2023-2024学年辽宁省沈阳市新民第一高级中学高二（下）期初数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市新民第一高级中学高二（下）期初数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知在空间单位正交基底下，{a,b,c}是空间的一组单位正交基底，{a+b,a−b,c}是空间的另一组基底.若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a+b,a−b,c}下的坐标为( )
A. (4,0,3)B. (1,2,3)C. (3,1,3)D. (2,1,3)
2.在空间直角坐标系O−xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2).则点B到面ACD的距离是( )
A. 2 33B. 33C. 2 23D. 23
3.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. x−y+1=0B. x+y−3=0
C. y=2x或x+y−3=0D. y=2x或x−y+1=0
4.已知圆C：x2+y2+kx+2y=−k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为( )
A. (0,−1)B. (1,−1)C. (−1,0)D. (−1,1)
5.已知F为双曲线C：x29−y216=1的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PFQ的周长为( )
A. 28B. 36C. 44D. 48
6.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
( )
A. 1440种B. 960种C. 720种D. 480种
7.某学校高三模拟考试中数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人．( )
参考数据：P(μ−σ0)的焦点为F，原点为O，过F作倾斜角为θ的直线l交抛物线C于A，B两点．
(1)过A点作抛物线准线的垂线，垂足为A′，若直线A′F的斜率为− 3，且AF=4，求抛物线的方程；
(2)当直线l的倾斜角θ为多大时，AB的长度最小．
19.(本小题17分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设p在基底{a+b,a−b,c}下的坐标为(x,y,z)，
则p=4a+2b+3c=x(a+b)+y(a−b)+zc，
整理得：4a+2b+3c=(x+y)a+(x−y)b+zc，
所以x+y=4x−y=2z=3，解得x=3y=1z=3，
故选：C．
待定系数法设出p，列出方程组求解．
本题考查空间向量基本定理，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：AC=(1,2,−1)，AD=(2,2,0)，AB=(2,2,−2)，
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AC=n⋅AD=0，
∴x+2y−z=0，2x+2y=0，
取n=(1,−1,−1)．
∴点B到面ACD的距离d=|AB⋅n||n|=|2−2+2| 3=2 33．
故选：A．
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，利用n⋅AC=n⋅AD=0，可得n，利用点B到面ACD的距离d=|AB⋅n||n|即可得出．
本题考查了空间距离计算公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：当直线在两坐标轴上的截距为0时，可设直线y=kx，
直线过A(1,2)，则k=2，
故直线的方程为y=2x，
直线在两坐标轴上的截距不为0时，
则可设直线方程为xa+y−a=1，
直线过A(1,2)，
则1a+2−a=1，解得a=−1，
故直线方程为x−y+1=0，
综上所述，该直线方程为y=2x或x−y+1=0．
故选：D．
根据已知条件，分直线在两坐标轴上的截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，圆的圆心坐标为(−k2,−1)，圆的半径r=12 4−3k2，要使圆的面积最大，即圆的半径r取最大值，
故当k=0时，r取最大值1，
∴圆心坐标为(0,−1)．
故选：A．
确定圆的圆心坐标与半径，要使圆的面积最大，即圆的半径r取最大值，由此可得结论．
本题考查圆的一般方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵双曲线C：x29−y216=1的左焦点F(−5,0)，
∴点A(5,0)是双曲线的右焦点，
则b=4，即虚轴长为2b=8；
双曲线图象如图：
∵|PF|−|AP|=2a=6， ①
|QF|−|QA|=2a=6，②
而|PQ|=16，
∴①+②得：|PF|+|QF|−|PQ|=12，
∴周长为l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44，
故选：C．
根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决，求出周长即可．
本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为2a，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键．考查学生的转化能力．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了分步乘法计数原理，排列，捆绑法的应用，属于基础题．
因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行全排列，再将2位老人进行排列即可求解．
【解答】
解：可分3步．
第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，
第二步，2位老人相邻，把2位老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法，
第三步，2位老人之间的排列，有A22=2种排法，
最后，三步相乘，共有20×24×2=960种排法．
故答案选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵X服从正态分布N(75,121)，
∴μ=75，σ=11，
∴P(75