- 专题56 一次函数中的倍、半角问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用) 试卷 1 次下载
- 专题57 二次函数中的线段最值问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用) 试卷 1 次下载
- 专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用) 试卷 1 次下载
- 专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用) 试卷 1 次下载
- 专题61 二次函数背景下的相似三角形问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用) 试卷 1 次下载
专题58 二次函数中的面积问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)
展开求三角形的面积是几何题中常见问题之一,可用的方法也比较多,比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式,本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法.
【问题描述】在平面直角坐标系中,已知、、,求△ABC的面积.
【分析】显然对于这样一个位置的三角形,面积公式并不太好用,割补倒是可以一试,比如这样:
构造矩形ADEF,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积.
这是在“补”,同样可以采用“割”:
此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离.
由题意得:AE+BF=6.
下面求CD:
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为:
由点C坐标(4,7)可得D点横坐标为4,
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2,
故D点坐标为(4,2),CD=5,
.
【方法总结】
作以下定义:
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”;
过点C作x轴的垂线与AB交点为D,线段CD即为AB边的“铅垂高”.
如图可得:
【解题步骤】
(1)求A、B两点水平距离,即水平宽;
(2)过点C作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C;
(3)求直线AB解析式并代入点D横坐标,得点D纵坐标;
(4)根据C、D坐标求得铅垂高;
(5)利用公式求得三角形面积.
例题精讲
【例1】.如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C.点P为抛物线第二象限上一动点,连接PB、PC、BC,求△PBC面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
变式训练
【变1-1】.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;
(2)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
【变1-2】.如图,直线y=﹣x+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线y=﹣+bx+c经过点A,点C,且交x轴于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标.
【例2】.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,过点A的直线l交抛物线于点C(2,m),点P是线段AC上一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当P在何处时,△ACE面积最大.
变式训练
【变2-1】.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.
(1)求这个抛物线的函数表达式;
(2)若点D的坐标为(﹣1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值.
【变2-2】.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值.
1.如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若点P是线段BC上方的抛物线上一动点,当△BCP的面积取得最大值时,点P的坐标是( )
A.(2,3)B.(,)C.(1,3)D.(3,2)
2.如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线过B、C两点,连接AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上直线BC上方的一动点,求△PBC面积的最大值,并求出点P坐标;
(3)若点Q为抛物线对称轴上一动点,求△QAC周长的最小值.
3.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值.若没有,请说明理由.
4.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的二次函数解析式:
(2)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标;
(3)如图2,点H是直线BC下方抛物线上的动点,连接BH,CH.当△BCH的面积最大时,求点H的坐标.
5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形POP'C为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
6.如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(﹣1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为t(0<t<3),求△ABP的面积S与t的函数关系式;
(3)条件同(2),若△ODP与△COB相似,求点P的坐标.
7.如图,抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+经过点A,与抛物线的另一个交点为点C,点C的横坐标为3,线段PQ在线段AB上移动,PQ=1,分别过点P、Q作x轴的垂线,交抛物线于E、F,交直线于D,G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当四边形DEFG为平行四边形时,求出此时点P、Q的坐标;
(3)在线段PQ的移动过程中,以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值,若有求出最大值,若没有请说明理由.
8.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.E是BC上一点,PE∥y轴.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求BCP面积的最大值;
(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当m为何值时MN=BM,
9.已知直线y=x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.
10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3交x轴于点A(﹣1,0),B(3,0),过点B的直线y==x﹣2交抛物线于点C.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点(P不与点B,C重合),求△PBC面积的最大值.
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=S△OAB?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点,点N为y轴上一点,当△MAB的面积最大时,求MN+ON的最小值.
12.直线y=﹣x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若P是直线AB上方抛物线上一点;
①当△PBA的面积最大时,求点P的坐标;
②在①的条件下,点P关于抛物线对称轴的对称点为Q,在直线AB上是否存在点M,使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)交y轴于点A,交x轴于点B(﹣3,0)和点C(1,0).
(1)求此抛物线的表达式.
(2)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当△ABP的面积最大时,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.
(3)设抛物线顶点为D,在(2)的条件下直线AB上确定一点H,使△DHP为等腰三角形,请直接写出此时点H的坐标 .
14.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标.
15.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.
(3)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
16.已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,抛物线的对称轴交x轴于点M,连接BC、CM.求△BCM的周长及tan∠BCM的值;
(3)如图2,过点A的直线m∥BC,点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PD⊥m,垂足为点D,连接BD,CD,CP,PB.当四边形BDCP的面积最大时,求点P的坐标及四边形BDCP面积的最大值.
17.如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线F1:y=x2+bx+c经过点A(﹣3,0)和点B(1,0).
(1)求抛物线F1的解析式;
(2)如图2,作抛物线F2,使它与抛物线F1关于原点O成中心对称,请直接写出抛物线F2的解析式;
(3)如图3,将(2)中抛物线F2向上平移2个单位,得到抛物线F3,抛物线F1与抛物线F3相交于C,D两点(点C在点D的左侧).
①求点C和点D的坐标;
②若点M,N分别为抛物线F1和抛物线F3上C,D之间的动点(点M,N与点C,D不重合),试求四边形CMDN面积的最大值.
18.将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线H:y=a(x﹣h)2+k.抛物线H与x轴交于点A、B,与y轴交于点C.已知A(﹣3,0),点P是抛物线H上的一个动点.
(1)求抛物线H的表达式.
(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A、C重合),过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD交AC于点E.作PF⊥AC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值.
(3)如图2,点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点,在抛物线H上,是否存在点P,使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
参考:若点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则线段P1P2的中点P0的坐标为.
专题54 一次函数中的45°角问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用): 这是一份专题54 一次函数中的45°角问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用),文件包含专题54一次函数中的45°角问题原卷版docx、专题54一次函数中的45°角问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共65页, 欢迎下载使用。
专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用): 这是一份专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用),文件包含专题51一次函数的平行垂直面积问题原卷版docx、专题51一次函数的平行垂直面积问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共43页, 欢迎下载使用。
模型43 几何中等分面积问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用): 这是一份模型43 几何中等分面积问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用),文件包含模型43几何中等分面积问题原卷版docx、模型43几何中等分面积问题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共48页, 欢迎下载使用。