河北省石家庄市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份河北省石家庄市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一个有理数与相加的和为2，则这个有理数是（ ）
A. 0B. 1C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意列出式子计算即可得出答案，理解题意，正确列出式子是解此题的关键．
【详解】解：根据题意，
故这个有理数是4，
故选：C．
2. 如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论．
【详解】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴，
∴线段是的中线，
故选：A．
3. 若，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A. +B. ﹣C. ×D. ÷您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的有关计算，根据合并同类项法则与单项式与单项式相乘，单项式与单项式相除法则，先分别计算这两个单项式的和差积商，然后根据计算结果进行判断即可．
详解】解：，，，，
“□”内应填的运算符号为：÷，
故选：D．
4. 如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则两点之间的距离可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意-边小于其它两边两边之和是解决问题的关键．根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出的取值范围，判断各选项即可得的答案．
【详解】解∶，
即．
故选：A．
5. 与的结果不相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算出，再计算各选项所给式子，进而得到答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
6. 如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查组合体的三视图，根据四个选项，逐个验证，得出主视图是否满足题意即可得到答案，掌握组合体三视图的概念，利用空间想象能力求解是解决问题的关键．
【详解】解：观察图形可知，若移走一块小正方体，几何体的主视图会发生改变，则移走的小正方体是④，
故选：D．
7. 老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
则不能得到的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，得两直线平行；内错角相等，得两直线平行；同旁内角互补，得两直线平行；据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：甲、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故不符题意；
乙、当时，由内错角相等，两直线平行得，故不符合题意；
丙、当时，由同位角相等，两直线平行得，故不符合题意；
丁、当时，由内错角相等，两直线平行得，故符合题意．
故选：D．
8. 将一个数用科学记数法表示成的形式，关于a和n的值，下列说法不正确的是（ ）
A. a的值一定小于10B. a的值可能是
C. n的值一定是整数D. n的值可能是负整数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：∵将一个数用科学记数法表示成的形式，
∴，为整数，
选项B错误，符合题意，
故选：B．
9. 若，互为倒数，则分式值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，互为倒数，得到，代入，化简求值，即可，
本题考查了倒数，代数式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握提公因式法，进行代数式的化简．
【详解】解：，互为倒数，
，
，
故选：．
10. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图及平行四边形的判定，涉及尺规作图作相等线段，再由平行四边形的判定即可得到答案，熟记尺规作图及平行四边形的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由作图知，，
∴四边形平行四边形，
综合四个选项，判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
故选：B．
11. 如图，绕点旋转得到，且点在边上，为与的交点．若，则下列各角：①；②；③；④．其中角的度数一定等于的是（ ）
A. ①②B. 只有①C. ③④D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】①根据旋转的性质可得，通过等量代换，即可得证，
②在应用外角定理，通过等量代换，即可得证，
③不是的角平分线，即可证否，
④题目已知条件对除构成三角形外，无特殊要求，即可正否，
本题考查了旋转的性质，三角形外角定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．
【详解】解：
根据旋转的性质得：，
，
，
①符合题意，
在中，，即：，
由旋转的性质可得：，
，
②符合题意，
不是的角平分线，
③不符合题意，
题目已知条件对除构成三角形外，无特殊要求，
④不符合题意，
综上所述，①②符合题意，
故选：．
12. 对于任意自然数n，关于代数式的值，说法错误的是（ ）
A. 总能被3整除B. 总能被4整除
C. 总能被6整除D. 总能被7整除
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，将代数式进行因式分解，即可得出结论．
【详解】解：∵
，
∴代数式的值一定能被24整除，
∴的值一定能被3或4或6整除，
故选：D．
13. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，根据点是斜边的中点，得到，得到点是的外心，根据正方形的性质得到，求得，得到点是的外心，点是的外心，由于，得到点不是的外心，证得，是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
在中，点是斜边的中点，
，
点是的外心，
四边形是正方形，
，
，
点是的外心，点是的外心，
在等腰中，，则由勾股定理可得，
，
点不是的外心，
故选：C．
14. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
、乙、、丁在反比例函数图像上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
15. 有4张扑克牌如图所示，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上．若从中随机抽取两张，则抽到的花色均为♠（黑桃）的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出黑桃花色的概率是解题的关键．根据树状图列出所有的可能的结果，即可得到花色均为黑桃的概率．
