重庆市南开中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷

这是一份重庆市南开中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷，共20页。
A．﹣2B．﹣C．0D．6
2．（4分）将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）二次函数y＝3﹣2（x﹣1）2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
4．（4分）若△ABC的各边长扩大为原来的2倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（ ）倍．
A．2B．3C．4D．8
5．（4分）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．35°C．36°D．40°
6．（4分）估计的结果（ ）
A．在3和4之间B．在4和5之间
C．在5和6之间D．在6和7之间
7．（4分）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，PD是⊙O的切线，点C为切点，PD与AB的延长线相交于点D，连接AC，若∠D＝2∠CAD，CD＝2，则BD的长为（ ）
A．2﹣2B．2﹣C．2﹣1D．﹣1
9．（4分）如图，正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF，EF．若∠FDC＝α．则∠AEF＝（ ）
A．90°﹣2αB．45°﹣αC．45°+αD．α
10．（4分）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：|1﹣2|+|2﹣3|+|1﹣3|＝4．
①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：（π﹣3）0+（﹣）﹣1＝ ．
12．（4分）桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字﹣4，0，3，5．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
13．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，DF，则∠BFD的度数为 ．
14．（4分）某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是多少？设该药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
15．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°；点E和点D分别是边AC和AB的中点，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AB于点F，以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点E．若，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，矩形ABCD，点E为AB上一点，连接CE，在CE上取一点F，连接BF，过F作CE的垂线交AD于点H，若∠EBF+∠BCE＝90°，CE＝2FH，AD＝6，，则CD的长是 ．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“递增数”．例如：四位数2358，∵23+35＝58，∴2358是“递增数”；又如：四位数1645，16+64≠45，1645不是“递增数”，若一个“递增数”为，则m的值为 ；若一个“递增数”A的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去6a，结果能被5整除，则满足条件的A的最大值与最小值的差为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）﹣4b（a+b）﹣（a﹣2b）2； （2）．
20．（10分）人教版八年级上册教材第80页利用将两个含有30°角的全等三角尺摆在一起的方法，借助图形发现了结论：“在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？
下面是小明的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，求证：．
（1）尺规作图：作∠CAB的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使得AE＝AC，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝① ，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝② ＝30°，
在△ADC与△ADE中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACB＝③ ＝90°，
∴DE⊥AB，
又：∠ABC＝∠EAD＝30°，
∴DA＝④ ，
∴点E是AB的中点．
∴⑤ ＝，
∵AC＝AE，
∴．
21．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．（10分）某家具生产车间有30名工人生产家用餐桌和椅子，1张桌子和4把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产2张桌子或7把椅子．
（1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？
（2）今年一套餐桌的成本比去年提高了20%，去年总投入了200万元，今年投入的比去年多10万元，结果生产的餐桌比去年少500套，则今年的成本是每套多少万元？
23．（10分）如图1，正方形ABCD边长为4，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→D→C方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中（如图2），画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距个单位长度时t的值．
24．（10分）近日，我校“育才青年”志愿服务队受邀参加2023年重庆青年志愿服务“嘉年华”展示交流活动．作为全市中学中唯一受邀参展单位，我校志愿队成员将从学校A处，坐车前往在重庆文旅城融创茂主会场进行为期两天的宣传展示活动．出发前，导航给出两条线路，如图：①A﹣B﹣C﹣E；②A﹣D﹣E．经勘测，点B在点A的南偏西30°方向，点C在点B的正南方向，点E在点C的正东方向9千米处，点D在点B的正东方向，且在点A的南偏东45°方向6千米处，点E在点D的南偏西45°方向．
（1）求BD的长度；（结果保留根号）
（2）由于时间原因，参展的志愿队成员决定选择一条较短路线到达重庆文旅城融创茂主会场，请计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上位于直线AC下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，过点P作BC的平行线交y轴于点E，求2PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点N是抛物线上一点，连接NB，当线段NB的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使∠MNA＝∠CAN．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（10分）在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边BC一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E．
（1）如图1所示，∠BAD＝30°，若CD＝2，求边DE的长；
（2）如图2所示，点F为AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O，若点O恰好平分线段AD，求证：CF＝BE+CD；
（3）如图3所示，点P为边AC上一点，且满足AP＝BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出的值．
重庆市南开中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷（答案）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．6
【答案】D
2．（4分）将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
3．（4分）二次函数y＝3﹣2（x﹣1）2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
【答案】B
4．（4分）若△ABC的各边长扩大为原来的2倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（ ）倍．
A．2B．3C．4D．8
【答案】C
5．（4分）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．35°C．36°D．40°
