江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
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【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：的顶点坐标是，
故选：．
4. 2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功．与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为384000万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，故A不符合题意；
∵，故B不符合题意；
∵，故C不符合题意；
∵，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．
6. 如图，在中，，，则（ ）

A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键．根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，，，
故选：A．
7. 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
【答案】B
【解析】
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
，
能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
8. 如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A. 1.4B. 1.8C. 1.2D. 1.6
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理可求AB=10，由旋转的性质可得∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，可得AM=MF=CM，可得∠AFC=90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长．
【详解】解：如图，连接CF，
∵AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵点MAC中点，
∴AM=MC=4，
∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，
∴∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，
∴AM=MF=CM，
∴∠MAF=∠MFA，∠MFC=∠MCF，
∵∠MAF+∠MFA+∠MFC+∠MCF=180°，
∴∠MFA+∠MFC=90°，
∴∠AFC=90°，
∵×AB×CF=×AC×BC，
∴CF=，
∴AF=，
∵∠A=∠D，∠A=∠AFM，
∴∠D=∠AFM，
又∵∠DFE=90°，
∴DG=GF，∠E=∠GFE，
∴GF=GE，
∴GF=GD=GE=5，
∴AG=AF-GF=-5==1.4，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求AF的长是本题的关键．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
10. 小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为__________．
【答案】160
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可．
【详解】解：这组数据中出现次数最多的是160，出现了三次，
∴这组数据的众数为160，
故答案为：160．
【点睛】题目注意考查求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键．
11. 分解因式：=__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
12. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可．
【详解】∵点在第一象限中，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质．
13. 在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为______．
【答案】##平方厘米
【解析】
【分析】此题考查的是求三角形的外接圆的面积，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键．
根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论．
【详解】如图，已知：，，
由勾股定理得： ，
∵，
∴是的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是，半径为，
∴面积为，
故答案为：．
14. 在△ABC中，若，则的度数是 _____．
【答案】##105度
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 关于x的分式方程有增根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
16. 已知二次函数，当x >4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______________
【答案】m≤4

【解析】
【详解】∵二次函数y=x2﹣mx﹣1中，a=﹣1＜0，∴此函数开口向下，∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x= ≥4，即m≤4，故答案为m≤4．
17. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
18. 点在边长为的正方形的边上，点在边上，，则面积的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】将绕点顺时针旋转得到，证明，则，，设，则，在中，由得出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
将绕点顺时针旋转得到，
则，
在中，
∴
设，则
，
在中，
当时，
∴的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数与图形问题，构造二次函数关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，并写出证明或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中 x 是方程 x2  2x  3  0 的根．
【答案】，4
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
∵x是方程的根，
∴解得：，，
∵x不能取-1，
∴当x=3时，原式=3+1=4．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21. 4月23日是世界读书日，为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
（2）求出扇形统计图中的值；
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【答案】（1）200；见解析
（2）
（3）360
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，
（1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
（2）将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出的值；
（3）将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：被抽查的学生人数是（人），
（人，
补全的条形统计图如图所示．
被抽查学生最喜欢的书籍种类
条形统计图
【小问2详解】
，
扇形统计图中的值是，
【小问3详解】
（人，
估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
22. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画树状图得出所有等可能性的结果数，然后找到乙不输的结果数，最后利用概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵甲每次做出的手势只有“石头”、“剪子”、“布”其中的一种，
∴甲每次做出“石头”手势的概率为；
【小问2详解】
解：树状图如图所示：
甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不输的共有6种，
∴（乙不输）．
答：乙不输的概率是．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，利用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
23. 如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
【答案】（1）
（2）图见解析部分 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可；
（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证.
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图像经过点，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
如图，直线即为所作；
【小问3详解】
证明：如图，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
24. 一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东方向上．
（1）求轮船在B处时与小岛P的距离．
（2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
【答案】（1）轮船在B处时与小岛P的距离为12海里
（2）若该轮船继续向东航行，有触礁的危险
【解析】
【分析】（1）求出，利用等角对等边得出即可解决问题．
（2）过点P作的垂线，求出点P到的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题．
【小问1详解】
由题意，得，，
∵，
，
海里．
答：轮船在B处时与小岛P的距离为12海里．
【小问2详解】
若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．理由如下：
如图，过点P作直线于点D．
海里，
海里．
，
∴若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．
【点睛】本题考查了方向角问题，三角形外角的性质，以及等角对等边，过点P作的垂线构造出直角三角形是解题的关键．
25. 如图，在中，是上（异于点，）一点，恰好经过点，，于点，且平分．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径长为．
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，如下图所示，

∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵过半径的外端点B，
∴与相切；
【小问2详解】
解：设，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
26. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】（1）
（2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
27. 据图回答下列各题．
【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为 ．
【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．
【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．
【答案】【问题】结论：，证明见解析部分
【探索】结论：，证明见解析部分
【应用】6
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）过点作，使，连接，，证明，得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）结论：，
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）结论：，
理由如下：
连接，如图所示：
中，，，则，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，又，
；
（3）过点作，使，连接，，如图所示：
即在中，，，则，
，
∴，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标．
【答案】（1）；
（2）的最大值为，此时点；
（3）点的坐标为或或．
【解析】
【分析】（）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
（）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，进而分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：将点，，代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
【小问2详解】
∵与轴交于点，，
当时，，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
【小问3详解】
∵抛物线，
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移个单位得到，
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴，
∴，
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200