高考数学二轮专题向量+立体图形专题含解析

这是一份高考数学二轮专题向量+立体图形专题含解析，共21页。试卷主要包含了＝7，则m＝　 　等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•泰安二模）设向量（1，m），（2，1），且•（2）＝7，则m＝ ．
2．（2019•深圳一模）已知平面向量，满足||＝2，||＝4，|2|，则与的夹角为 ．
3．（2023•汕头一模）已知向量（1，），（﹣1，0），（，k）．若，，，则实数k＝（ ）
A．B．﹣3C．D．3
4．（2023•广州一模）已知向量与共线，则 ．
5．（2023•深圳一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2020•深圳一模）已知平面向量、，若（1，2），∥，⊥（），则||＝ ．
7．（2020•广州一模）已知单位向量与的夹角为，若向量2与2k的夹角为，则实数k的值为 ．
8．（2020•东莞市一模）已知向量（2，1），（x，﹣2），若||＝|2|，则实数x的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．（2022•汕头一模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，，点E是CD的中点，则 ．
10．（2020•深圳一模）已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为 ．
11．（2022•广州一模）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 ．
12．（2024•白山一模）已知，，若在向量上的投影为，则向量（ ）
A．B．C．D．
13．（2023秋•楚雄州期中）已知向量满足|，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024•深圳一模）已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
15．（2021•深圳一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．18B．24C．36D．48
16．（2020•深圳一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2，b，sinCsinB，则△ABC的面积为 ．
17．（2024•汕头一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为（ ）
A．a＝8B．a＝9C．a＝10D．a＝11
18．（2022•汕头一模）在①C＝2B；②△ABC的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，___？
19．（2021•广州一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cs2B＝cs（A+C），asinA+csinC＝6sinB．
（1）求B；
（2）求△ABC的周长．
20．（2021•深圳一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB﹣csC．
（1）求A；
（2）若bc，且BC边上的高为2，求△ABC的面积．
21．（2023•广州一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．
（1）证明：sinA+sinC＝2sinB；
（2）若，求△ABC的面积．
22．（2020•广州一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）求b+2a的最大值．
23．（2022•广州一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）证明：sinA＝2sinB；
（2）若，求csA．
24．（2022•深圳一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
25．（2020•深圳一模）已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A．4πB．4C．8D．8π
26．（2019•深圳一模）已知圆锥的母线长为，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A．B．16πC．25πD．32π
27．（2024•山东开学）已知圆台的母线长为，上、下底面的直径分别为6和10，则该圆台的体积为（ ）
A．184πB．188πC．192πD．196π
28．（2023秋•沈阳期中）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为9π，两段圆弧，所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
29．（2023•江西模拟）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2024•深圳一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
31．（2023•汕头一模）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝ ．
向量+立体图形 一模专题
参考答案与试题解析
一．试题（共31小题）
1．（2021•泰安二模）设向量（1，m），（2，1），且•（2）＝7，则m＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵向量（1，m），（2，1）．m实数，
∴2（4，2m+1），
∵•（2）＝7，
∴•（2）＝8+2m+1＝7，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
2．（2019•深圳一模）已知平面向量，满足||＝2，||＝4，|2|，则与的夹角为 60° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由向量的模的运算有：（2）2＝422+448，
又||＝2，||＝4，
所以4，
设与的夹角为θ，
则csθ，
又θ∈[0°，180°]，
所以θ＝60°，
故答案为：60°．
3．（2023•汕头一模）已知向量（1，），（﹣1，0），（，k）．若，，，则实数k＝（ ）
A．B．﹣3C．D．3
【答案】B
【解答】解：已知向量（1，），（﹣1，0），（，k）．
又，，，
则，
则，
即k＝﹣3，
故选：B．
4．（2023•广州一模）已知向量与共线，则 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵（1，2），（3，x），∴（4，2+x），
∵与共线，
∴2+x＝8，∴x＝6，
∴（3，6），∴（﹣2，﹣4），
则2，
故答案为：2．
5．（2023•深圳一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：，为单位向量，且，
∴（）29﹣30cs25＝49，
解得cs，
∴cs，（），
∵0π，
∴与的夹角为．
故选：C．
