专题62 二次函数与圆综合性问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

这是一份专题62 二次函数与圆综合性问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用），文件包含专题62二次函数与圆综合性问题原卷版docx、专题62二次函数与圆综合性问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。

【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，
∵抛物线经过点B（2，0），
∴4a+2＝0，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；
（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵OC⊥AB，
∴•OA•OB＝•AB•OC，
∴×2×2＝×2•OC，
解得：OC＝，
∵⊙O的半径r＝，
∴OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，
∴可设P（x，﹣x2+2），
以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，
∵点C是AB的中点，
∴C（1，1），M（1，﹣1），
设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，
得：k＝﹣1，
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
∵点P在OM上，
∴﹣x2+2＝﹣x，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，
∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），
如图，当点P位于P1位置时，
OP1＝＝＝（1+）＝+，
∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，
当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，
∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；
综上所述，PM的长是或﹣2．
变式训练
【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值
解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．
（2）存在．
如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．
当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，
∴C（4，0），
∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；
又∵BF＝2，
∴，
∵∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴△BFC∽△AFB，
∴∠CBF＝∠BAF，
∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，
∴BC∥AE，
∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，
∴△BCF≌△EAO（ASA），
∴BC＝EA，
∴四边形ABCE是矩形；
∵OE＝FB＝2，
∴E（0，﹣2）．
（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.
由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，
∴CF＝CD，CB＝＝．
∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），
∴△FCL∽△BCF，
∴＝，
∴＝，
∵∠DCL＝∠BCD（公共角），
∴△DCL∽△BCD，
∴＝，
∴LD＝DB；
∵DA+LD≥AL，
∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．
∵CL＝CF＝，
∴BL＝＝，
∴BL2＝（）2＝，
又∵AB2＝22+42＝20，
∴AL＝＝＝，
DA+DB的最小值为．
【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：
如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，
则BF的长即为所求．理由如下：
连结CP，∵CP为半径，
∴＝＝，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴＝＝，即FP＝EP，
∴BF＝BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF＝CE，E（2，8），
∴由比例性质，易得F（，），
∴BF＝＝．
变式训练
【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图：
由y＝x2﹣x﹣4可得C（0，﹣4），
设P（x，x2﹣x﹣4），
∴AC2＝（﹣2﹣0）2+（0+4）2＝20，CP2＝x2+（x2﹣x）2，AP2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，
∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴AC2+CP2＝AP2，
即20+x2+（x2﹣x）2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，
∴20+x2+（x2﹣x）2＝x2+4x+4+（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+16，
解得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，
∴P（3，﹣）；
（3）点P在运动过程中线段DE的长不变，理由如下：
连接AP、BE，如图：
∵＝，＝，
∴∠APD＝∠DBE，∠DAP＝∠DEB，
∴△ADP∽△EDB，
∴＝，
∴DE＝，
设P（m，m2﹣m﹣4），则D（m，0），
∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+4，
∴DE＝＝＝2，
∴DE是定值2，
∴点P在运动过程中线段DE的长不变，是定值2．

1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标可以是 （，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1） ．
解：分两种情况：
（1）当⊙P与x轴相切时，依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．
①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y＝x2﹣1，得
2＝x2﹣1，
解得x＝±，
此时P（，2）或（﹣，2）；
②当P的坐标是（x，﹣2）时，
将其代入y＝x2﹣1，得﹣2＝x2﹣1，无解．
（2）当⊙P与y轴相切时，
∵⊙P的半径为2，
∴当⊙P与y轴相切时，点P到y轴的距离为2，
∴P点的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，当x＝﹣2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，
∴点P的坐标为（2，1）或（﹣2，1），
综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）；
故答案为：（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．
2．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
解：（1）令y＝0，则﹣2x＝0，
解得：x＝0或8．
∴A（8，0）．
∴OA＝8．
∵y＝﹣2x＝﹣4，
∴B（4，﹣4）．
过点B作BD⊥OA于点D，如图，
则OD＝4，BD＝4，
∴OD＝BD，
∴∠AOB＝∠OBD＝45°；
（2）①设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，如图，
∵B（4，﹣4），
∴BC⊥OA．
∵CO＝CB＝4，
∴△CBO是以OB为底的等腰三角形．
