2023-2024学年河南省南阳市方城县八年级（上）学情分析数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市方城县八年级（上）学情分析数学试卷（A卷）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(−4)2的算术平方根是( )
A. 4B. ±4C. 2D. ±2
2.计算x2⋅x3的结果是( )
A. x5B. x8C. x6D. x7
3.已知x2−y2=20，x−y=4，则x+y的值为( )
A. −4B. 5C. −5D. 以上都不对
4.把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x−3)，则a，b的值分别是( )
A. a=2，b=3B. a=−2，b=−3
C. a=−2，b=3D. a=2，b=−3
5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A. PA=PB
B. PO平分∠APB
C. AB垂直平分OP
D. OA=OB
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是( )
A. 365
B. 1225
C. 94
D. 3 34
7.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，则△ABC是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
8.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6cm，AB=8cm，则△EBC的周长是
( )
A. 14cmB. 18cmC. 20cmD. 22cm
9.在一次为希望小学捐款活动中，某班60位同学都参加了捐款活动，分别捐了5元、10元、15元、20元，统计图如图所示，则该班共捐款( )
A. 576元
B. 675元
C. 678元
D. 587元
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：− 36+ 214+327=______．
12.已知2x=4y+1，27y=3x−1，则x−y的值为______．
13.若实数m、n满足|m−3|+ n−4=0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为______．
14.如图，点O是△ABC内的一点，且点O到顶点A、B、C的距离相等，连接OB，OC，若∠A=78°，则∠BOC的度数为______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB边上的一个动点，则EC+ED的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算．
(1) (−5)2+364−| 7−4|；
(2)[2(m+1)2−(2m+1)(2m−1)−3]÷(−4m)．
17.(本小题10分)
先化简，再求值．
(1)[2x(x2y−xy2)+xy(xy−x2)]÷x2y，其中x=2023，y=2024．
(2)(a+2b)(a−2b)+(a+2b)2+(2ab2−8a2b2)÷2ab，其中a=− 2，a、b互为相反数．
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．
19.(本小题10分)
对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，请利用这一方法解决下列问题：
(1)观察图2，写出所表示的数学等式：______=______．
(2)观察图3，写出所表示的数学等式：______=______．
(3)已知(2)的等式中的三个字母可以取任何数，若a=7x−5，b=−4x+2，c=−3x+4，且a2+b2+c2=37.请利用(2)中的结论求ab+bc+ac的值．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．
(1)作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接AE，求证：AE平分∠CAB．
21.(本小题10分)
如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿BC方向移动，A到BC的距离AD=30，在距台风中心50的圆形区域都将受到台风的影响．
(1)台风中心经过多长时间将到达D点？
(2)A城受这次台风的影响有多长时间？
22.(本小题10分)
已知射线AC是∠MAN的角平分线，∠NAC=60°，点B是射线AN上的点，连接BC．
(1)如图1，当点D在射线AM上时，连接BD，CD.若∠ABC=∠ADC=90°，则△BCD的形状是______．
(2)如图2，当点D在射线AM的反向延长线AG上时，连接BD，CD.若∠ABC=∠ADC，则(1)中的结论是否成立？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵(−4)2=16，
所以16的算术平方根是4．
故选A．
首先计算(−4)2=16，再根据算术平方根的定义进一步计算即可求出16的算术平方根．
此题考查了乘方运算和算术平方根的定义，比较简单．
2.【答案】A
【解析】解：x2⋅x3=x2+3=x5.故选A．
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am⋅an=am+n．
本题主要考查同底数幂相乘的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵x2−y2=20，
∴(x+y)(x−y)=20，
∵x−y=4，
∴x+y=5．
故选：B．
关键平方差公式整体代入求值即可．
本题考查了平方差公式，灵活应用平方差公式是关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多项式的乘法和因式分解的概念，解题的关键是明确因式分解后两多项式相等.运用多项式乘以多项式的法则求出(x+1)(x−3)的值，对比系数可以得到a，b的值．
【解答】
解：∵(x+1)(x−3)=x2−3x+x−3=x2−2x−3，
∴x2+ax+b=x2−2x−3，
∴a=−2，b=−3．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故A选项正确；
在△AOP和△BOP中，
PO=POPA=PB，
∴△AOP≌△BOP(HL)，
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故B，D选项正确；
