福建省泉州师范学院附属中学、玉埕中学 2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份福建省泉州师范学院附属中学、玉埕中学 2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 下列选项中，化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、乘方等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质与化简以及乘方逐项判断即可．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. （－1，2）B. （1，2）C. （1，－2）D. （2，1）
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标．
3. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 C. 有两个相等的实数根D. 不能判定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根．
先计算出该方程的根的判别式，再结合判别式的判断一元二次方程根的情况即可．
【详解】解：∵
∴，，，
∴，
所以该方程无实数根．
故选：．
4. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C. 任意画一个三角形，其内角和是
D. 通常加热到时，水沸腾
【答案】B
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故A错误；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故B正确；
C、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故C错误；
D、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 将抛物线向左平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
6. 如图，在网格中，和位似，则位似中心为（ ）
A. 点OB. 点PC. 点QD. 点R
【答案】B
【解析】
【分析】利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图，和'位似，位似中心为点P．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了找位似图形位似中心，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心．
7. 如图，在边长为的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，根据题意得出，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

依题意，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了求正切，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
8. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，得，结合根与系数的关系，得+=3，进而即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，即：，+=3，
∴=-2(+)=-1-2×3=-7．
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两根为，，则+=，=，是解题的关键．
9. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为（ ）
A. 8.5B. 9C. 9.5D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质以及已知条件证明，进而求得，再根据，求得，最后根据即可求得．
【详解】四边形是正方形，
,，
，
，
，
，
，
解得：
，
解得，
．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
12. 在中，，，若将三边都扩大3倍得到，则________
【答案】##0.6
【解析】
【分析】根据正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：根据题意得，
若将三边都扩大3倍得到，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查正弦函数的定义，理解正弦函数的定义是解题关键．
13. 如图，在中，与相交于点，若，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握和运用三角形重心的性质是解决本题的关键．
根据题意可知：点O是的重心，然后根据重心的性质即可解答．
【详解】解：在中，与相交于点，
∴分别是的中线，
∴点O是的重心，
∵，
∴
故答案为：2．
14. 点，为抛物线上两点，则______．（用“”或“”号连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的对称性将点化在对称轴的同一侧，结合函数的性质比较即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
抛物线的对称轴为：直线，
∴的对称点为：，
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．
【详解】解：当时，方程为：
即，
解得：（舍去），；
∴此时，
当时，方程为：，
解得：（舍去），，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．
16. 如图，正方形的边长为6，点E是边上一点，以为对角线作正方形，连接，则面积的最大值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】过点G作交的延长线于点I，设，则，证明，求出，根据三角形面积公式及二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，过点G作交的延长线于点I，

设，则，
∵四边形和都是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的面积
，
∵，
∴的面积有最大值，最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘除法计算法则，特殊角三角函数值的计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．
【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为，．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键．
19. “天宫课堂”第二课于2022年3月23日下午在中国空间站开讲，本次太空授课活动继续采取天地对话方式进行，由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，传播普及空间科学知识，小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验的实验展示图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“水油分离实验”的概率为______；
（2）小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（太空“冰雪”实验）和D（太空抛物实验）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可得到答案；
（2）先画出树状图，列出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，然后利用概率公式即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，抽取卡片有4种等可能的情况，其中抽取卡片是“水油分离实验”的情况有1种，
小玲从中随机抽取一张卡片是“水油分离实验”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能的情况，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A（太空“冰雪”实验）和D（太空抛物实验）的情况有2种，
抽到的两张卡片恰好是编号为A（太空“冰雪”实验）和D（太空抛物实验）的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式，用列表或画树状图的方法求概率，解题关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
20. 寿宁“金丝粉扣”是地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“金丝粉扣”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克．若超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
【答案】销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
设每千克降价x元，根据“售价减去进价乘以销量等于销售利润”列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设每千克应降价元，依题意得：，
整理得：，
解得：，
让顾客得到实惠，
，
答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方程组即可；
（2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可．
【详解】解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：
，
解得，
所求抛物线的解析式是．
(2) 当y=0时，，
因式分解得：，
∴，
∴，
当y＜0时，函数图像在x轴下方，
∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．
22. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）作图的基础上，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线，交于点D，
（2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明∽即可．
【小问1详解】
作法1
作法2
作法3
【小问2详解】
如图，
∵，∴．
又，∴，即．
在与中，，，
∴∽，
∴，即．
又，∴．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23. 小明和他的学习小组开展“测量松树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
请你根据以上测量报告中的数据，求松树的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】松树的高度约为米
【解析】
【分析】过点E作于点G，则四边形是矩形，得，由坡度的概念和勾股定理得米，米，则米，米，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
【详解】：如图，点E作于点G，
则四边形是矩形，
∴，
在中，斜坡的坡度，米，
设米，则米，
∴（米），
∴，
∴米，米，
∴（米），米，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
答：松树的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24. 基础巩固】

（1）如图1，在中，为上一点，连接，为上一点，连接，若，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连接，，，若，，求长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，对角线、交于点为中点，为上一点，连接、，，若，，求______．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 证明，进一步得出结论；
（2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 值，进一步得出结果；
（3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，由勾股定理求得的长，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
（舍）
；
（3）解：如图，

延长 ，交于点 ，
，
设，，
则，
∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
即，
，
在中，
∵ 为 的中点，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即 ，
∴ (舍去)，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形
25. 如图①，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，四边形面积最大，最大值为
（3）点的坐标为 ：，，，
【解析】
【分析】（1）根据对称轴可得，将代入，待定系数法求解析式可得抛物线的解析式；
（2）设，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得四边形的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，根据列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．
【小问1详解】
解：依题意，，
∴，
∴抛物线解析式为，
将点代入得
解得：，
抛物线的解析式；；
【小问2详解】
如图2，设
平分，，
，
等腰直角三角形，
，
,，
设直线的解析式为，
，
解得：，
则直线的解析式为：，
过作轴，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值是；
【小问3详解】
如图3，过作轴，交轴于，交于，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
则，
解得：或，
∴的坐标为或；
如图4，过作轴于，过作于，连接PF．
同理得，
，
则，
解得：或；
的坐标为，或，；
综上所述，点P的坐标是：，，，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第(2)问时需要运用配方法，解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．课题
测量松树的高度
测量工具
测角仪和皮尺
测量示意图及说明
说明：为水平地面，松树垂直于地面．斜坡的坡度，在斜坡上的点E处测松树顶端A的仰角的度数．
测量数据
米，米，
参考数据