江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初适应性练习数学试卷（Word版附答案）

这是一份江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初适应性练习数学试卷（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了已知正数满足，则的最小值为，等差数列的首项为1，公差不为0，已知，则的值为，已知，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则75%分位数是（ ）
A．18B．20C．21D．22
2．已知复数满足，则（ ）
A．0B．1C．D．2
3．在中，，且的面积为，则（ ）
A．B．C．2D．3
4．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
6．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项的和为（ ）
A．B．C．5D．25
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则粗圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“，使得成立”
B．若命题“恒成立”为真命题，则
C．“”是“方程有实数解”的充分不必要条件
D．若命题“”为真命题，则
10．正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（ ）
A．中元素的个数为58
B．中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2
C．中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素
D．中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的最小值是
C．存在唯一实数，使得是偶函数
D．在上有3个极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．与圆和圆都相切的直线方程是______．
13．已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为______．
14．如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为．已知，则实数的最小值为______；函数，且，则实数______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，为圆的内接正三角形．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）
为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮结果互不影响．
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及数学期望；
（2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求．
17．（15分）
已知函数．
（1）判断函数在区间上极值点和零点的个数，并给出证明；
（2）若恒成立，求实数．
18．（17分）
已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设双曲线的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明．
19．（17分）
对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．
（1）数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
（2）请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；
（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为；
（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
高三数学期初考试评分标准
一、选择题
二、选择题（有错误答案，该题得0分，如果有两个答案，该题分值为3分和6分；如果有三个答案，该题分值为2分、4分、6分）
三、填空题
四、解答题
15．（13分）
证明：（1）记与交于点，连接，
因为是下底面圆的直径，且为圆的内接正三角形，
所以垂直平分，则，
中，．
因为，则，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）【法一】由（1）知，，则面，又，
分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系：
则，
设平面的法向量为，
则令，则．
记直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【法二】因为平面，
由（1）是正三角形且边长为，
所以．
在中，，
在中，，
，取中点则
所以．
设点到平面距离为
设直线与平面所成角为，则．
【法三】因为平面平面，所以．
过作交于，连结，如图
因为，
平面，则平面，
在中，作，
因为，
平面，所以平面，
在中，，则，所以，
设直线与平面所成角为，则．
（注意：一、下列情况之一，本题得0分：图中没有辅助线；法一图中没有建立坐标系，有坐标轴，但对应轴字母没有表明．二、用综合法，逻辑段主要条件缺少的，该逻辑段不得分，非主要条件缺少的，少一个扣0.5分，扣满15分为止）
【说明】本题改编于期末零模．考查平面几何、解三角形应用；考查线面位置关系判断；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、叙述表达能力．
16．（15分）
解：（1）的可能取值为．
；；
．
所以的分布列为：
则的数学期望为．
（2）设每轮比赛甲乙得分分别为，则，
如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则，
代入，即，
而的可能取值为．
所以，或者．
此时有二种情况：一是甲两轮都得1分；二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分．
所以．
如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有得，
同理有四种情况：．
所以．
【说明】本题源于专题复习资源改编．考查独立事件的概率，考查分布列和数学期望，考查分类讨论思想；考查仔细、细致冷静的心理应试素养．
17．（15分）
解：（1）令，
因为，所以，则．
所以在上单调递减．
，且和在上连续，
由零点存在定理：，使．
所以时，在单调递增；
时，在单调递减，
所以在上只有一个极值点，且为极大值点．
因为时，，则时，无零点．
又因为，且，
因为在单调递减，则存在唯一零点，使．
所以在上只有一个零点，只有有一个极大值点．
（2）令，
由恒成立，得．
因为图象在定义域上连续不间断，
只需是的一个极大值点．
因为，则，解得．
下证：当时，恒成立．
因为．
（1）当时，在上单调递增，
所以．
（2）当时，
令，
则在单调递减，
则．又因为
所以当时，
综上，当时，恒成立．
【说明】本题改编．考查函数的单调性、最值、极值、零点；考查导数的应用；考查恒成立题型解决方法；考查运算能力、叙述表达能力、分析思维能力、转化能力；考查思维的方法途径策略；考查应试方法．
18．（17分）
（1）因为在上，则①．
因为的方程分别为．
到的距离之积为，则，
化简得：②，
由①②解得，
所以双曲线的方程为③．
（2）因为，设
则，
所以④，
因为，
且在双曲线上，则，代入上式得：，
把④代入上式得：⑤．
设直线，代入①得：
，则：⑥，⑦，
由⑤得：，即：，
把⑥⑦代入上式得：，
因为，所以，
则．
则，所以点坐标为．
不妨设，显然，
因，同理，
令，则，
同理：，
要证明，只需证明：，
即证明：，
将和⑥⑦代入上式显然成立，所以．
19．解：（1）因为，
而，
所以，数列是二阶等差数列．
（2）因为数列为阶等差数列，则，
则，
则，
，
．
归纳得一般结论：①．
（3）设数列：，因为，
所以数列为阶等差数列，
由（2）中①得：，因为
所以．
（4）由（1）知数列为二阶等差数列，
且，
则由（3）得：
②．
（注意：如果没有证明上面结论，此处扣2分．证明方法不限）
设共堆积了层，第层共有个球，第1层有1个球，因为每层的“边”比上一层多1个球，所以第层的“边”共有个球，则第层的球数为．
则这层所有球的个数为．
【法一】由②式得：
．
解得：．
答：这位同学共堆积了22层．
（注意：答案正确，但没有“答”扣1分，下同）
【法二】
．
解得：．
答：这位同学共堆积了22层．
【说明】本题原创．考查等差数列定义、通项、求和以及组合数性质；考查阅读理解能力、字母符号识别理解能力、归纳能力、转化能力、运算能力；考查后继学习能力．命题意图：探索从解题到解“问题”的方法途径；考查应试策略．题号
答案
出处
考查知识
能力素养
1
B
课本题改编
百分位数
运算求解
2
C
课本题改编
复数模的运算及性质
运算求解
3
B
课本题改编
余弦定理，面积公式
运算求解
4
D
复习题改编
排列组合
分类讨论思想，数学抽象
5
A
复习题改编
投影向量，向量的模
运算求解
6
A
复习题改编
等差、等比数列基本量运算
运算求解
7
A
复习题改编
两角和与差的正余弦公式
转化思想，运算求解
8
D
原创
椭圆第三定义，离心率
转化思想，运算求解
题号
答案
出处
考查知识
能力素养
9
BCD
高一试卷
逻辑，恒成立有解问题
逻辑推理
10
ABC
期末零模
立体几何
空间想象，分类讨论
11
ACD
原创
三角函数图象与性质
数形结合，分类讨论
题号
答案
出处
考查知识
能力素养
12
复习题
公切线，两圆位置关系
转化思想，数形结合
13
期末零模
二面角
空间想象，数学转化
14
第一空2，第二空3
原创
新定义的理解，函数单调性
数学转化
0
1