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，故选项D正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故C选项错误；
即不一定成立的是选项C，
故选：C．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP，全等三角形对应边相等可得OA=OB．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出两三角形全等是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设点C到AB的距离为h，
在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，
∵AC=9，BC=12，
∴AB= AC2+BC2=15，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅h，
∴h=12×915=365．
故选：A．
首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据等面积法即可求出点C到AB的距离．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．
【解答】
解：移项得，a2c2−b2c2−a4+b4=0，
c2(a2−b2)−(a2+b2)(a2−b2)=0，
(a2−b2)(c2−a2−b2)=0，
所以，a2−b2=0或c2−a2−b2=0，
即a=b或a2+b2=c2，
因此，△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选C．
8.【答案】A
【解析】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴CE+BE=AB=8cm．
∵BC=6cm，
∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=6+8=14(cm)．
故选：A．
先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故CE+BE=AB，再由△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB即可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由扇形统计图可得，捐款5元的人数为60×30%=18(人)，捐款10元的人数为60×25%=15(人)，捐款15元的人数为60×35%=21(人)，捐款20元的人数为60×10%=6(人)，
∴该班共捐款18×5+15×10+21×15+6×20=675(元)．
故选：B．
由扇形统计图可分别得出捐款5元、10元、15元、20元的人数，进而可得答案．
本题考查扇形统计图，能够读懂统计图是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．
首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】
解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴EC=BE=12BC=4，
∴AE2=52−42=9，
∴AE=3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．
∴3≤AD<5，
∴AD=3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选C．
11.【答案】−32
【解析】解：− 36+ 214+327
=−6+32+3
=−32．
故答案为−32．
本题涉及二次根式，三次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
12.【答案】3
【解析】解：∵2x=4y+1=22y+2，27y=33y=3x−1，
∴x=2y+23y=x−1，
解得：x=4y=1
则x−y=4−1=3．
故答案为：3．
直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，正确得出关于x，y的方程组是解题关键．
13.【答案】5或4
【解析】【分析】
本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用非负数的性质求出m，n，再利用勾股定理分类讨论即可解决问题．
【解答】
解：∵|m−3|+ n−4=0，
∴m=3，n=4，
①当m，n是直角边时，
∴直角三角形的斜边= 32+42=5，
②当n=4是斜边时，斜边为4，
故答案为5或4．
14.【答案】156°
【解析】解：连接OA，
∵∠BCA=78°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−78°=102°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
同理，∠OCA=∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=78°，
∴∠OBC+∠OCB=102°−78°=24°，
∴∠BOC=180°−24°=156°，
故答案为：156°．
连接OA，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
15.【答案】 5
【解析】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，
此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得DC′= BC′2+BD2= 22+12= 5．
故答案为： 5．
首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算．
此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．
16.【答案】解：(1) (−5)2+364−| 7−4|
=5+4−(4− 7)
=5+4−4+ 7
=5+ 7；
(2)[2(m+1)2−(2m+1)(2m−1)−3]÷(−4m)
=[2(m2+2m+1)−(4m2−1)−3]÷(−4m)
=(2m2+4m+2−4m2+1−3)÷(−4m)
=(−2m2+4m)÷(−4m)
=12m−1．
【解析】(1)先化简，再算加减即可；
(2)先算完全平方，平方差，再合并同类项，最后最整工的除法即可．
本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：(1)[2x(x2y−xy2)+xy(xy−x2)]÷x2y
