青海省西宁市2024届高三上学期期末联考数学（文）试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市2024届高三上学期期末联考数学（文）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知i为虚数单位,复数z满足,则复数z的虚部为( )
A.B.C.iD.1
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．一个几何体的三视图如图所示,其中正视图,俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等,侧视图中的两条半径互相垂直,若该几何体的体积是,则它的表面积是( )
A.B.C.D.
4．已知的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S,且,则角的值为( )
A.B.C.D.
5．已知是奇函数,则( )
A.2B.C.1D.-2
6．已知向量,,则( )
A.0B.1C.D.2
7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是( )
A.B.C.D.
8．已知函数有三个零点,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
9．江南的周庄,同里,甪直,西塘,鸟镇,南浔古镇,并称为“江南六大古镇”,是中国江南水乡风貌最具代表的城镇,它们以其深邃的历史文化底蕴,清丽婉约的水乡古镇风貌,古朴的吴侬软语民俗风情,在世界上独树一帜,驰名中外.这六大古镇中,其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游,则只选一个苏州古镇的概率为( )
A.B.C.D.
10．已知函数是奇函数,且,将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,所得图象对应的函数为,则( )
A.B.
C.D.
11．圆关于直线对称,则的最小值是( )
A.B.C.D.
12．已知抛物线的焦点为F,准线为l,点A在抛物线C上,且点A到准线l的距离为6,AF的垂直平分线与准线l交于点N,点O为坐标原点,则的面积为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知抛物线经过点,则抛物线的准线方程是________.
14．已知,是第三象限角,则的值为________.
15．已知实数x,y满足不等式组,则的最大值为________.
16．已知一个体积为的球内切于直三棱柱(即与三棱柱的所有面均相切),底面的中有,,则该直三棱柱的外接球(即使所有顶点均落在球面上)的表面积为________.
三、解答题
17．信阳市旅游部门为了促进信阳生态特色城镇和新农村建设,将甲,乙,丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查,得到了这三家民宿的“综合满意度”评分,评分越高表明游客体验越好,现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据,并对所得数据进行整理,描述和分析,下面给出了部分信息.
a.甲,乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图:
b.丙家民宿“综合满意度”评分:
2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1
c.甲,乙,丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数,中位数:
根据以上信息,回答下列问题:
（1）表中m的值是______,n的值是______;
（2）设甲,乙,丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别为,,,试比较其大小.
（3）根据“综合满意度”的评分情况,该平台打算将甲,乙,丙三家民宿中的一家置顶推荐,你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐?说明理由(至少从两个方面说明).
18．已知各项为正数的等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19．正四棱锥中,,,其中O为底面中心,M为PD上靠近P的三等分点.
(1)求证：平面ACP;
(2)求四面体的体积.
20．已知函数,且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求函数的单调区间;
（2）若关于x的不等式恒成立,求实数m的取值范围.
21．已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求椭圆方程;
（2）设不过原点O的直线,与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为,,满足,试问:当k变化时,是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
22．在直角坐标系xOy中,圆的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程是.
（1）在直角坐标系中,若直线l经过点且与圆和圆的公共弦所在直线平行,求直线l的极坐标方程;
（2）若射线与圆的交点为P,与圆的交点为Q,线段PQ的中点为M,求的周长.
23．已知.
（1）求不等式的解集;
（2）在直角坐标系xOy中,求不等式组所确定的平面区域的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,所以,所以,所以复数的虚部为;
故选:B
2．答案：A
解析：因为,,所以.
故选:A.
3．答案：D
解析：由三视图该几何体是球的部分,由该几何体体积为,可得球的半径为1的球的,
如图所示,所以该几何体的表面积为.
故选:D.
4．答案：A
解析：因为,所以,
则,所以,
又,则.
故选:A
5．答案：A
解析：因为函数是奇函数,所以满足,
即,化简为,得,,
此时,函数的定义域为,成立.
故选:A
6．答案：A
解析：.
故选:A
7．答案：D
解析：
设圆的半径为2，如图设与交于P，设的中点为M，连接，.
