江西省上高二中2024届高三上学期第五次月考数学试卷(含答案)

这是一份江西省上高二中2024届高三上学期第五次月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．如果复数是纯虚数,,i是虚数单位,则( )
A.且B.C.D.或
3．已知向量，，且，则实数( )
A.B.C.D.
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
5．已知等差数列和前n项和分别为，，若，则( )
A.B.C.D.
6．已知函数，若方程有三个不同的根，，，则( )
A.4B.3C.2D.k
7．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与C分别在第一､二象限交于A，B两点，内切圆半径为r，若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则( )
A.B.C.D.
10．下列说法正确的是( )
A.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
C.若样本数据，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数为20
D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
11．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.为函数图象的一条对称轴
B.函数在上单调递减
C.将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上的最小值为，则m的最大值为
D.在上有2个零点，则实数a的取值范围是
12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数，且，数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.B.数列是递减数列
C.数列是等比数列D.
三、填空题
13．已知，则的值为________.
14．若数列满足，（，），则的最小值是______.
15．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过椭圆C在y轴上的点A与的直线与C交于点B，且B不在线段上，，，则C的离心率为__________.
16．已知正实数x，y满足，则的最小值为________.
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求的大小；
（2）若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.
18．已知（且），设，，…，是首项为4，公差为2的等差数列.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，数列的前n项和为，当时，求.
19．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.
（1）求证：平面；
（2）设线段的中点为Q，求平面与平面所成的锐二面角的大小.
20．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“3”是语文､数学､外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治､历史､地理､物理､化学､生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理､化学､生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理､化学､生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：
（1）从这100名学生中任选2名，求他们选考物理､化学､生物科目数量相等的概率；
（2）从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理､化学､生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的数学期望；
（3）用频率估计概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理､化学､生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“”的概率.
21．已知椭圆C：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线，均过点A，且互相垂直，直线与圆O：交于M，N两点，直线与椭圆C交于另一点B，求面积的最大值.
22．已知函数的图象在处的切线方程为.
（1）求a，b的值及的单调区间.
（2）已知，是否存在实数m，使得曲线恒在直线的上方？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，，所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：由复数是纯虚数,得,解得.
故选：C.
3．答案：A
解析：由，.
因为，所以.
故选:A.
4．答案：B
解析：因为函数可变形为，
函数可变形为，
故把函数的图象向左平移个单位即可得到的图象，
故选：B.
5．答案：C
解析：由等差数列的性质可得：
，，
则，即，
，
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意，因为，所以为奇函数，
由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，
所以的图象关于点对称.
而所表示的直线也关于点对称，
所以方程的三个实根，，中必有一个为1，另外两个关于对称，所以.
故选：B.
7．答案：B
解析：如图，
设，内切圆圆心为I，内切圆在，，上的切点分别为U，V，W，
则，，，
由及双曲线的定义可知，
故，则，
所以，
故四边形是正方形，
得，于是，
故，得，
于是，
在中，由余弦定理可得：
，
从而，.
故选：B.
8．答案：A
解析：令，则，令，则，令，则，令在上单调递增；
上单调递减；
又，，则有且只有两根，分别为0，1.
则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，
等价于方程组有且只有一组实数根.
令，则，
当时，，则此时在上递增，又，，，.
即，则有且只有一组实数根.
当时，方程组有且只有一组实数根，
等价于函数图象与直线，图象有两个交点，
临界情况为两条直线与图象相切.
当与相切，设对应切点为，因，，
则相应切线方程为；
当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.
综上，.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由，可得，，解得，，故A正确，B错误，
，C正确，
，D错误，
故选：AC.
10．答案：AD
解析：对于A，由于，所以第60百分位数为第5位置上的数9，A正确，
对于B，由于，所以，，故，故B错误，
对于C，，，…，的平均数为8，C错误，
对于D，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，D正确，
故选：AD.
11．答案：BC
解析：结合题意：，
化简为：.
对于A选项：令，，解得，易验证不是对称轴，故A错误；
对于B选项：当时，，
结合三角函数的性质可知，在上单调递减，故B正确；
对于C选项：，
因为，所以，
要使在上的最小值为，则，即，故C正确；
对于D选项：由，得，
要使在上有2个零点，则，解得，
故D错误.
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：，所以在点处的切线方程为：，
令0，得，故A正确.
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以，D正确.
故选；ACD.
13．答案：或
解析：因为，即，
所以.
故答案为：.
14．答案：6
解析：由已知，，…，，，
所以，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6，
故答案为：6.
15．答案：
解析：由已知，不妨设，，则.
由椭圆的定义可知.
因为点A在y轴上，，分别为C的左､右焦点，
所以.
由，得，
即，
则，所以，所以.
因为，
所以，
即，
即，
整理可得，，则.
所以.
故答案为：.
16．答案：2
解析：变形为，
则，即，
令，，则恒成立，
则，，单调递增，
又，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为2.
故选：A.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），由正弦定理得，
即，
因为，所以，故，
因为，所以.
（2）因为，，，
所以，
设，，，，
故，令，
解得，
由余弦定理得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意，可得，
即，所以.
所以为定值，又
所以数列是以（且）为公比的等比数列.
（2）.
当时，，
所以，①
，②
①–②，得
，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由已知可得，，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面.
因为平面，所以.
又，，所以.
因为，平面，平面，
所以，平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，取，则.
又平面，所以即为平面的一个法向量.
设平面与平面所成的锐二面角为，
所以，，
所以，，，
所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A，
则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为，数目为2的为，数目为3的有，则.
（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2.
为0时对应概率为（1）中所求概率：；
为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：
；
为2时，1人为1，1人为3：.
则分布列如图所示：
故X的期望为.
（3）所调查的100名学生中物理､化学､生物选考两科目的学生有40名，相应的频率为，则4人中随机1人选考2科的概率为.
又，当时，相应概率为；当时，相应概率为；，相应概率为.
则.
21．答案：（1）椭圆C的标准方程为；
（2）面积的最大值为.
解析：（1）因为经过点，
所以，解得，
因为椭圆的离心率为，
所以，又，
所以，，
故椭圆C的标准方程为.
（2）若直线的斜率为0，则的斜率不存在，
所以的方程为，
直线与椭圆的交点为，与条件矛盾；
由已知当直线的斜率不存在时，的斜率为，
所以的方程为，的方程为，
联立可得，或，
故，
联立，可得或，
所以点B的坐标为，
所以点B到直线的距离为2，
所以的面积为2，
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为.
则直线的方程为.
圆心到直线的距离为.
直线被圆截得的弦长为，
由，消y可得，，
设点B的坐标为，则，故，，
所以点B的坐标为，
所以.
因为，
所以
.
当时，时，上式等号成立.
因为，
所以当直线的方程是时，面积取得最大值，最大值为.
22．答案：（1），，的单调递减区间为，单调递增区间为
（2），理由见解析
解析：（1）因为，所以，
又在处的切线方程为，所以故，
又，所以切线方程为，故，
所以，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），，且.
由曲线恒在直线的上方，知.
当时，等价于，即
设，则.
由（1）可知，当时，单调递增，所以.
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以.
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，所以.
当时，等价于，即
设，由①可知.
由（1）可知，当时，单调递减，所以.
再设，则，
当时，所以在上单调递增，所以.
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，所以.
综上可知，存在实数，使得曲线恒在直线的上方.
选考物理､化学､生物的科目数
1
2
3
人数
10
40
50
X
0
1
2
P