6．（2020•深圳一模）已知平面向量、，若（1，2），∥，⊥（），则||＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵平面向量、，若（1，2），∥，故可设（λ，2λ）．
∵⊥（），∴5+（λ+4λ）＝0，求得λ＝﹣1，
则|||λ|，
故答案为：．
7．（2020•广州一模）已知单位向量与的夹角为，若向量2与2k的夹角为，则实数k的值为 ﹣10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：单位向量与的夹角为，
即||＝||＝1，•1×1×cs；
又向量2与2k的夹角为，
所以（2）•（2k）＝|2|×|2k|cs，
即2×12+（4+k）2k×12（）；
8+5k•；
，
解得k＝﹣10，
所以实数k的值为﹣10．
8．（2020•东莞市一模）已知向量（2，1），（x，﹣2），若||＝|2|，则实数x的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解答】解：∵向量（2，1），（x，﹣2），
∴（2+x，﹣1），（4﹣x，4），
∵||＝|2|，
∴，解得x，
故选：C．
9．（2022•汕头一模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，，点E是CD的中点，则 ﹣2 ．
【答案】﹣2
【解答】解：如图，分别过点C，D作CG⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为G，F．
由题得四边形ABCD为等腰梯形，
AF＝BG＝1，∴，所以∠DAF＝45°．
由题得

故答案为：﹣2．
10．（2020•深圳一模）已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则C（3，0），D（），E（1，0），
∴．
故答案为：3．
11．（2022•广州一模）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是 [﹣2，2] ．
【答案】[﹣2，2]．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），D（2，0），C（1，），D（﹣1，）
当点P在BC上时，设P（x，），x∈[﹣1，1]，（2，0），（x，），
则2x∈[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
12．（2024•白山一模）已知，，若在向量上的投影为，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：由题意．
故选：D．
13．（2023秋•楚雄州期中）已知向量满足|，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：因为，
所以，解得，
所以在上的投影向量为．
故选：B．
14．（2024•深圳一模）已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【答案】A
【解答】解：向量在向量上的投影向量为，
则，即，
，是夹角为120°的两个单位向量，
则，即，解得λ＝﹣2．
故选：A．
15．（2021•深圳一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】C
【解答】解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：
则A（﹣8，0），B（﹣6，），C（﹣2，）．
圆D的方程为x2+y2＝3，可设P（），
所以，．
故
＝12sin（）+24≤12+24＝36．
故选：C．
16．（2020•深圳一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2，b，sinCsinB，则△ABC的面积为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＝2，b，sinCsinB，
∴由正弦定理可得cb＝3，
∴csC，可得sinC，
∴S△ABCabsinC．
故答案为：．
17．（2024•汕头一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为（ ）
A．a＝8B．a＝9C．a＝10D．a＝11
【答案】B
【解答】解：由正弦定理，有，
∴，
∵三角形有两解，∴sinB＜1且b＞a，
∴，
因此由选项知，只有a＝9时符合条件，
故选：B．
18．（2022•汕头一模）在①C＝2B；②△ABC的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，___？
【答案】若选①，c；若选②，或；若选③，三角形不存在．
【解答】解：若选①，则A＝π﹣3B，且A＜B＜C，
因为a＝1，b＝2，
由正弦定理得，则，即，
所以2sin3B＝sinB，2（3sinB﹣4sin3B）＝sinB，
得，
因为B∈（0，π），所以，
因为A＜B＜C，所以角B为锐角，
所以，
所以，
所以由正弦定理得；
若选②，则由△ABC的面积为，得，
所以，
当C为锐角时，，此时由余弦定理得，
，所以，
当C为钝角时，，此时由余弦定理得，
，所以，
综上，或；
若选③，由，得，
由正弦定理得，则，
所以三角形不存在．
19．（2021•广州一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cs2B＝cs（A+C），asinA+csinC＝6sinB．
（1）求B；
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）B，
（2）9
【解答】解：（1）因为cs2B＝cs（A+C），
所以2cs2B﹣1＝﹣csB，
解得，csB或csB＝﹣1（舍），
由B为三角形内角得B，
（2）因为asinA+csinC＝6sinB，
由正弦定理得，a2+c2＝6b＝18，
因为csB，
故ac＝9，
所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝18+18＝36，
故a+c＝6，
所以△ABC的周长a+b+c＝9．
20．（2021•深圳一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB﹣csC．
（1）求A；
（2）若bc，且BC边上的高为2，求△ABC的面积．
【答案】（1）A；
（2）7．
【解答】解：（1）因为sinB﹣csC，
所以2absinB＝c2﹣a2+2abcsC，
由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcsC，
所以2absinB＝b2，
即2asinB＝b，
由正弦定理得，，
所以2sinAsinB＝sinB，
因为sinB＞0，
故sinA，
由A为锐角，A，
（2）由题意得，S，
所以bc＝4，
因为bc，
所以c2＝16a，b23a，
由余弦定理得，csA，
解得a＝7，
所以S7．
21．（2023•广州一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．
（1）证明：sinA+sinC＝2sinB；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）∵a，
∴，
∴a（1+csC）+c（1+csA）＝3b，
∴由正弦定理可得，sinA（1+csC）+sinC（1+csA）＝3sinB，