【详解】解：设4张扑克牌为A，B，C，D，画树状图如图所示，
所有等可能情况数为12种，其中两张花色均为♠（黑桃）的扑克牌有2种，
则抽到的花色均为♠（黑桃）的概率为．
故选：B．
16. 如图，等边的边长为5，点，，分别在边，，上，，按如图方式作边长均为3的等边，，，点，．分别在射线，，上．
结论Ⅰ：当边，，与的三边围成的图形是正六边形时，；
结论Ⅱ：当点与点重合时，，，围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对
C. Ⅰ不对Ⅱ对D. 1对Ⅱ不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形，关键是掌握等边三角形的判定和性质，正多边形的判定方法．由等边三角形的判定和性质，正多边形的判定，即可解决问题．
【详解】解：由题意得到：，，是等边三角形，
，
当时，六边形是正六边形，
等边的边长为5，
，
，
，
结论Ⅰ不对；
，，是边长为3的等边三角形，
，
显然四边形是平行四边形，
，
同理，
，
，
显然是等边三角形，
，，围成的三角形的周长为3．
结论Ⅱ正确，
故选：C
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17. 如图，数轴上的两个点分别表示和m，请写出一个符合条件的m的整数值：______________．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题主要考查数轴，解题关键是熟知当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．由题图可知，，写出一个符合条件的m值即可．
【详解】解：由题图可知，，
∴符合条件的m的整数值可以为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
18. 某面粉加工厂加工甲、乙两种颗粒面粉，每天共加工两种面粉100袋，相关信息如下表：
设每天生产甲种颗粒面a袋．
（1）每天加工甲、乙两种颗粒面的总成本为 ______________元（用含a的代数式表示）；
（2）当时，每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为 _________元．（利润＝售价﹣成本）
【答案】 ①. ## ②. 1100
【解析】
【分析】本题考查的是列代数式及代数式求值，
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）先表示出总利润，将代入代数式求值即可．
【详解】解：设每天生产甲种颗粒面a袋，则每天生产乙种颗粒面袋．
（1）每天加工甲、乙两种颗粒面的总成本为元．
故答案为：．
（2）每天加工甲、乙两种颗粒面的总利润为元，
当时，总利润为（元）．
故答案为：1100．
19. 如图，点，，连接，点为轴上点左侧的一点，点，分别为线段，线段上的点，点，关于直线对称．
（1）若，则四边形的形状是_______；
（2）当最长时，点的坐标为____________________．
【答案】 ①. 菱形 ②.
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）垂直平分，可得，，再根据，可得四边形是菱形．
（2）连结，的延长线交于，当点和重合时最长，根据勾股定理求出，，求出的长，可得的坐标．
【详解】解：点，关于直线对称，
垂直平分，
，，
，，
，，
∴，
，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形；
（2）连结，的延长线交于．
当点和重合时最长，
，，
，
．
，
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
，
的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 老师在黑板上写下“”，其中①、②分别是之间的一个数字，但不能重复，进行填数游戏．老师提出了以下问题，请你完成：
（1）当“”最小时，计算的值；
（2）若“”比“”大396、且①、②中的一个数是另一个数的2倍，求①、②所代表的数字．
【答案】（1）
（2）①代表的数是8，②代表的数是4
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）当“”最小时，可知①是0，②是1，然后代入求解即可；
（2）分①是②的2倍；②是①的2倍两种情况讨论，然后列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵①、②分别是0～9之间的一个数字，
∴当“”最小时，①是0，②是1，
∴
；
【小问2详解】
解：当①是②的2倍时，设②为x，则①为2x，
根据题意得，
解得，
∴①代表的数是8，②代表的数是4，
当②是①的2倍时，设①为x，则②为2x，
根据题意得：，
解得（不符合题意舍去）．
综上分析，①代表的数是8，②代表的数是4．
21. 为适应现代快节奏生活，利用外卖平台购买餐食已经成为很普通的一件事，某饼屋利用外卖平台进行销售餐食．饼屋根据10月9日﹣13日饼类的外卖平台销售情况绘制了不完整的统计图（如图1）和统计表，日增长率．
10月9日﹣13日饼类外卖销售日增长统计表
（负数表示减少的百分数）

请根据以上信息解答下列问题：
（1） ，并补全图1的条形统计图；
（2）求饼屋日销售量的中位数，以及从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数．
【答案】（1），补全条形统计图见解析
（2）306张；
【解析】
【分析】本题考查了统计图、统计表的有关内容，掌握中位数、算术平均数的概念，理解统计图表，由题意正确列式计算是解决问题的关键．
（1）根据统计表，10月10日的日增长率为，由此可计算10月10日的销售量，然后即可计算10月11日的日增长率，并可补全图1的条形统计图；
（2）这一组数有5个，因此处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即306；日增长率的平均数，即为这4个日增长率的算术平均数．
【小问1详解】
解：10月10日的销售量为：（张，
10月11日的日增长率为：；
补全条形统计图，如图所示：

故答案为：；补全条形统计图如上；
【小问2详解】
解：饼屋日销售量的中位数为：306张；
从10日至13日饼屋销售量的日增长率的平均数为：．
22. 如图1是边长分别为m，n、p的A、B、C三种正方形．
（1）用两个A种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积 （用含m的代数式表示）；
（2）将一个A种和一个B种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积： 或 ；则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为 ；
（3）将A种、B种和C种正方形组合形成图4的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令，，通过计算验证该等式．
【答案】（1）
（2），；；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；
（2）根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论；
（3）根据正方形和矩形的面积公式得到等式，再将m、n、p的值代入验证即可．
【小问1详解】
