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    专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)
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    专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)

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    这是一份专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用),文件包含专题55一次函数背景下的图形存在性问题原卷版docx、专题55一次函数背景下的图形存在性问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共119页, 欢迎下载使用。

    考点一:一次函数中等腰三角形存在性问题
    【例1】.如果一次函数y=﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,M点在x轴上,并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形,则M点的坐标为 .
    变式训练
    【变1-1】.如图,在平面直角坐标系中,直线MN的函数解析式为y=﹣x+3,点A在线段MN上且满足AN=2AM,B点是x轴上一点,当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时,则B点的坐标为 .
    【变1-2】.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+12与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=x交于点C.
    (1)求点C的坐标.
    (2)若P是x轴上的一个动点,直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标.
    考点二:一次函数中直角三角形存在性问题
    【例2】.已知点A、B的坐标分别为(2,2)、(5,1),试在x轴上找一点C,使△ABC为直角三角形.
    【变2-1】.如图,一次函数y=kx+1的图象过点A(1,2),且与x轴相交于点B.若点P是x轴上的一点,且满足△ABP是直角三角形,则点P的坐标是 .
    【变2-2】.如图,已知一次函数y=x﹣2的图象与y轴交于点A,一次函数y=4x+b的图象与y轴交于点B,且与x轴以及一次函数y=x﹣2的图象分别交于点C、D,点D的坐标为(﹣2,﹣4).
    (1)关于x、y的方程组的解为 .
    (2)求△ABD的面积;
    (3)在x轴上是否存在点E,使得以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
    考点三:一次函数中平行四边形存在性问题
    【例3】.如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过A(1,3),B(﹣2,﹣1)两点,并且交x轴于点C,交y轴于点D.
    (1)求该一次函数的表达式;
    (2)求△AOB的面积;
    (3)平面内是否存在一点M,使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
    变式训练
    【变3-1】.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点,点C在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E.
    (1)求证:△BOC≌△CED;
    (2)如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D',当B'C'经过点D时,求△BCD平移的距离及点D的坐标;
    (3)若点P在y轴上,点Q在直线AB上,是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
    考点四:一次函数中矩形存在性问题
    【例4】.如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA、OB的长满足|OA﹣8|+(OB﹣6)2=0,∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线,垂足为点D,交y轴于点E.
    (1)求线段AB的长;
    (2)求直线CE的解析式;
    (3)若M是射线BC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    变式训练
    【变4-1】.如图,四边形OABC是矩形,点A、C在坐标轴上,△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的,点D在x轴上,直线BD交y轴于点F,交OE于点H,线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3=0的两个根,且OC>BC.
    (1)求直线BD的解析式;
    (2)求点H到x轴的距离;
    (3)点M在坐标轴上,平面内是否存在点N,使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    考点五:一次函数中菱形存在性问题
    【例5】.如图1,直线y=x+6与x,y轴分别交于A,B两点,∠ABO的角平分线与x轴相交于点C.
    (1)求点C的坐标;
    (2)在直线BC上有两点M,N,△AMN是等腰直角三角形,∠MAN=90°,求点M的坐标;
    (3)点P在y轴上,在平面上是否存在点Q,使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    变式训练
    【变5-1】.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点D、C,直线AB与y轴交于点B(0,﹣2),与直线CD交于点A(m,2).
    (1)求直线AB的解析式;
    (2)点E是射线CD上一动点,过点E作EF∥y轴,交直线AB于点F,若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形,请求出点E的坐标;
    (3)设P是射线CD上一点,在平面内是否存在点Q,使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    1.一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,在x轴上取一点C,使△ABC为等腰三角形,则这样的点C的坐标为 .
    2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(2,1),连接OA,点P是x轴上的一动点,如果△OAP是等腰三角形,请你写出符合条件的点P坐标 .
    3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y的正半轴上,且OB=2OC,在直角坐标平面内确定点D,使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请写出点D的坐标为 .
    4.如图,一次函数y=k2x+b的图象与y轴交于点B,与正比例函数y=k1x的图象相交于点A(3,4),且OA=OB.
    (1)分别求出这两个函数的解析式;
    (2)求△AOB的面积;
    (3)点P在x轴上,且△POA是等腰三角形,请直接写出点P的坐标.
    5.直线l1交x轴于点A(6,0),交y轴于B(0,6).
    (1)如图,折叠△AOB,使BA落在y轴上,折痕所在直线为l2,直线l2与x轴交于C点,求C点坐标及l2的解析式;
    (2)在直线l1上找点M,使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形,求出所有满足条件的M点的坐标.
