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第12讲 一次函数的实际应用课件---2024年中考数学一轮复习
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这是一份第12讲 一次函数的实际应用课件---2024年中考数学一轮复习，共46页。PPT课件主要包含了栏目导航，一次函数的实际应用，D94，10年4考，返回命题点导航等内容，欢迎下载使用。
教材链接人教：八下第十九章P71-P110. 冀教：八下第二十二章P148-P184.北师：八上第四章P89-P101.
一次函数实际应用的常考类型
确定解析式常用的等量关系
1.一次函数实际应用的常考类型
(1)根据实际问题中给出的数据列出相应的函数解析式,解决实际问题;(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较;(3)结合函数图象解决实际问题.
考点 1 一次函数的是实际应用
归纳总结一次函数的实际应用一般涉及以下三个问题:(1)求函数解析式:①文字型及表格型的应用题;②图象型的应用题.(2)求最优方案.(3)求最值问题:①可将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较;②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解.
2.确定解析式常用的等量关系(1)路程问题:路程=速度×时间.(2)利润问题:销售额=单价×销售量,总利润=单件利润×销售量.
一次函数与几何图形相结合的主要题型是有关几何图形的面积计算.解题时通常会用到二元一次方程组来求一次函数解析式或交点坐标.
考点 2 —次函数与几何图形结合的相关计算
题型 1 一次函数的实际应用
题型 2 一次函数与几何图形的相关问题
1. 核心素养·几何直观 (2022·邯郸武安区一模)甲、乙两名同学沿直线进行登山,甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶.甲同学到达山顶休息1 h后再沿原路下山,他们离山脚的距离s(km)随时间t(h)变化的图象如图所示,根据图象中的有关信息回答下列问题:
(1)甲同学上山过程中s甲与t的函数解析式为 ;点D的坐标为 .
上山图象OC段的解析式用待定系数法直接求解,根据解析式先求出点C的坐标,结合题意就能求出点D的坐标;
(2)若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇,此时点F与山顶的距离为0.75 km.①求甲同学下山过程中s与t的函数解析式;
利用待定系数法先求出乙的解析式,从而求出F点的坐标,这是求甲下山图象DG段解析式的关键;
②相遇后甲、乙各自继续下山和上山,求当乙到达山顶时,甲与乙的距离是多少千米.
此过程甲、乙所用时间相同,可先求出乙到达山顶所用时间,再代入甲下山DG段的函数解析式,便可求出甲、乙的距离.
计算甲、乙出发多长时间,两人相距1千米?
2.(2022·衡水模拟)一个有进水管与出水管的容器,已知每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始5分钟内只进水不出水,在随后的10分钟内既进水又出水,15分钟后关闭进水管,放空容器中的水.容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分钟)之间的关系如图所示.
(1)填空:进水管的进水速度是 升/分钟;出水管的出水速度是 升/分钟;a的值为 . (2)求出当5≤x≤a时容器中水量y(升)关于x(分钟)的函数解析式.
(3)容器中的水量不低于10升的时长是多少分钟?
3.(2022·石家庄模拟)共享电动车是一种新理念下的交通工具:主要面向3~10 km的出行市场,现有A,B两种品牌的共享电动车,收费与骑行时间之间的函数关系如图所示,其中A品牌收费方式对应y1,B品牌的收费方式对应y2.
(1)A品牌每分钟收费 元;
解析：设y1=k1x,把点(20,4)代入y1=k1x,得k1=0.2.
(2)求B品牌的函数关系式;
(3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20 km/h,小明家到工厂的距离为6 km,那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢?
解：6÷20=0.3(h),0.3 h=18 min,∵18<20,由图象可知,当骑行时间不足20 min时,y1
解：∵当x=20 min时两种收费相同,∴两种收费相差1.2元分20 min前和20 min后两种情况,①当x<20时,离20 min越近,收费相差得越少,当x=10时,y1=0.2×10=2, y2=3, y2-y1=3-2=1,∴要使两种收费相差1.2元, x应小于10,∴y2-y1=3-0.2x=1.2,解得x=9;②当x>20时,0.2x-(0.1x+2)=1.2,解得x =32.∴在9分钟或32分钟,两种收费相差1.2元.
题型 2 一次函数与几何图形的相关问题
1. 核心素养·空间观念 (2022·张家口模拟)如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°.点P从点A出发,沿路线A→B→C→D运动.设点P经过的路程为x,以点A,D,P为顶点的三角形的面积为y,则下列图象能反映y与x的函数关系的是( )
2.(2022·唐山模拟)如图,已知直线l1:y=-2x+4与坐标轴分别交于A,B两点,那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为( )
3.(2022·石家庄桥西区模拟)如图①,直线AB分别与x轴、y轴交于点A(3,0),B(0,4),动点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向点O运动,点P到达点O停止运动,连接AP,设运动时间为t(秒)(t≠0).
