模型27 托勒密定理（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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1.托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．
翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则．
证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，
易证△AEB∽△ADC，∴，即，
当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，
易证△ABC∽△AED，∴，即，
∴，
∴．
2.（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有
证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，
易证△ABE∽△ACD，∴，即①，
连接DE，如图2，
∵，∴，
又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，∴，即②，
将①+②得：，
∴
即，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．
3.托勒密定理在中考题中的应用
（1）当△ABC是等边三角形时，
如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：，
又等边△ABC有AB=AC=BC， 故有结论：．
证明：在BD上取点E使得DE=DA，
易证△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，利用对应边成比例，可得：．
如图2，当点D在弧BC上时，结论：DA=DB+DC．
【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．
（2）当△ABC是等腰直角三角形，
如图3，当点D在弧BC上时，根据托勒密定理：，
又，代入可得结论：．
如图4，当点 D在弧AC上时，根据托勒密定理：，
又，代入可得结论：．
（3）当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b：c，
根据托勒密定理可得：
例题精讲
【例1】．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，则对角线BD的长为 ．
变式训练
【变式1-1】．先阅读理解：托勒密（Ptlemy古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形ABCD内接于⊙O，则有AB•CD+AD•BC＝AC•BD．再请完成：
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，如果AB＝AC＝，CD＝1，求AD的长．
（2）在（1）的条件下，如图2，设对边BA、CD的延长线的交点为P，求PA、PD的长．
【变式1-2】．如图1，已知⊙O内接四边形ABCD，
求证：AC•BD＝AB•CD+AD•BC．
证明：如图1，在BD上取一点P，连接CP，使∠PCB＝∠DCA，即使∠1＝∠2．
∵在⊙O中，∠3与∠4所对的弧都是，
∴∠3＝∠4．
∴△ACD∽△BCP．
∴＝．
∴AC•BP＝AD•BC．①
又∵∠2＝∠1，
∴∠2+∠7＝∠1+∠7．
即∠ACB＝∠DCP．
∵在⊙O中，∠5与∠6所对的弧都是，
∴∠5＝∠6．
∴△ACB∽△DCP．
…
（1）任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整；
（2）任务二：如图2，已知Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交⊙O于点D，求CD的长．
【例2】．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1， 四边形ABCD内接于⊙O ．
求证： AB⋅DC+AD⋅BC＝AC⋅BD ．
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，
……
∴△ABE∽△ACD，
∴AB•DC＝AC•BE，
……
∴△ABC∽△AED，
∴AD•BC＝AC•ED，
∴AB•DC+AD•BC＝AC•BE+AC•ED＝AC（BE+ED）＝AC•BD．
（1）请帮这位同学写出已知和求证，并完成证明过程；
（2）如图3，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．
变式训练
【变式2-1】．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵＝，∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，∴，∴AB•CD＝AC•BE；
∵＝，∴∠ACB＝∠ADE（依据1），
∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED（依据2），∴，∴AD•BC＝AC•ED；
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED），即AB•CD+BC•AD＝AC•BD．
（1）上述证明过程中的“依据1”是指 ；“依据2”是指 ．
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的 定理．
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C是的中点，求AC的长．
【变式2-2】．圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 ________．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）已知，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，∠COD＝120°，求证：BD＝AB+BC．

1．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连接AO，如果AB＝4，AO＝4，那么AC的长等于（ ）
A．12B．16C．4D．8
2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 ．
3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 ．
4．如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CD，AP⊥BP，则的值为 ．
5．如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝2，CF⊥BE，连接OF，则：
（1）∠OFB ° ；
（2）OF＝ ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，过点D作DE⊥DF，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若CF＝，AC＝4，AB＝2．则AE＝ ．
7．设△ABC是正三角形，点P在△ABC外，且与点A在直线BC异侧，∠BPC＝120°，求证：PA＝PB+PC．
8．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．
9．如图，点P为等边△ABC外接圆，劣弧为BC上的一点．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA＝PB+PC．
10．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦BD的长为6，点C为上的一点，过点B的切线EF，连接AD，CD，CB；
（1）求证：∠CDB＝∠CBF；
（2）若点D为的中点，求CD的长．
11．阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：
托勒密（Ptlemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理．
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵
∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD
∴
∴AB•CD＝AC•BE
∵
∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
12．在学习了《圆》和《相似》的知识后，小明自学了一个著名定理“托勒密定理：圆内接四边形对角线的乘积等于两组对边乘积之和．”
（1）下面是小明对托勒密定理的证明和应用过程，请补充完整．已知：四边形ABCD内接于⊙O．
求证：AC•BD＝AB•CD+AD•BC．证明：作∠CDE＝∠BDA，交AC于点E，
∵⊙O中，∠1＝∠2，
∴△ABD∽△ECD（ ）．
∴．
∴AB•CD＝BD•EC①，
．
又∵∠BDA+∠3＝∠CDE+∠3，
即∠ADE＝∠BDC，
∴△ DAE ∽△ DBC （ ）．
∴．
∴AD•BC＝BD•AE②．
，
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD．
（2）利用托勒密定理解决问题：是否存在一个圆内接四边形，它的两条对角线长为5和，一组对边长为1和3，另一组对边的和为4．若存在，求出未知的两边；若不存在，说明理由．
13．阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）请你完成这个定理的证明过程．
（2）该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 命题．（填“真”或“假”）
（3）若PD＝2，HP＝，BP＝3，求MH的长．
14．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： ；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．
15．问题探究：
（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．
（2）托勒密（Ptlemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptlemy）定理证明：PA＝PB+PC．
问题解决：
（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．
16．（1）方法选择
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．
小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…
小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
【探究1】
如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【探究2】
如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
17．数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
18．问题背景：
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得出结论：AC+BC＝CD．
简单应用：
（1）在图①中，若AC＝，BC＝2，则CD＝ ．
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，＝，若AB＝13，BC＝12，求CD的长．
拓展规律：
（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）
（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是 或 ．
布拉美古塔定理
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证．
已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，过点P作AB的垂线分别交AB，DC于点H，M．
求证：M是CD的中点