∴点M与点C重合时，△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（4，0）；
过点A作AM⊥x轴，交⊙A于点M，延长MA交⊙A于点E，连接BE，
过点M作MF⊥y轴于点F，如图，
则M（8，4），E（8，﹣4），F（0，4）．
∴MF＝ME＝8．
∵B（4，﹣4），
∴BE∥x轴．
∴BE⊥ME，BE＝4．
∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．
在△MOF和△MBE中，
，
∴△MOF≌△MBE（SAS）．
∴MO＝MB．
∴△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（8，4）；
综上，当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，点M的坐标为（4，0）或（8，4）；
②设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，CN，AM，如图，
∵A（8，0），
∴点C是OA的中点．
∵N为OM的中点，
∴CN是△OMA的中位线．
∴CN＝AM＝2．
当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：
BC﹣CN≤BN≤BC+CN．
∵BC＝4，
∴4﹣2≤BN≤4+2．
∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．
3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
（3）如图2，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，
∵EF⊥x轴，
∴∠BFE＝90°，
∴∠FBE+∠FEB＝90°，
∵△BEF的内心为I，
∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，
∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，
∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，
∴∠BIE＝135°，
在△BIO和△BIE中，
，
∴△BIO≌△BIE（SAS），
∴∠BIO＝∠BIE＝135°，
∵⊙M是△OBI的外接圆，
∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，
∴OM＝BM＝OB＝，
∴MI＝OM＝，
∴∠MOB＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝OM＝，
∴CH＝OH+OC＝+3＝，
∴CM＝＝，
∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为﹣．
4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．
（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意可知：y＝（x﹣2）（x﹣2m+3），
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：
（2，0）（2m﹣3，0），
因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；
（2）令y＝0，有：x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝0，则：
x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝4m﹣6；
∵AB＜6
∴x2﹣x1＜6，
即（x2﹣x1）2＜36，（x1+x2）2﹣4x1x2＜36，
即（2m﹣1）2﹣4（4m﹣6）＜36，
解得﹣＜x＜．①
根据A、B分别在原点两侧可知：x1x2＜0，
即4m﹣6＜0，m＜．②
综合①②可得﹣＜m＜；
（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．
①当C点在x轴正半轴时，x＝＞0，
因此＜m＜，
∵弧BC＝弧CD，
因此BC＝CD．
OC＝，CD＝BC＝OB﹣OC＝2﹣＝，EC＝BC＝，
OE＝MD＝OC+CE＝+＝．
易知：OD＝ME，即OD2＝ME2
∴CD2﹣OC2＝CM2﹣CE2，
（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2；
解得m＝，符合m的取值范围．
②当C点在x轴负半轴时，x＝＜0，
因此﹣＜m＜，
同①可求得OC＝，CD＝AC＝，CE＝，MD＝OE＝．
同理有：CD2﹣OC2＝MC2﹣CE2
（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2
化简得：m2＝，
∴m＝±，均不符合m的取值范围，
因此这种情况不成立．
综上所述，存在符合条件的m，且m＝．
5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．
解：（1）令y＝0，
∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，
∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，
∵m＞0，
∴Δ＞0，
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）
令y＝0，
∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，
∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，
∴x＝2或x＝﹣（m+2），
∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），
∴OA＝2，OB＝m+2，
令x＝0，
∴y＝﹣2（m+2），
∴C（0，﹣2（m+2）），
∴OC＝2（m+2），
①通过定点（0，1）理由：如图，
∵点A，B，C在⊙P上，
∴∠OCB＝∠OAF，
在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝，
在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝，
∴OF＝1，
∴点F的坐标为（0，1）；
②如图1，由①知，点F（0，1），
∵D（0，1），
∴点D在⊙P上，
∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，
∴∠DCE＝90°，
∵⊙P是△ABC的外接圆，
∴点P在抛物线的对称轴上，
∴点E在⊙P上，
∴DE是⊙P的直径，
∴∠DBE＝90°，
∵∠BED＝∠OCB，
∴tan∠BED＝，
设BD＝n，
在Rt△BDE中，tan∠BED＝＝＝，
∴BE＝2n，
根据勾股定理得，DE＝＝n，
∴l＝BD+BE+DE＝（3+）n，r＝DE＝n，
∴＝＝．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）如图，连接OC，
∵M（4，0），N（0，3），
∴OM＝4，ON＝3，
∴MN＝5，
∴OC＝MN＝，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD＝MD＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD＝＝＝，
∴PD＝PC﹣CD＝﹣＝1，
∴P（2，﹣1）；
（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；
（3）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∵ON＝3，OM＝4，PD＝1，
∴S四边形OPMN＝S△OMP+S△OMN＝OM•PD+OM•ON＝×4×1+×4×3＝8＝8S△QAB，
∴S△QAB＝1，
设Q点纵坐标为y，则×2×|y|＝1，解得y＝1或y＝﹣1，
当y＝1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y＝﹣1时，可知P点即为所求的Q点，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝QD，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∵ON＝OB＝3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．
7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，
