第30讲 图形的相似与位似课件---2024年中考数学一轮复习

这是一份第30讲 图形的相似与位似课件---2024年中考数学一轮复习，共42页。PPT课件主要包含了栏目导航，图形的相似与位似，线段的比，比例的性质，比例中项，黄金分割，基本事实，画位似图形的步骤，成比例，相似比等内容，欢迎下载使用。

教材链接人教:九下第二十七章P23-P59.冀教:九上第二十五章P57-P102.北师:九上第四章P75-P123.
相似三角形的判定及性质
考点 1 比例的相关概念及性质
考点 2 平行线分线段成比例
考点 3 相似三角形的判定及性质
1.定义:三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似三角形的对应角⑤_________; (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)⑥_________； (3)相似三角形的周长比等于⑦_________,面积比等于⑧__________. 
3.判定(1)⑨_________对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且⑩ _______相等,两三角形相似; (3)三边 ______________的两三角形相似; (4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
考点 4 相似多边形
1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似三角形的对应边 _____________; (2)相似三角形的对应角_____________; (3)相似多边形的周长比 __________________,相似多边形的面积比等于_________________. 
1.定义:两个图形,它们不仅相似,而且经过每对对应顶点的直线相交于一点,对应边互相平行(或在同一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形.对应顶点所在直线的交点称为位似中心.这时的相似比又称位似比.2.性质:(1)两个图形是相似图形;(2)对应点的连线经过同一点,这一点为位似中心;(3)对应边互相平行或在同一条直线上;
(4)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,位似比为k,那么位似图形对应点的坐标比等于k或者-k;(5)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 _______. 3.画位似图形的步骤(1)确定位似中心;(2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点;(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.
【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部,也可在图形 外部、边上或顶点上. 
1.已知图(1)(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD交于O点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是(　　)A.只有(1)相似　　B.只有(2)相似 C.都相似 D.都不相似
题型 1 相似三角形的判定与性质
3.如图,在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P(不与点A,C重合),过点P作一条直线,将△ABC分成一个三角形和一个四边形,则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有________条. 
4.某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形的问题时,他们提出了下面两个观点:观点一:将外面大三角形按图(1)的方式向内缩小,得到新三角形,它们对应的边间距都为1,则新三角形与原三角形相似.观点二:将邻边为6和10的矩形按图(2)的方式向内缩小,得到新的矩形,它们对应的边间距都为1,则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题:(1)你认为上述两个观点是否正确?请说明理由; (1)根据相似三角形的判定定理以及相似多边形的定义来判定观点一、二是否正确;
解:观点一正确;观点二不正确.理由:①如图(1),连接DA并延长,交FC的延长线于点O,∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1,∴AB∥DE,AC∥DF,∴∠FDO=∠CAO,∠ODE=∠OAB.
(2)如图(3),已知△ABC,AC=6,BC=8,AB=10,将△ABC按图(3)的方式向外扩张,得到△DEF,它们对应的边间距都为1,求△DEF的面积.
解：如图(3),延长DA,EB交于点O,∵A到DE,DF的距离都为1,∴DA是∠FDE的平分线,同理,EB是∠DEF的平分线,∴点O是△ABC的内心,
(2)首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角,求出△ACB的内切圆半径,再根据相似三角形的性质即可求出△DEF的面积.
若(1)平行四边形、(2)菱形、(3)正方形、(4)正五边形都向外扩张,得到新的图形,它们对应的边间距都为1,则新图形与原图形相似的是________. 
1.(2022·武安模拟)如图,△ABC与△DEF是位似图形,点O为位似中心,已知BO：OE=2：1,则△ABC与△DEF的面积比是(　　)A.2：1 B.3：1 C.4：1 D.5：1
2.(2022·邯郸模拟)如图,在正方形网格中,△ABC和△DEF相似,则关于位似中心与相似比叙述正确的是(　　)A.位似中心是点B,相似比是2：1B.位似中心在点G,H之间,相似比为2：1C.位似中心在点G,H之间,相似比为1：2D.位似中心是点D,相似比是2：1
3.(2022·河北模拟)如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法错误的是(　　)A.△ABC∽ A'B'C'B.点C,O,C'在同一直线上C.AO：AA'=1：2D.AB∥A'B'
4.如图,△ABC与△A ' B ' C '关于点C(-1,0)位似,且相似比为1：3,已知点B的横坐标为a,则点B'的横坐标为(　　)A.3a-1 B.-3a-1 C.-3a+4 D.-3a-4 由B,C 的坐标分析出这两点间的水平距离,利用相似比推出B',C 两点的水平距离,结合C点坐标确定出B'的横坐标.

如图,△ABC,点A(1,0),点B 的横坐标为m,若△A'B'C'与△ABC关于点A位似,且相似比为2：1,符合条件的三角形有_______个,点B'的横坐标为_________________. 
此题考查位似变换,坐标与图形性质,根据相似比定义,利用对应点与位似中心的水平距离之比等于相似比列出方程是解题的关键.
5.如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)以点E为位似中心,在位似中心的同侧画出△EDF的一个位似△ED1F1,使得它与△EDF的相似比为2：1;
解：延长ED到点D1,ED1=2ED,延长EF到点F1,使EF1=2EF,连接D1F1,则△ED1F1为所求,如图.
(3)求△ABC与△ED1F1的面积比.
（2013~2022）
1.(2021·河北8题3分)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB=(　　)A.1 cm　　 B.2 cm　　 C.3 cm　 　D.4 cm
2.(2017·河北7题3分)若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B 的度数相比(　　)A.增加了10% B.减少了10%C.增加了(1+10%) D.没有改变
3.(2016·河北15题2分)如图,△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)
提分要点判断三角形相似:(1)已知一组角相等时,可考虑另一组角是否相等,或分析夹它的两组边是否成比例;(2)已知两组边成比例时,可考虑其夹角是否相等.
4.(2014·河北13题3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.
5.(2022·河北18题3分)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B 的连线与钉点C,D的连线交于点E,则(1)AB 与CD是否垂直?__________(填“是”或“否”); (2)AE =___________.