    6.在平面直角坐标系中,直线y=kx+8k(k是常数,k≠0)与坐标轴分别交于点A,点B,且点B的坐标为(0,6).
    (1)求点A的坐标;
    (2)如图1,将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C,求直线BC的解析式;
    (3)在(2)的条件下,直线BC上有一点M,坐标平面内有一点P,若以A、B、M、P为顶点的四边形是菱形,请直接写出点P的坐标.
    7.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点B,且与正比例函数y=x的图象交于点C(m,6).
    (1)求一次函数的解析式;
    (2)求△BOC的面积;
    (3)在x轴上是否存在一点P,使得△ABP是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    8.如图,已知一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(﹣6,0),交y轴于点B.
    (1)求m的值与点B的坐标
    (2)问在x轴上是否存在点C,使得△ABC的面积为16?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由.
    (3)问在x轴是否存在点P,使得△ABP为等腰三角形,求出点P坐标.
    (4)一条经过点D(0,2)和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分,请求出这条直线的函数表达式.
    9.在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点,交直线y=kx于P(2,a).
    (1)求点A、B的坐标;
    (2)若Q为x轴上一动点,△APQ为等腰三角形,直接写出Q点坐标;
    (3)点C在直线AB上,过C作CE⊥x轴于E,交直线OP于D,我们规定若C,D,E中恰好有一点是其他两点所连线段的中点,则称C,D,E三点为“和谐点”,求出C,D,E三点为“和谐点”时C点的坐标.
    10.如图所示,直线l:y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,在y轴上有一点C(0,4).
    (1)求△AOB的面积;
    (2)动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动,求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式;
    (3)当动点M在x轴上移动的过程中,在平面直角坐标系中是否存在点N,使以点A,C,N,M为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    11.如图,直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点,连接BC,且OC=OB.
    (1)求点A的坐标及直线BC的函数关系式;
    (2)点M在x轴上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标;
    (3)若点P在x轴上,平面内是否存在点Q,使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    12.已知,一次函数y=的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,与直线y=相交于点C.过点B作x轴的平行线l.点P是直线l上的一个动点.
    (1)求点A,点B的坐标.
    (2)求点C到直线l的距离.
    (3)若S△AOC=S△BCP,求点P的坐标.
    (4)若点E是直线y=上的一个动点,当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时,请直接写出点E的坐标.
    13.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+与y=x相交于点A,与x轴交于点B.
    (1)求点A,B的坐标;
    (2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在一点C,使得以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,试求出所有符合条件的点C的坐标;如果不存在,请说明理由;
    (3)在直线OA上,是否存在一点D,使得△DOB是等腰三角形?如果存在,试求出所有符合条件的点D的坐标,如果不存在,请说明理由.
    14.如图,经过点B(0,2)的直线y=kx+b与x轴交于点C,与正比例函数
    y=ax的图象交于点A(﹣1,3)
    (1)求直线AB的函数的表达式;
    (2)直接写出不等式(kx+b)﹣ax<0的解集;
    (3)求△AOC的面积;
    (4)点P是直线AB上的一点,且知△OCP是等腰三角形,写出所有符合条件的点P的坐标.
    15.如图1,已知直线l1:y=kx+4交x轴于A(4,0),交y轴于B.
    (1)直接写出k的值为 ;
    (2)如图2,C为x轴负半轴上一点,过C点的直线l2:经过AB的中点P,点Q(t,0)为x轴上一动点,过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N,且MN=2MQ,求t的值;
    (3)如图3,已知点M(﹣1,0),点N(5m,3m+2)为直线AB右侧一点,且满足∠OBM=∠ABN,求点N坐标.
    16.如图,平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y轴于A、B两点(OA<OB)且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣(+1)x+=0的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:AC=1:2
    (1)求A、C两点的坐标;
    (2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
    (3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
    17.如图1,在平面直角坐标系中.直线与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上时,过点D作DE⊥x轴于点E.
    (1)求证:△BOC≌△CED;
    (2)如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D',当直线B′C′经过点D时,求点D的坐标;
    (3)若点P在y轴上,点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
    18.如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,点C在y轴的负半轴上,若将△CAB沿直线AC折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点D处.
    (1)点A的坐标是 ,点B的坐标是 ,AB的长为 ;
    (2)求点C的坐标;
    (3)点M是y轴上一动点,若S△MAB=S△OCD,直接写出点M的坐标.