故二次函数表达式为：y＝x2；
（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝2；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；
（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，
设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），
故点E在FN的中垂线上．
∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，
∴y＝×12＝，则点E（1，），
EN＝＝，
同理EF＝＝，
点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，
故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．
8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，
①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c＝﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，求二次函数的表达式．
解：①二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的对称轴为x＝，
当b＝1时，＝，
∴当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x＝．
②二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），
∵二次函数的图象与x轴相切且c＝﹣b2﹣2b，
∴，解得：b＝，
∴b为，二次函数的图象与x轴相切．
③∵AB是半圆的直径，
∴∠AMB＝90°，
∴∠OAM+∠OBM＝90°，
∵∠AOM＝∠MOB＝90°，
∴∠OAM+∠OMA＝90°，
∴∠OMA＝∠OBM，
∴△OAM∽△OMB，
∴，
∴OM2＝OA•OB，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
∴OA＝﹣x1，OB＝x2，x1+x2，＝b，x1•x2＝﹣（c+1），
∵OM＝c+1，
∴（c+1）2＝c+1，
解得：c＝0或c＝﹣1（舍去），
∴c＝0，OM＝1，
∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，
∴AD＝BD，DF＝4DE，
DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，
∴，，
∴DE＝，DF＝，
∴×4，
∴OB＝4OA，即x2＝﹣4x1，
∵x1•x2＝﹣（c+1）＝﹣1，
∴，解得：，
∴b＝﹣+2＝，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+1．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足；当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
解：①当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，
∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
当0＜x1＜x2时，x1﹣x2＜0，
∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴y1﹣y2＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
∴抛物线关于y轴对称，
∴b＝0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2，
如图，连接OB、OC，设BC交y轴于点D．
由对称性可知，△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴OD＝OA＝1，CD＝OD＝，
∴B（﹣，﹣1），C（，﹣1），
将C点坐标代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②设直线OM的解析式为y＝k1x，
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
化为x1﹣x2＝，
∵x1≠x2，
∴x1x2＝﹣2，
∴，
∴，
设点N关于y轴的对称点为N'，
则N'的坐标为，
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP﹣2OA＝4，即点P的坐标为（0，4），
设直线PM的解析式为y＝k2x+4，
∵点M的坐标为，
∴，
∴，
∴直线PM的解析式为x+4．
∵，
即N'在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．
解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），
∵点A（4，0），则点M（2，1）；
（2）应该是圆M与直线AD相切，则∠CAD＝90°，
设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，
tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，csα＝，
AC＝，则CD＝＝10，
则点D（0，﹣8），
将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，
将点B坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，
过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，
cs∠PEH＝，
解得：PE＝5，
设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），
则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，
解得x＝或2，
则点P（，）或（2，1）．
11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．
解：（1）令ax2+6ax＝0，
ax（x+6）＝0，
∴A（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，
又∵∠BDM＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE．
②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），
∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，
∴∠CBO＝∠EBO，
由角平分线成比例定理可得：，
即：，
∴，
∴，
∴，
＝，
＝．
12．抛物线y＝﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
（1）点B，D的坐标分别为 （3，0） ， （，） ；
（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；
（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．
①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；
②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令y＝0，则﹣x2+x﹣1＝0，
解得x＝3或x＝，
∴B（3，0），A（，0），
令x＝0，则y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
∵y＝﹣x2+x﹣1＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点D（，），
故答案为：（3，0），（，）；
（2）∵E与D关于直线y＝t对称，
∴E（，2t﹣），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，﹣1）代入，
得，
∴，
∴y＝x﹣1，
当x＝时，y＝﹣，
∵E点在△ABC内（含边界），
∴2t﹣≥﹣，
∴t≥，
∵2t﹣≤0，
∴t≤，
∵t＜，
∴t的取值范围是≤t≤；
（3）①当t＝0时，y＝﹣x2+x﹣1关于x轴对称的函数为y＝x2﹣x+1，
∴“M”形图象AB段的函数关系式为y＝x2﹣x+1（≤x≤3）；