∴sinA+sinAcsC+sinC+sinCcsA＝3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）＝3sinB，
∵A+B+C＝π，
∴sinA+sinC+sinB＝3sinB，
∴sinA+sinC＝2sinB；
（2）∵sinA+sinC＝2sinB，
∴a+c＝2b，
∵b＝2，
∴a+c＝4①，
∵，
∴bccsA＝3，
∴a2＝b2+c2﹣2bc•csA，即a2＝4+c2﹣6，
∴c2﹣a2＝2，即（c﹣a）（c+a）＝2，
∴c﹣a②，
联立①②解得，a，c，
∴，
∴sinA，
∴S△ABC．
22．（2020•广州一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）求b+2a的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意及正弦定理可得：，
由余弦定理得：a2+b2﹣c2＝2ab•csC，
所以，
又C为△ABC内角，
∴；
（2）由正弦定理可得：，
所以a＝2sinA，b＝2sinB，
又因为A+B+C＝π，
所以，
所以，且，
又因为，
所以sin（A+ϕ）max＝1，
所以，即b+2a的最大值为．
23．（2022•广州一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）证明：sinA＝2sinB；
（2）若，求csA．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：由题设，，
又sinC≠0，
所以，
由正弦定理可得sinAsinB＝sin2A﹣2sin2B，
所以sinB（sinA+sinB）＝sin2A﹣sin2B＝（sinA+sinB）（sinA﹣sinB），
又sinA+sinB≠0，
所以sinB＝sinA﹣sinB，
即sinA＝2sinB．
解：（2）方法一：由（1）及题设，，且sinB＞0，
所以，
则，故，
又，
可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以．
方法二：由⇒csC，
由余弦定理csC，
则，有cb，
由余弦定理csA．
24．（2022•深圳一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
【答案】A
【解答】解：以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，
旋转一周所得的旋转体为圆柱，
其底面半径r＝2，高h＝2，
∴以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，
将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为：
S＝2πrh＝2π×2×2＝8π．
故选：A．
25．（2020•深圳一模）已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A．4πB．4C．8D．8π
【答案】D
【解答】解：如图所示：△PAB为圆锥的轴截面，且AB＝2R＝4，OP＝4，
在直角三角形POA中，PA6．设△PAB内切圆的半径为r，
∵S△PABAB×PO＝8（PA+PB+AB）•r（12+4）•r，
∴r即为圆锥的内切球的半径．故其表面积为4πr2＝8π．
故选：D．
26．（2019•深圳一模）已知圆锥的母线长为，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A．B．16πC．25πD．32π
【答案】C
【解答】解：如图，CB，BE＝2，
可得CE＝1，
取CB中点D，
作DO⊥CB交CE延长线于O，
则O为△ABC的外心，也即圆锥外接球的球心，
设OE＝x，则OC＝1+x，OB，
∴（1+x）2＝x2+4，
得x，
∴外接球半径R，
∴25π．
故选：C．
27．（2024•山东开学）已知圆台的母线长为，上、下底面的直径分别为6和10，则该圆台的体积为（ ）
A．184πB．188πC．192πD．196π
【答案】D
【解答】解：根据题意，设圆台的高为h，
圆台的上、下底面的直径分别为6和10，则其上、下底面的半径分别为3和5，
母线长为，则有h2+（5﹣3）2＝（2）2，
解可得h＝12，
则圆台的体积V（9π+25π）×12＝196π．
故选：D．
28．（2023秋•沈阳期中）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为9π，两段圆弧，所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为α，
则其面积为，解得，
所以扇环的两个圆弧长分别为和，
设圆台上下底面的半径分别为r1，r2，高为h，所以2π＝2πr1，解得r1＝1，
4π＝2πr2，解得r2＝2，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中OD＝r1＝1，O′A＝r2＝2，AD＝6﹣3＝3，过点D向AP作垂线，垂足为T，则AT＝r2﹣r1＝1，
所以圆台的高，则上底面面积，，
由圆台的体积计算公式可得：．
故选：A．
29．（2023•江西模拟）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，正方体ABCD﹣EFGH，若要使液面形状不可能为三角形，
则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC，
若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，
设液面的体积为V，而VG﹣EHD＜V＜V正方体﹣VB﹣AFC，
而VG﹣EHD12×1，
V正方体﹣VB﹣AFC＝13，
所以V的取值范围是（，）．
故选：A．
30．（2024•深圳一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设r1＝a，则r2＝2r1＝2a，圆台的内切球的半径为R，则R＝2，
如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底分别切于点O1，O2，则有ED＝a，EA＝2a，
注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，
Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝DE•EA，即2a2＝4，解可得a，
半径为2的球与圆台的上、下底面均相切，则圆台的高为h＝2R＝4，
故圆台的体积V（ππ）h（2π+8π）×4．
故选：C．
31．（2023•汕头一模）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝ 8π ．
【答案】8π．
【解答】解：设正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面的中心为M、H，
连接MH，
则球O的球心为MH的中点，
过O作OG⊥平面A1D1DA，
∵AB＝4，A1B1＝2，
∴NG＝NM＝1，GF＝FH＝2，
∴FN＝3，
过N作NE⊥FH交FH于点E，
则，
设球O的半径为R，
则，
则S＝4πR2＝8π，
故答案为：8π．
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