    (4)在第一象限内是否存在点P,使△PAB为等腰直角三角形,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    19.如图,直角坐标系中,直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A(3,0),点B(0,﹣4),过D(0,8)作平行x轴的直线CD,交AB于点C,点E(0,m)在线段OD上,延长CE交x轴于点F,点G在x轴正半轴上,且AG=AF.
    (1)求直线AB的函数表达式.
    (2)当点E恰好是OD中点时,求△ACG的面积.
    (3)是否存在m,使得△FCG是直角三角形?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
    20.如图直线l:y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点,点B的坐标是(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).
    (1)求k的值.
    (2)若点P是直线l在第二象限内一个动点,当点P运动到什么位置时,△PAC的面积为3,求出此时直线AP的解析式.
    (3)在x轴上是否存在一点M,使得△BCM为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    21.如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l:y=﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(﹣4,﹣4)画平行于y轴的直线交直线AB于点D,CD=10
    (1)求点D的坐标和直线l的解析式;
    (2)求证:△ABC是等腰直角三角形;
    (3)如图2,将直线l沿y轴负方向平移,当平移适当的距离时,直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′,在直线CD上存在点P,使得△A′B′P是等腰直角三角形.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(不必书写解题过程)
    22.直线y=kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点,且=.
    (1)求点B的坐标和k的值;
    (2)若点A时第一象限内的直线y=kx﹣4上的一动点,则当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是6?
    (3)在(2)成立的情况下,x轴上是否存在点P,使△POA是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    23.如图,一次函数y1=x+n与x轴交于点B,一次函数y2=﹣x+m与y轴交于点C,且它们的图象都经过点D(1,﹣).
    (1)则点B的坐标为 ,点C的坐标为 ;
    (2)在x轴上有一点P(t,0),且t>,如果△BDP和△CDP的面积相等,求t的值;
    (3)在(2)的条件下,在y轴的右侧,以CP为腰作等腰直角△CPM,直接写出满足条件的点M的坐标.
    24.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A(0,4),与直线y=﹣x﹣1在第四象限相交于点B,连接OB,△AOB的面积为6.
    (1)求点B的坐标及直线AB的解析式;
    (2)已知点M在直线AB右侧,且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形,请求出符合条件的点M的坐标.
    25.综合与探究:
    如图,直线l1:y=x+3与过点A(3,0)的直线l2:y=kx+b(k≠0)交于点C(1,m)与x轴交于点B.
    (1)求直线l2对应的函数解析式;
    (2)请直接写出不等式kx+b<x+3的解集;
    (3)若点N在平面直角坐标系内,则在直线l1上是否存在点F使以A,B,F,N为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    26.一次函数y=kx+(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A(1,0)、B(0,m)两点.
    (1)求一次函数解析式和m的值;
    (2)将线段AB绕着点A旋转,点B落在x轴负半轴上的点C处.点P在直线AB上,直线CP把△ABC分成面积之比为2:1的两部分.求直线CP的解析式;
    (3)在第二象限是否存在点D,使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
    27.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点B,且与正比例函数y=k2x的图象交点为C(3,4).
    (1)求正比例函数与一次函数的关系式.
    (2)若点D在第二象限,△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形,请求出点D的坐标.
    (3)在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的点P的坐标.
    28.在学习一元一次不等式与一次函数的过程中,小新在同一个坐标系中发现直线l1:y1=﹣x+3与坐标轴相交于A,B两点,直线l2:y2=kx+b(k≠0)与坐标轴相交于C,D两点,两直线相交于点E,且点E的横坐标为2.已知OC=,点P是直线l2上的动点.
    (1)求直线l2的函数表达式;
    (2)过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M,N两点,当点N是线段PM的三等分点时,求P点的坐标;
    (3)若点Q是x轴上的动点,是否存在以A,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
    29.(1)认识模型:
    如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E.求证:△BEC≌△CDA;
    (2)应用模型:
    ①已知直线y=﹣2x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B顺时针旋转90度,得到线段CB,求点C的坐标;
    ②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(5,4),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y=2x﹣3上的一点,点Q是平面内任意一点.若四边形ADPQ是正方形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标.
    30.如图,四边形OABC为矩形,其中O为原点,A、C两点分别在x轴和y轴上,点B的坐标是(4,6),将矩形沿直线DE折叠,使点C落在AB边上点F处,折痕分别交OC、BC于点E、D,且点D的坐标是(,6).
    (1)求BF的长度;
    (2)如图2,点P在第二象限,且△PDE≌△CED,求直线PE的解析式;
    (3)若点M为直线DE上一动点,在x轴上是否存在点N,使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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