②存在点P，理由如下：
设Q点的横坐标为m，
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴P点的横坐标为m，
当m＞3或m＜时，Q（m，﹣m2+m﹣1），
∵△CPQ为直角三角形，
∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2＝m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，
解得m＝或m＝，
∴P（，0）或P（，0）；
当≤m≤3时，Q（m，m2﹣m+1），
∵△CPQ为直角三角形，
∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2＝m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，
解得m＝2或m＝，
∴P（，0）或P（1，0）；
综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，P点坐标为（，0）或（，0）或（，0）或P（1，0）．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2．
又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC•cs30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，
∴3a+2＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．
直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x+4，
∵点M的坐标为（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x1+4，
∴k2＝﹣，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．
∵﹣•+4＝＝﹣+2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2+bx+3中，
，
解得：，
所以所求函数关系式为：y＝x2﹣x+3；
（2）△ABC是直角三角形，
过点B作BD⊥x轴于点D，
易知点C坐标为：（0，3），所以OA＝OC，
所以∠OAC＝45°，
又∵点B坐标为：（4，1），
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
圆心M的坐标为：（2，2）；
（3）存在
取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，
∵M的坐标为：（2，2），
∴MC＝＝，OM＝2，
∴∠MOA＝45°，
又∵∠BAD＝45°，
∴OM∥AB，
∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，
则平移的长度为：2﹣或2+；
∵∠BAD＝45°，
∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移＝个单位长度
或＝个单位长度，
∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣）2﹣，
∴平移后抛物线的关系式为：y＝（x﹣+）2﹣﹣，
即y＝（x﹣）2﹣，
或y＝（x﹣+）2﹣﹣，
即y＝（x﹣）2﹣．
综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：
y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣）2﹣．
15．已知抛物线C1：y＝ax2过点（2，2）
（1）直接写出抛物线的解析式 y＝x2 ；
（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；
（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y＝t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，
设A、C两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，
点D坐标为（，），即；D（1，1+b），B坐标为（1，），
AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8，
BD＝+b，
∴＝16；
（3）设点Q坐标为（a，a2），
点P的坐标为（0，2），由P、Q坐标得点M的坐标为（，a2+1），
设圆的半径为r，
由P（0，2）、M两点坐标可以求出r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，
设点M到直线y＝t的距离为d，则d2＝（a2+1﹣t）2＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，
则HK＝2＝2，
当t﹣＝0时，HK为常数，t＝，
HK＝．
16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA周长的最小值；
（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．
解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化简，得，解得，
∴．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图，连接BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3，BD＝，AB＝5，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝，
∴sin∠BDN＝＝＝，
∴∠BDN＝45°，
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
（3）不变．
如图，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝2.5，
∵＝＝，＝＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；
（2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），
当点P在x轴下方时，
如图1，∵tan∠MBC＝2，
故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，
故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，
联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；
当点P在x轴上方时，
同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；
故m＝2或4+2；
②存在，理由：
连接BN、BD、EM，
则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，
即﹣0.5≤ND≤+0.5，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．
19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．
1°求线段MN的最大值；
2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．
解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），
∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，
∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；
2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，
∴△PMN为直角三角形，
由1°知，当MN取最大值时，M（），N（），
①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为，
当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，
解得，x＝，或x＝（舍去），
∴P（）；
②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为﹣，
当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，
