点，若，则为____________________cm．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了垂径定理，勾股定理等．延长交于点，设的半径为，在中由勾股定理求出即可；由垂径定理及切线的性质可知：，，，，由得，由可得，进而得，在中由勾股定理求出，设，在中由勾股定理即可求出的值．
【详解】解：延长交于点，如图1所示：
依题意得：，，
由垂径定理得：，，
设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为；
延长交于，交于，连接，如图2所示：
依题意得：，，
由垂径定理及切线的性质可知：
，，，，
，，
，
，，
，
又；
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：．
即为．
故答案为：；．
三、解答题（本题有7小题，共66分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】（1）
（2）点不在此函数的图象上
【解析】
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，待定系数法即可求解；
（2）将代入二次函数解析式，即可判断出点是否在抛物线的图象上．
【小问1详解】
解：∵当时，y有最小值，
故二次函数的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
∴二次函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
18. 在4张完全相同的卡片里写上1，1，2，3，将它们背面朝上．
（1）若随机翻出一张卡片，求恰好翻出1的概率；
（2）若随机翻出两张卡片，请用列表或画树状图等方法求取出的卡片至少有一张是1的概率．
【答案】（1）
（2）取出的卡片至少有一张是1的概率为．
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次数字和为0的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：随机抽出一张卡片，则恰好翻出1的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，取出的卡片至少有一张是1的结果有10个，
∴取出的卡片至少有一张是1的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，已知为的一段弧，请根据要求画出图形．

（1）在图中找出的圆心O，并画出完整的圆（尺规作图，保留作图痕迹）．
（2）点A在上，在上找一点P，使得是直角三角形，且
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先在上确定点，连接和，再分别作和的垂直平分线，交于点；以为圆心，的长为半径，画圆；
（2）根据的圆周角所对的弦是直径，可推得点的位置，作图即可求解．
【小问1详解】
解：如图：
作法：在上确定点，连接和，分别作和的垂直平分线，交于点，即为所求圆心；以为圆心，的长为半径，画圆即可．
【小问2详解】
解：∵，且点P在上，
∴是上的直径，
故连接并延长，交于点，即为所求，如图：
【点睛】
本题考查了尺规作图——确定圆心、画圆，的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
20. 如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别交，于点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆和直角三角形综合．正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理推论，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形性质，是解决问题的关键．
（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半推出，根据直径对的圆周角是直角得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解；
（2）根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半推出，根据直径对的圆周角是直角推出，根据勾股定理列出等式，据此求解即可．
小问1详解】
如图，连接，
∵中，，D为中点，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，，，
∴，
∵D为中点，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点，点为抛物线上的一点．

（1）求b的值及该抛物线的对称轴．
（2）若，求n的最大值与最小值的差．
【答案】（1），对称轴
（2）8
【解析】
【分析】（1）把代入，解得，易知对称轴，即可作答；
（2）由（1）知，对称轴，因为为抛物线上的一点，，则把，和分别代入，求出，再求n的最大值与最小值的差，即可列式作答．
【小问1详解】
解：把代入，
则，
解得，
则
那么对称轴；
【小问2详解】
解：由（1）知，对称轴，
∵为抛物线上的一点，且，
∴把，和分别代入，
∴当时，
当时，；
当时，；
所以n的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象性质以及比较函数值的大小，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（1）（2）（3），，
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）令二次函数代入函数解析式即可求解；
（3）设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为，结合，即可求解．
【详解】解：（1）设y关于t的函数表达式为，
将，，代入得，
，
解得，，
故y关于t的函数表达式为；
（2）当飞机落地时，即，
，即
解得，或（舍去），
，
时，，
故飞机落地时，飞行的水平距离为；
（3）若飞机落在内，则，
即，
，
设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为，
当，时，，解得，，
当，时，，解得，，
，
故发射台弹射口高度为，，．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结．
（1）求出b的值及直线的函数表达式．
（2）在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点，
①若，求证：．
②当等于中的某一个角时，求的长．
（3）点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______．
【答案】（1）5；
（2）①证明见解析；②BP的长为5或
（3）60
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①连接，利用平行线的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质定理解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当时，利用对顶角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；当时，利用圆周角定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例和勾股定理解答即可；
（3）连接，利用轴对称的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【小问1详解】
解：直线经过点，
，
直线的解析式为，
令，则，
．
．
，
，
，
．
设直线的函数表达式为，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：①连接，如图，
∵，
，
，
．
为的直径，
．
在和中，
，
，
．
，
；
②当时，
，，
，
，
．
．
，
，
，
即．
，，，
，
，
；
当时，
，
，
∴，
，
∴，
．
，
．
综上，当等于中的某一个角时，的长为5或；
【小问3详解】
解：连接，如图，
点关于直线的对称点恰好落在上，
．
，，
．
为的直径，
．
在和中，
，
，
，
．
，
四边形的面积为60．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，连接直径所对的圆周角和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1
图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如表所示．

（图1）
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行高度
0
10
16
18
16
…
素材2
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知，．

（图2）
问题解决
任务1
确定函数表达式
求y关于t的函数表达式
任务2
探究飞行距离
当飞机落地（高度为）时，求飞机飞行的水平距离．
任务3
确定弹射口高度
当飞机落到内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数）