福建省泉州市石狮第一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份福建省泉州市石狮第一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 16的平方根是（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴16的平方根是，
故选：B．
2. 在2，0，，，，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．据此解答即可．
【详解】解：在所给的数中，2，0，是有理数，，，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）是无理数，共3个，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，掌握以上知识是解题的关键．
4. 若一个正数有两个不同的平方根为和，则m的值是（ ）
A. 1B. 2C. 1或D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平方根、解一元一次方程、相反数的性质，根据一个正数有两个的平方根，且互为相反数列方程求解．
【详解】解：∵一个正数有两个不同的平方根为和，
∴，解得，
故选：A．
5. 计算的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用积的乘方的逆用法则进行运算即可.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】本题主要考查积的乘方的逆用，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
6. 已知单项式与的积为，那么（ ）
A. -11B. 5C. 1D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知，求出的值，然后代入中计算求解即可．
【详解】解：由题意知
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，同类项．解题的关键在于正确的计算m、n值．
7. 若是一个完全平方式，则a值为（ ）
A B. 或11C. 9或D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据完全平方公式的结构a2±2ab+b2，即可求解．
【详解】x2+（a﹣1）x+25=x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，则（a﹣1）x=±2•x•5，
解得：a=﹣9或11．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
8. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解．
【详解】解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0，
解得a=b，b=c，
所以，a=b=c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
9. 《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为5的正方形的边长称为5“面”，关于27“面”的值，下列说法正确的是（ ）
A. 是4和5之间的实数B. 是5和6之间的实数C. 是6和7之间的实数D. 是7和8之间的实数
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知：，即可得到面的范围
【详解】∵，
∴，
∴面是和之间的实数，
故选：B
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握正整数的平方数和算术平方根是解决问题的关键．
10. 若规定，表示最接近x的整数（，n整数）例如：，，，则的值（ ）
A. 108B. 109C. 110D. 111
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算、新定义下的实数运算，根据题中定义和无理数的估算求解即可．
【详解】解：∵，，，，，，，，，
∴由题意，
，
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 实数的相反数是____.
【答案】
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数．
【详解】实数的相反数等于-（），即.故答案为.
【点睛】本题考查相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义.
12. 比较大小：______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，两个负数比较大小绝对值大的反而小是解答本题的关键；
根据两个负数比较，绝对值大的反而小
【详解】，
，
故答案为：
13. 若，则的值是______．
【答案】119
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可得到所求式子的值．
详解】，
，
，
，
故答案为：119
14. 若，则____________．
【答案】10
【解析】
【分析】由已知条件可得：，根据同底且幂相等，则可得关于n的方程，解方程即可求得n的值．
【详解】∵
∴
即
∴n+2=12
解得：n=10
故答案为：10．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，要注意的是：两个同底的幂相等，则其指数相等．
15. 若的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法，利用多项式乘多项式的运算法则展开原式，然后合并同类项，令二次项的系数为0求解即可．
【详解】解：
，
∵展开式中不含x的二次项，
∴，解得，
故答案为：．
16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律按n的次数由大到小的顺：
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索问题，根据展开式的系数规律确定是展开式的第几项，进而可求解，根据展开式的系数规律求解是解题的关键．
【详解】解：展开式中含项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即．
故答案为．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了数的乘方、开方、实数混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
（1）先根据乘方、数的开方法、及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后计算单项式除以单项式即可得；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
18. 先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
【答案】，
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行化简，再进行加减运算，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
当a＝﹣2时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算和代入求值，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式法则是解题的关键．
19. （1）已知，，求的值．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）5；（2）1
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键．
（1）利用公式和已知求解即可；
（2）利用完全平方公式和已知求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴
；
（2）∵，，
∴，
∴．
20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c；
（2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答．
【小问1详解】
∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴．
【小问2详解】
将，，代入得：，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键．
21. （1）若，求的值．
（2）若，求x的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）先将等式的左侧化为同底数幂的运算，利用指数相等进行求解即可．
【详解】解：（1）；
（2），
∴，
∴．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和同底数幂的乘方运算．熟练掌握同底数幂的乘法和同底数幂的乘方运算法则是解题的关键．
22. 从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 ．
（2）若，，求的值．
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根据图形面积相等即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：上述过程所揭示的乘法公式是
【小问2详解】
解：


【小问3详解】
解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，根据平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
23. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：_________；
（2）因式分解：；
（3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
【答案】（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
详解】解：（1）
=(x-y+1)2；
（2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，
故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；
（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
24. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：______＝（x－_______）；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）若，，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【答案】（1）25，5
（2）的最小值是
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式求解；
（2）利用配方法求最小值即可；
（3）利用作差法比较大小．
【小问1详解】
x2-10x+25=（x-5）2，
故答案为：25，5；
【小问2详解】
x2-8x+2
=x2-8x+16-16+2
=（x-4）2-14，
∵不论x取何值，（x-4）2总是非负数，
即（x-4）2≥0，
∴（x-4）2-14≥-14，
∴当x=4时，x2-8x+2有最小值，最小值是-14；
【小问3详解】
M＞N．理由如下：
M-N
=4a2+9a+3-（3a2+11a-1）
=4a2+9a+3-3a2-11a+1
=a2-2a+4
=a2-2a+1-1+4
=（a-1）2+3，
∵（a-1）2≥0，
∴（a-1）2+3＞0，
∴M-N＞0，
∴M＞N．
【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，因式分解的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．
25. 任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），正整数的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是正整数的最佳分解．并规定：．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为，所以4×6是24的最佳分解，所以．
（1）求的值；
（2）如果一个两位正整数，（为自然数），交换其个位上数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；
（3）在（2）所得“最美数”中，求的最大值．
【答案】（1）；（2）“最美数”为48和17；（3）.
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由题意可得：，结合即可得到18的最佳分解是：，从而可得：；
（2）由题意易到：，，由此可得：结合，可得，再结合都是自然数，且即可列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求得符合条件的的值，从而可得“最美数”的值；
（3）由（2）中所得结果结合（1）中的方法即可求得的最大值.
试题分析：
（1）∵，且，
∴是的最佳分解，
∴；
（2）由题意可知：，
，
∴，
∴ ，即 ，
∵为自然数，且，
∴ ，
解得：，
∵为自然数，且，
∴或，
∴或，
即“最美数”为48和17；
（3）当时，∵
∴；
当时，∵17=1×17，
∴，
∵，
∴的最大值为：.
点睛：（1）通过阅读，弄明白“最佳分解”和“F（n）”的意义是解决本题的基础；（2）解第2小题时，有以下要点：①由题意用含“”的式子表达出；②由得到；③由为自然数，且结合列出关于“”的方程组；这样解方程组得到符合条件的“”的值，即可使问题得到解决.