(1)求直线AB的函数解析式;
直接利用待定系数法求解即可.
(2)当△AOP∽△BOA时,求t的值;
根据相似三角形的性质“对应边成比例”,即可求出OP的长,从而可求出BP的长,进而即可求出t的值.
(3)如图②,若将△ABP沿AP翻折,点B恰好落在x轴上的点B1处,求t的值和S△ABP.
将△AOP沿AP翻折,使点O恰好落在AB上,求此时点P的坐标.
满分指导本题属于一次函数与几何图形的动点综合题,考查利用待定系数法求函数解析式,坐标与图形变换的关系,利用相似三角形,勾股定理等知识,解决问题.动点问题的关键是将线段、面积等量用t表示,再根据题意列出t的方程,解方程,解决问题.
（2013~2022）
1.(2022·河北25题10分)如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).(1)求AB所在直线的解析式.
(2)某同学设计了一个动画:在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
解：①n=-2m,理由:若有光点P弹出,则c=2,∴点C(2,0),把点C(2,0)代入y=mx+n(m≠0,y≥0)得2m+n=0,∴若有光点P弹出,m,n满足的数量关系为n=-2m.
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
2. 核心素养·应用意识 (2021·河北23题9分)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1号指挥机(看成点P)始终以3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行,2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点O处沿45°仰角爬升,到4 km高的A处便立刻转为水平飞行,再过1 min到达B处开始沿直线BC降落,要求1 min后到达C(10,3)处. [注:(1)及(2)中不必写s的取值范围]
(1)求OA的h关于s的函数解析式,并直接写出2号机的爬升速度;
(2)求BC的h关于s的函数解析式,并预计2号机着陆点的坐标;
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少.
3.(2015·河北23题10分)水平放置的容器内原有210毫米高的水,如图,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4毫米,每放入一个小球水面就上升3毫米,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高度为y毫米.
(1)只放入大球,且个数为x大,求y与x大的函数关系式(不必写出x大的范围).
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x小.①求y与x小的函数关系式(不必写出x小范围);
解：当x大=6时,y=4×6+210=234,∴y=3x小+234;
②限定水面高不超过260毫米,最多能放入几个小球?
4.(2016·河北24题10分)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如表:
已知这个n玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围;
(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?
教材链接人教：八下第十九章P71-P110. 冀教：八下第二十二章P148-P184.北师：八上第四章P89-P101.
一次函数实际应用的常考类型
确定解析式常用的等量关系
1.一次函数实际应用的常考类型
(1)根据实际问题中给出的数据列出相应的函数解析式,解决实际问题;(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较;(3)结合函数图象解决实际问题.
考点 1 一次函数的是实际应用
归纳总结一次函数的实际应用一般涉及以下三个问题:(1)求函数解析式:①文字型及表格型的应用题;②图象型的应用题.(2)求最优方案.(3)求最值问题:①可将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较;②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解.
2.确定解析式常用的等量关系(1)路程问题:路程=速度×时间.(2)利润问题:销售额=单价×销售量,总利润=单件利润×销售量.
一次函数与几何图形相结合的主要题型是有关几何图形的面积计算.解题时通常会用到二元一次方程组来求一次函数解析式或交点坐标.
考点 2 —次函数与几何图形结合的相关计算
题型 1 一次函数的实际应用
题型 2 一次函数与几何图形的相关问题
1. 核心素养·几何直观 (2022·邯郸武安区一模)甲、乙两名同学沿直线进行登山,甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶.甲同学到达山顶休息1 h后再沿原路下山,他们离山脚的距离s(km)随时间t(h)变化的图象如图所示,根据图象中的有关信息回答下列问题:
(1)甲同学上山过程中s甲与t的函数解析式为 ;点D的坐标为 .
上山图象OC段的解析式用待定系数法直接求解,根据解析式先求出点C的坐标,结合题意就能求出点D的坐标;
(2)若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇,此时点F与山顶的距离为0.75 km.①求甲同学下山过程中s与t的函数解析式;
利用待定系数法先求出乙的解析式,从而求出F点的坐标,这是求甲下山图象DG段解析式的关键;
②相遇后甲、乙各自继续下山和上山,求当乙到达山顶时,甲与乙的距离是多少千米.
此过程甲、乙所用时间相同,可先求出乙到达山顶所用时间,再代入甲下山DG段的函数解析式,便可求出甲、乙的距离.
计算甲、乙出发多长时间,两人相距1千米?