=(2x3y−2x2y2+x2y2−x3y)÷x2y
=(x3y−x2y2)÷x2y
=x−y，
当x=2023，y=2024时，原式=2023−2024=−1；
(2)(a+2b)(a−2b)+(a+2b)2+(2ab2−8a2b2)÷2ab
=a2−4b2+a2+4ab+4b2+b−4ab
=2a2+b，
∵a=− 2，a、b互为相反数，
∴b= 2，
∴当a=− 2，b= 2时，原式=2×(− 2)2+ 2=2×2+ 2=4+ 2．
【解析】(1)先利用单项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
(2)利用平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算−化简求值，实数的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：如图，连接AC，

在△ACE和△ACF中，
AE=AFCE=CFAC=AC，
∴△ACE≌△ACF(SSS)，
∴∠EAC=∠FAC，
在△ACB和△ACD中，
∠BAC=∠DAC∠B=∠D=90°AC=AC，
∴△ACB≌△ACD(AAS)，
∴CB=CD．
【解析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC=∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
19.【答案】解：(1)(a+2b)(a+b)， a2+3ab+2b2 ；
(2)(a+b+c)2 ，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(3)由(2)得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∵(a+b+c)2=(7x−5−4x+2−3x+4)2=1，
∴1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a2+b2+c2=37，
∴1=37+2(ab+bc+ac)，
∴2(ab+bc+ac)=−36，
∴ab+bc+ac=−18．
【解析】解：(1)大矩形的面积=(a+2b)(a+b)，
各部分面积和=a2+3ab+2b2，
∴(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2，
故答案为：(a+2b)(a+b)；a2+3ab+2b2；
(2)正方形的面积可表示为=(a+b+c)2；
各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：(a+b+c)2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(3)见答案．
(1)根据大矩形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
(2)根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
(3)先求出(a+b+c)2的值，再根据(2)中关系式求得结果．
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，以及完全平方公式在几何图形相关计算中的应用，本题具有一定的综合性，难度中等略大．
20.【答案】解：(1)如图所示：
直线DE就是所作的边AB的垂直平分线；
(2)∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠CAE=∠CAB−∠EAB=30°，
∴∠CAE=∠EAB=30°，
∴AE平分∠BAC．
【解析】本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
(1)根据线段垂直平分线的作法画出图形即可，分别以A，B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作圆(两圆半径相同)，两个圆相交于两点，过这两点作直线，该直线与BC交于点E，与AB交于点D，则直线DE即为所求；
(2)根据垂直平分线的性质和三角形的内角和解答即可．
21.【答案】解：(1)由题意可得：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=78，AD=30，
则BD= 782−302=72，
∵台风中心以每小时20的速度沿BC方向移动，
∴72÷20=3.6(小时)，
答：台风中心经过3.6小时将到达D点；
(2)如图所示：当AE=AF=50，则DE= AE2−AD2=40，
故EF=80，
则80÷20=4(小时)．
答：A城受这次台风的影响的时间为4小时．
【解析】(1)利用勾股定理得出BD的长，再利用台风运动时间得出答案；
(2)利用勾股定理得出DE的长，再利用台风运动时间得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确把握运动方向结合勾股定理求出是解题关键．
22.【答案】等边三角形
【解析】解：(1)∵射线AC是∠MAN的角平分线，∠NAC=60°，
∴∠MAN=120°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
根据四边形的内角和得，∠BCD=360°−(∠ABC+∠ADC+∠MAN)=60°，
∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM.CB⊥AN，
∴CD=CB(角平分线的性质定理)，
∴△BCD是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
(2)结论仍然成立，
理由如下：如图2，过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，
又∵AC是∠MAN的平分线，
∴CE=CF，∠CEA=∠CFA=90°，
∴∠ECF=60°，
在△CDF和△CBE中，
∠CEB=∠CFD=90°∠ABC=∠ADCCE=CF，
∴△CDF≌△CBE(AAS)，
∴CD=CB，∠BCE=∠DCF，
∴∠BCD=∠ECF=60°，
∴△CBD是等边三角形．
(1)利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数，再利用角平分线的性质定理即可得出CB，即可得出结论；
(2)过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，可得CE=CF，∠ECF=60°，由“AAS”可证△CDF≌△CBE，可得CD=CB，∠BCE=∠DCF，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．