贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年九年级上学期期末数学考试试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一元二次方程 的一次项系数是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式（，其中a、b、c为常数，）是解此题的关键．根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可．
【详解】解：一元二次方程的的一次项系数为．
故选：D．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断即可．
【详解】解：A．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播放动画片．
B. 太阳每天从东方升起．
C. 某彩票中奖率是，买100张一定会中奖．
D. 某运动员跳高的最好成绩是10米．
【答案】B
【解析】
【分析】根据必然事件的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、打开电视机，正在播放动画片是随机事件，故本选项不符合题意；
B、太阳每天从东方升起是必然事件，故本选项符合题意；
C、某彩票中奖率是，买100张一定会中奖是随机事件，故本选项不符合题意；
D、某运动员跳高的最好成绩是10米是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
4. 点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A. （﹣2，1）B. （﹣2，﹣1）C. （﹣1，2）D. （1，﹣2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【详解】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：A．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，已知解析式为抛物线的顶点式，结合顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，
故选：A．
6. 如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得，由旋转的性质可得旋转角为．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵将经过旋转到的位置，
∴旋转角，
故选：D．
7. 如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理；解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
8. 关于x的方程的一根是1，则m的值是（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
把代入原方程，求解关于m的方程即可．
【详解】解：把代入方程，得
，
所以．
故选：D．
9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论，根据一次函数和二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵y=x+a中，k＝1>0，
∴一次函数y=x+a的图象经过一、三象限，排除B选项；
当a＞0时，一次函数y=x+a的图象经过一二三象限，二次函数y=ax2-a的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴上；选项A、C、D都不符合题意；
当a＜0时，一次函数y=x+a的图象经过一三四象限，二次函数y=ax2-a的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴上；故C符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
10. 如图，已知直径，则的长为（ ）
A. 5cmB. 5cmC. 5cmD. 6cm
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
【详解】连接，
由圆周角定理得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
11. 如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A. （2-π）cm2B. （π-）cm2C. （4-2π）cm2D. （2π-2）cm2
【答案】C
【解析】
【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
【点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
12. 二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（ ）
A. 该函数图象开口向上
B. 该函数图象与轴的交点在轴的下方
C. 对称轴是直线
D. 若是方程的正数解，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据，并结合二次函数图象和性质以及表格中的数据，进行判断．
【详解】A、∵，由表格中的数据可以看出，当时，的值最大，∴该函数图象开口向上，∴该选项错误；
B、当时，；∵，∴，∴该函数图象与轴的交点在轴的上方，∴该选项错误；
C、当时，；当时，；∴的对称轴为，对称轴是直线，∴该选项错误；
D、∵，
∴，，
由表中数据可知，在与之间，故对应的x的值在与0和2与3之间，
∴若是方程的正数解，则，∴该选项正确．
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是能够根据题目的条件熟练运用二次函数的图象和性质进行求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数为______．
【答案】##90度
【解析】
【分析】钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份，根据题意知，时针运行了圆周，即可得到答案．
【详解】根据题意，从上午6时到上午9时，共3个小时
时针旋转了圆周，旋转的角度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了钟表上角的认识的问题，知道钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份是解题的关键．
14. 抛物线可以由抛物线向_____________平移3个单位得到.
【答案】下
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律即可得出答案．
【详解】解：由平移规律可得：抛物线可以由抛物线向下平移3个单位得到．
故答案为：下．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记二次函数平移规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键．
15. 设，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到的值，即可求得．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．
16. 在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键．
连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案．
【详解】解：连接，取的中点O，连接，
∵N为的中点，
为的中位线，
∴，
∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，
在矩形中，，
的取值范围为，
即，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解答本题的关键是掌握公式法、因式分解法解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．
（1）利用公式法解方程即可；一元二次方程的求根公式是：；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
这里，，，
，
，
， ；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，．
18. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，对称轴是轴，利用图象解答下列问题：
（1）点、的坐标分别是：（_______），（_______）；
（2）若，则的取值范围是_________；
（3）函数的最小值是__________．
【答案】（1），0；2，0
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由及抛物线关于轴对称，进而可以求得点坐标；
（2）依据题意，由抛物线在轴上方部分的图象满足，进而可以判断得解；
（3）依据题意，根据抛物线的顶点为，开口向上，即可判断得解．
【小问1详解】
由题意，，
又抛物线对称轴是轴，
．
故答案为：，0；2，0；
【小问2详解】
由题意，抛物线在轴上方部分的图象满足，
或．
故答案为：或．
【小问3详解】
由题意，根据抛物线的顶点为，开口向上，
函数的最小值是．
故答案为：．
19. 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
【答案】不公平
【解析】
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）= ，P（小亮赢）=，故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
20. 如图，是的外接圆，是的直径，于点E．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点G，连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，中位线性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
（2）根据垂径定理得出点为的中点，根据点是的中点，得出，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：是的直径，，
，
；
【小问2详解】
解：根据题意，如图所示：
是的直径，，
点为的中点，
点是的中点，
是的中位线，即，
，
．
21. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论；
（2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论．
【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，
依题意，得：x（33-3x）=90，
解得：x1=6，x2=5．
当x=6时，33-3x=15，符合题意，
当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC=ym，则AB=（33-3y）m，
依题意，得：y（33-3y）=100，
整理，得：3y2-33y+100=0．
∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
(2)若，，求的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）78°
【解析】
【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．
23. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）（元）；
（2）；
（3）销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元
【解析】
【分析】（1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得；
（2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，把代入整理即可得w与x的函数关系式；
（3）由每天的销售量不少于38件，可得，进而可求出；根据（2）中结论整理为顶点式，根据二次函数的基本性质可得，当时，w随x的增大而增大，所以当时，w有最大值，代入求解即可得．
【小问1详解】
解：当时，
，
∴销售量为40件，
利润为：（元），
故答案为：400；
【小问2详解】
解：由题意得：
，
，
，
∴w与x的函数关系式为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
解得：；
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为：（元），
∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
24. 如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于，点P在抛物线上，横坐标设为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为，求m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出点B的坐标，根据图象写出m的取值范围即可；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，得出二次函数有最大值4，分两种情况讨论，当点在对称轴的左侧或对称轴上，即时，当点在对称轴的右侧，即时，分别求出m的值即可．
【小问1详解】
解：把，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，，
∴点B的坐标为，
∴当点P在x轴上方时，m的取值范围是．
小问3详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴二次函数有最大值4，
当点在对称轴的左侧或对称轴上，即时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点为抛物线的顶点，
∴，
解得：；
当点在对称轴的右侧，即时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点就是点P，
∴，
解得：，（舍去）；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，求抛物线的最值，解题的关键是理解题意，数形结合，注意分类讨论．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）BD=CE,证明见解析；（3）PB的长是或．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可得BD=CE;（3）①根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,从而得到∠ABD=∠ACE,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△PBE,列比例方程可求出PB的长；②与①类似，先求出PD的长，再把PD和BD相加.
解：（1）如图
（2）BD和CE的数量是：BD=CE ；
∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE．
∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（3）①CE= .
∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE,
∴△ACD∽△PBE,
,
∴ ;
②∵△ABD∽△PDC,
,
∴ ;
∴PB=PD+BD= .
∴PB的长是或．

0
1
2
3
4