2.(2022·衡水模拟)一个有进水管与出水管的容器,已知每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始5分钟内只进水不出水,在随后的10分钟内既进水又出水,15分钟后关闭进水管,放空容器中的水.容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分钟)之间的关系如图所示.
(1)填空:进水管的进水速度是 升/分钟;出水管的出水速度是 升/分钟;a的值为 . (2)求出当5≤x≤a时容器中水量y(升)关于x(分钟)的函数解析式.
(3)容器中的水量不低于10升的时长是多少分钟?
3.(2022·石家庄模拟)共享电动车是一种新理念下的交通工具:主要面向3~10 km的出行市场,现有A,B两种品牌的共享电动车,收费与骑行时间之间的函数关系如图所示,其中A品牌收费方式对应y1,B品牌的收费方式对应y2.
(1)A品牌每分钟收费 元;
解析：设y1=k1x,把点(20,4)代入y1=k1x,得k1=0.2.
(2)求B品牌的函数关系式;
(3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20 km/h,小明家到工厂的距离为6 km,那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢?
解：6÷20=0.3(h),0.3 h=18 min,∵18<20,由图象可知,当骑行时间不足20 min时,y1
解：∵当x=20 min时两种收费相同,∴两种收费相差1.2元分20 min前和20 min后两种情况,①当x<20时,离20 min越近,收费相差得越少,当x=10时,y1=0.2×10=2, y2=3, y2-y1=3-2=1,∴要使两种收费相差1.2元, x应小于10,∴y2-y1=3-0.2x=1.2,解得x=9;②当x>20时,0.2x-(0.1x+2)=1.2,解得x =32.∴在9分钟或32分钟,两种收费相差1.2元.
题型 2 一次函数与几何图形的相关问题
1. 核心素养·空间观念 (2022·张家口模拟)如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°.点P从点A出发,沿路线A→B→C→D运动.设点P经过的路程为x,以点A,D,P为顶点的三角形的面积为y,则下列图象能反映y与x的函数关系的是( )
2.(2022·唐山模拟)如图,已知直线l1:y=-2x+4与坐标轴分别交于A,B两点,那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为( )
3.(2022·石家庄桥西区模拟)如图①,直线AB分别与x轴、y轴交于点A(3,0),B(0,4),动点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向点O运动,点P到达点O停止运动,连接AP,设运动时间为t(秒)(t≠0).
(1)求直线AB的函数解析式;
直接利用待定系数法求解即可.
(2)当△AOP∽△BOA时,求t的值;
根据相似三角形的性质“对应边成比例”,即可求出OP的长,从而可求出BP的长,进而即可求出t的值.
(3)如图②,若将△ABP沿AP翻折,点B恰好落在x轴上的点B1处,求t的值和S△ABP.
将△AOP沿AP翻折,使点O恰好落在AB上,求此时点P的坐标.
满分指导本题属于一次函数与几何图形的动点综合题,考查利用待定系数法求函数解析式,坐标与图形变换的关系,利用相似三角形,勾股定理等知识,解决问题.动点问题的关键是将线段、面积等量用t表示,再根据题意列出t的方程,解方程,解决问题.
（2013~2022）
1.(2022·河北25题10分)如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).(1)求AB所在直线的解析式.
(2)某同学设计了一个动画:在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
解：①n=-2m,理由:若有光点P弹出,则c=2,∴点C(2,0),把点C(2,0)代入y=mx+n(m≠0,y≥0)得2m+n=0,∴若有光点P弹出,m,n满足的数量关系为n=-2m.
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
2. 核心素养·应用意识 (2021·河北23题9分)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1号指挥机(看成点P)始终以3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行,2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点O处沿45°仰角爬升,到4 km高的A处便立刻转为水平飞行,再过1 min到达B处开始沿直线BC降落,要求1 min后到达C(10,3)处. [注:(1)及(2)中不必写s的取值范围]
(1)求OA的h关于s的函数解析式,并直接写出2号机的爬升速度;
(2)求BC的h关于s的函数解析式,并预计2号机着陆点的坐标;
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少.
3.(2015·河北23题10分)水平放置的容器内原有210毫米高的水,如图,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4毫米,每放入一个小球水面就上升3毫米,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高度为y毫米.
(1)只放入大球,且个数为x大,求y与x大的函数关系式(不必写出x大的范围).
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x小.①求y与x小的函数关系式(不必写出x小范围);
解：当x大=6时,y=4×6+210=234,∴y=3x小+234;
②限定水面高不超过260毫米,最多能放入几个小球?
4.(2016·河北24题10分)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如表:
已知这个n玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围;
(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?
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