解得，x＝，或x＝（舍去），
∴P（，）；
③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，
∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，
∴Q（），半径为，
过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，
令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，
解得，x＝＜（舍），或x＝，
∴K（，），
∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，
设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），
连接LK，如图②，则L到QK的距离为，
LK＝，
设Q点到LK的距离为h，则
，
∴＝，
∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，
∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，
∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，
∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，
∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，
∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；
综上，点P的坐标为（）或（）．
20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，
整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，
∵△QMT的面积是△PMT面积的两倍，
∴MT•（x2﹣1）＝2×MT•（1﹣x1），
∴2x1+x2＝3，即x2＝3﹣2x1②，
将②代入①得：2x12﹣3x1﹣2＝0，
解得：x1＝2或，
∴或，
∴k＝1或，
∵k＜0，
∴k＝﹣；
（3）线段EF的长为定值1，
如图，连接BE，
设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，
∵EF⊥x轴，
∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，
∵F（t，0），
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED＝180°，
∵∠BEF+∠BED＝180°，
∴∠DAF＝∠BEF，
∵∠AFD＝∠EFB＝90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴，
∴，
∴EF＝＝＝1，
∴线段EF的长为定值1．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）现有一个以原点O为圆心，长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？
解：（1）设0＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝﹣1或3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴C（0，3），
∴抛物线的对称轴是：直线x＝1．
（2）①设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，
得，解得：k＝﹣1，b＝3
∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3．
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1.2）．
当x＝m时，y＝﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4，∴D（1，4）．
当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，
∴F（m，﹣m2+2m+3），
∴线段DE＝4﹣2＝2，
线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PF∥DE
∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．
由﹣m2+3m＝2，解得m＝2或m＝1（不合题意，舍去）．
因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB＝OM+MB＝3．
∵S＝S△EPF+S△CPF，
即S＝PF•BM+PF•OM
＝PF（BM+OM）
＝PF•OB，
∴S＝×3（﹣m2+3m）＝﹣m2+m（0≤m≤3）
∴当m＝﹣＝时
S最大值＝；
（3）如图，设⊙O与直线AC相切于点E，连O′E，则O′E⊥AC，
∵AO⊥CO，
∴∠O′EC＝∠COA＝90°
∵∠ACO＝∠ECO，
∴△ACO∽△O′CE，
∴＝，
由（1）得AO＝1，CO＝3，AC＝，
设x秒后⊙0与AC相切，
则OO′＝x，CO′＝|3﹣x|，
∴，
解得：x＝0.5或5.5，
∴0.5或5.5秒后⊙O与直线AC相切．
22．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；
②在凸四边形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或不是）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac）．记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：
①＝+；②＝+；③“十字形”ABCD的周长为12．
解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”．
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”．
故答案为：菱形，正方形；
②如图：
假设四边形ABCD是十字形，则AC⊥BD．
∵AD＝AB，
∴DE＝BE，
∵∠BEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，
∴△BEC≌△DEC（SAS），
∴CB＝CD，这与CB≠CD矛盾，
∴假设不成立，
∴该四边形不是“十字形”．
故答案为：不是；
（2）∵∠ABD﹣∠CBD＝∠ADB﹣∠CDB，
∴∠ABD+∠CDB＝∠ADB+∠CBD，
∵∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠CAB＝∠ADB+∠CAD，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，
∴∠AEB＝∠AED，
∵∠AED+∠AEB＝180°，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴AC⊥BD．
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD．
∴OA＝OD＝1，ON2＝OD2﹣DN2，OM2＝OA2﹣AM2，AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，
∴OE2＝OM2+ME2，ON＝ME，
∴OE2＝ON2+OM2＝2﹣（AC2+BD2）．
∵7≥AC2+BD2≥6，
∴2﹣≥OE2≥2﹣
∴，
∴≤OE≤（OE＞0）．
（3）由题意得：A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac）．
∵c＜0，a＞0，
∴DO＝﹣ac，AC＝，BC＝﹣ac﹣c，AO＝，CO＝，BO＝﹣c，
∴S＝AC•BD＝﹣（ac+c）•，
S1＝AO•OB＝﹣•＝﹣，
S2＝CO•OD＝﹣•＝﹣，
S3＝AO•OD＝﹣•＝﹣，
S4＝BO•OC＝﹣•＝﹣．
∵＝+，＝+，
∴，
∴＝2，即a＝1，
∴S＝﹣c，S1＝﹣，S4＝﹣．
∵+＝，
∴S＝S1+S2+2，
∴﹣c＝﹣+2，
∴﹣＝﹣c•，
∴＝，即b＝0，
∴C（，0），D（0，﹣c），A（﹣，0），B（0，c），
∴四边形ABCD为菱形，
∴4AD＝12，
∴AD＝3，即AD2＝90．
∵c2﹣c＝AD2，
∴90＝c2﹣c，
即（c﹣10）（c+9）＝0，
∴c1＝10（舍去），c2＝﹣9，
∴y＝x2﹣9．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…