解：这个大正方形的面积，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①大正方形的面积，
②大正方形的面积；
∴可以得到的乘法公式为；
故答案为：，；；
【小问3详解】
解：根据题意得，大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴，
∵，
∴，
则，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，完全平方公式，正方形和矩形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．
23. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线的解析式为．
（1）求直线的解析式；
（2）求直线被直线和y轴所截线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点以及勾股定理．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）先求出两条之间的交点C，过点C作轴于点D，求得和，利用勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：由题意，设为，
再将A、B两点代入得∶
，
解得：，
∴直线的解析式为：
【小问2详解】
设直线和直线的交点为C，
联立两方程：，
解得：，
∴，
过点C作轴于点D，如图，
则，，，
在中，，
故直线被直线和y轴所截线段的长为．
24. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．

（1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；
（2）求浮出水面秒时，盛水筒P到水面的距离；
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线上．（参考数据：，，）
【答案】（1）盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为
（2）盛水筒P到水面的距离为
（3）盛水筒P从最高点开始，至少经过秒恰好在直线MN上
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质等知识
（1）如图1中，连接．求出的度数，再利用弧长公式即可解决问题．
（2）如图2中，盛水筒浮出水面秒后，此时，过点作于，解直角三角形求出即可．
（3）如图3中，连接，解直角三角形求出，，可得的度数即可解决问题．
【小问1详解】
解：由筒每分钟转圈的可得筒每秒钟转．
如图1中，连接．
图1
在中，，，，
，
，
当盛水筒P运动到延长线上时到达最高点，
∴盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为．
【小问2详解】
解：如图，盛水筒浮出水面秒后，此时，
，
过点作于，
在中，，
∴，
∴浮出水面秒后，盛水筒距离水面；
【小问3详解】
如图3中，
图3
延长交于，则为最高点，
点在上，且与相切，
当点在直线上时，此时点是切点，
连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
答：盛水筒从最高点开始，至少经过秒恰好在直线上．
25. 某排球运动员在原点O处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
（3）由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线，且最大高度为．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出m的最大值与最小值的差．
【答案】（1）
（2）发出后的排球能越过球网，不会出界，理由见解析
（3）m的最大值与最小值的差为6
【解析】
【分析】本题考查二次函数与实际问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质．
（1）根据抛物线L的最高点设抛物线L的函数解析式为，把点代入即可求得a的值，从而解答；
（2）把代入抛物线解析式中，求得排球经过球网时的高度，从而根据球网高度即可判断排球能否越过球网；把代入抛物线解析式中，求得点H的坐标，根据边界点K的位置即可判断排球是否出界；
（3）根据抛物线的形状与抛物线L相同，且最大高度为．可设抛物线的解析式为：，把点代入可求得抛物线解析式为，从而得到排球反弹后排球从最高处开始下落，护栏在距离原点处，就会被排球砸到，即，在排球着地点A处砸到护栏，把代入解析式，求解可得到，从而可解答．
【小问1详解】
∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为，
∴抛物线L顶点坐标为，
设抛物线L的解析式为：，
∵抛物线L过点，
∴，
解得：，
∴抛物线L的函数表达式为；
【小问2详解】
∵当时，，
∴发出后的排球能越过球网．
∵当时，，
解得：，舍，
∴点H的坐标为，
∵
∴不会出界．
综上，发出后的排球能越过球网，不会出界；
【小问3详解】
∵抛物线的形状与抛物线L相同，且最大高度为．
设抛物线的解析式为：，
∵抛物线过点，
∴．
解得：（不合题意，舍去），，
∴，
∴抛物线的最高点坐标为
∵排球从最高处开始下落，护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到．
∴；
∵排球落地时，砸到点A．
把代入函数，
得，
解得：（不合题意，舍去），．
∴．
∴m的最大值与最小值的差为：．
26. 如图1和图2，在矩形中，，，将线段绕点A顺时针旋转到，的平分线交射线于点P，连接，设，
（1）求证：；
（2）如图2，当经过点D时， ，求x的值；
（3）在线段绕点A旋转过程中：
①当点到的距离为2时，求x的值；
②直接写出点到射线的距离（用含x的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①或；②
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．
（1）证明即可得出；
（2）根据三角函数值代入求解即可；
（3）考虑两种情况，当时和当时，再根据勾股定理和相似的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵将线段绕点A顺时针旋转到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
根据题意，，，
那么在中，，则，；
因此，；
∵，
∴，
在中，，
因此，；
故答案为：；
【小问3详解】
①考虑两种情况，当时，如图3所示，过作交于E，交于F；
根据题意，，；
∵，
∴，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
因此，；
∵在中，，，
∴；
解得：；
当时，如图4所示，过作交于E，交于F；
根据题意，，；
同上，可证，
因此，；
解得：；
综上所述，或；
②同第①问，考虑两种情况，当时，如图3所示，同上可证，
因此，；
解得点到射线的距离为：；
当时，如图4所示，同上可证，
因此，；
解得点到射线的距离为：；
综上所述，点到射线BC的距离为：．成本（元/袋）
售价（元/袋）
甲
30
43
乙
28
36
日期日
日增长率（精确到
9
无
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