【答案】D
6．（4分）估计的结果（ ）
A．在3和4之间B．在4和5之间
C．在5和6之间D．在6和7之间
【答案】D
7．（4分）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，PD是⊙O的切线，点C为切点，PD与AB的延长线相交于点D，连接AC，若∠D＝2∠CAD，CD＝2，则BD的长为（ ）
A．2﹣2B．2﹣C．2﹣1D．﹣1
【答案】A
9．（4分）如图，正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF，EF．若∠FDC＝α．则∠AEF＝（ ）
A．90°﹣2αB．45°﹣αC．45°+αD．α
【答案】B
10．（4分）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：|1﹣2|+|2﹣3|+|1﹣3|＝4．
①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：（π﹣3）0+（﹣）﹣1＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
12．（4分）桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字﹣4，0，3，5．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
【答案】．
13．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，DF，则∠BFD的度数为 60° ．
【答案】60°，
14．（4分）某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是多少？设该药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 25（1﹣x）2＝16 ．
【答案】25（1﹣x）2＝16．
15．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°；点E和点D分别是边AC和AB的中点，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AB于点F，以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点E．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
16．（4分）如图，矩形ABCD，点E为AB上一点，连接CE，在CE上取一点F，连接BF，过F作CE的垂线交AD于点H，若∠EBF+∠BCE＝90°，CE＝2FH，AD＝6，，则CD的长是 4 ．
【答案】4．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“递增数”．例如：四位数2358，∵23+35＝58，∴2358是“递增数”；又如：四位数1645，16+64≠45，1645不是“递增数”，若一个“递增数”为，则m的值为 3 ；若一个“递增数”A的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去6a，结果能被5整除，则满足条件的A的最大值与最小值的差为 2697 ．
【答案】3，2697．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）﹣4b（a+b）﹣（a﹣2b）2；
（2）．
【答案】（1）﹣a2﹣8b2；
（2）．
20．（10分）人教版八年级上册教材第80页利用将两个含有30°角的全等三角尺摆在一起的方法，借助图形发现了结论：“在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？
下面是小明的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，求证：．
（1）尺规作图：作∠CAB的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使得AE＝AC，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝① 60° ，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝② ∠EAD ＝30°，
在△ADC与△ADE中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACB＝③ ∠AED ＝90°，
∴DE⊥AB，
又：∠ABC＝∠EAD＝30°，
∴DA＝④ DB ，
∴点E是AB的中点．
∴⑤ AE ＝，
∵AC＝AE，
∴．
【答案】（1）见解答．
（2）①60°；②∠EAD；③∠AED；④DB；⑤AE．
21．（10分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 15 ，m＝ 88 ，n＝ 98 ；
（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15；88；98；
（2）90名；
（3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由见解答（答案不唯一）．
22．（10分）某家具生产车间有30名工人生产家用餐桌和椅子，1张桌子和4把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产2张桌子或7把椅子．
（1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？
（2）今年一套餐桌的成本比去年提高了20%，去年总投入了200万元，今年投入的比去年多10万元，结果生产的餐桌比去年少500套，则今年的成本是每套多少万元？
【答案】（1）安排14名工人生产桌子，16名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套；
（2）今年的成本是每套0.06万元．
23．（10分）如图1，正方形ABCD边长为4，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→D→C方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中（如图2），画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距个单位长度时t的值．
【答案】（1）y＝；
（2）作图见解答过程；当0≤t≤4时，y随t的增大而增大（答案不唯一）；
（3）3或5．
24．（10分）近日，我校“育才青年”志愿服务队受邀参加2023年重庆青年志愿服务“嘉年华”展示交流活动．作为全市中学中唯一受邀参展单位，我校志愿队成员将从学校A处，坐车前往在重庆文旅城融创茂主会场进行为期两天的宣传展示活动．出发前，导航给出两条线路，如图：①A﹣B﹣C﹣E；②A﹣D﹣E．经勘测，点B在点A的南偏西30°方向，点C在点B的正南方向，点E在点C的正东方向9千米处，点D在点B的正东方向，且在点A的南偏东45°方向6千米处，点E在点D的南偏西45°方向．
（1）求BD的长度；（结果保留根号）
（2）由于时间原因，参展的志愿队成员决定选择一条较短路线到达重庆文旅城融创茂主会场，请计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【答案】（1）BD的长度为（6+6）千米；
（2）选择线路②，理由见解答．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上位于直线AC下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，过点P作BC的平行线交y轴于点E，求2PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点N是抛物线上一点，连接NB，当线段NB的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使∠MNA＝∠CAN．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+x﹣2；
（2）2PD+PE有最大值为，此时点P（﹣，﹣）；
（3）存在，点M的坐标为：（﹣6，7）或（﹣3，﹣2）．
26．（10分）在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边BC一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E．
（1）如图1所示，∠BAD＝30°，若CD＝2，求边DE的长；
（2）如图2所示，点F为AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O，若点O恰好平分线段AD，求证：CF＝BE+CD；
（3）如图3所示，点P为边AC上一点，且满足AP＝BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出的值．
【答案】（1）2；
（3）．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
m
96
45%
B
88
87
n
40%
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
m
96
45%
B
88
87
n
40%