则，设，则，故，
而题设中空白部分的面积为，
故点落在白色部分的概率是，
故选：D.
8．答案：A
解析：令,则,
由得,或;由得,,
则当或时单调递增;
当时单调递减.
则时取得极大值;时取得极小值.
函数有三个零点,
即函数与直线的图像有3个不同的交点,
则实数m的取值范围是
故选:A
9．答案：B
解析：从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况,
只选一个苏州古镇的概率为.
故选:B
10．答案：A
解析：由是奇函数,则,,又,可得,
当,,则,不合题设;
当,,则,故;
所以,
将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,故.
故选:A
11．答案：C
解析：由圆可得标准方程为,
因为圆关于直线对称,
该直线经过圆心,即,,
,
当且仅当,即时取等号,
故选:C.
12．答案：B
解析：解法一:抛物线的焦点为,准线为,
设,由点A到准线l的距离为6,得,得,
代入抛物线的方程得,所以.
由抛物线的对称性,不妨设,则直线的斜率为,
又A,F的中点坐标为,故AF的垂直平分线的方程为,
令,得,即.
所以的面积为.
故选:B.
解法二:抛物线的焦点为,准线为,
设,由A到准线l的距离为6,得,得,
代入抛物线的方程得,所以.
由抛物线的对称性,不妨设,则直线AF的斜率为,
所以.过点A作l的垂线,垂足为B,则,连接BF,
则,而,所以是等边三角形,于是边AF的垂直平分线过点B,即点B与点N重合,所以的面积为.
故选:B.
13．答案：
解析：由题意得:
抛物线经过点
,解得
准线方程为
故答案为:
14．答案：
解析：由可知,由在第三象限,可知,则,
代入解得,,
则.
故答案为:
15．答案：12
解析：作出实数x,y满足不等式组的可行域,如图(阴影部分),
由,则,由解得点,
作出,平移直线,当直线经过点时,截距最大,
故,即的最大值为.
故答案为:12.
16．答案：
解析：由题知,记内切球半径为,外接球半径为,
内切圆,外接圆半径为r,R,
则,解得,
因为该球内切于一个直三棱柱,
当且仅当球半径与底面三角形内切圆半径相等,
同时棱柱的高恰为球半径的2倍,
所以,;
由题意,设,,
则在中由余弦定理得,
,
,
所以,,
由内切圆半径公式,,
解得,所以,
由正弦定理,,得,
而直三棱柱内接于一个球,
当且仅当两全等的底面位于距球心距离相同且平行的两个小圆上,
显然该两个小圆距球心的距离d应为棱柱高h的一半,
所以平面ABC与球心间的距离,
且其所在小圆的半径即为其本身外接圆的半径,为,
由球的垂径定理,,
所以球的表面积为.
17．答案：（1）,
（2）
（3）答案不唯一,合理即可
解析：（1）甲家民宿“综合满意度”评分:3.2,4.2,5.0,4.5,5.0,4.8,4.5,4.3,5.0,4.5,
,
丙家民宿“综合满意度”评分:2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1,
从小到大排列为:2.6,3.1,3.8,4.5,4.5,4.5,4.5,4.7,4.8,5.
中位数,
（2）根据折线统计图可知,
乙的评分数据在4分与5分之间波动,甲的数据在3.2分和5分之间波动,
根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动,
;
（3）推荐乙,理由:乙的方差最小,数据稳定,平均分比丙高,
答案不唯一,合理即可.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意,设的公差为d,,
因为,,
所以,解得或,
当时,,矛盾,舍去;
当时,,满足题意;
的通项公式为.
（2）由（1）得,
,
故.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）在正四棱锥中O为底面中心,连接AC,BD,
则AC与BD交于点O,且,平面ABCD,平面ABCD,
所以,又,AC,平面ACP,所以平面ACP.
（2）因为,,所以,
又M为PD上靠近P的三等分点,所以,
则.
20．答案：（1）单调递减区间是,单调递增区间是;
（2）.
解析：（1）函数的定义域为,,
又曲线在点处的切线与直线平行
所以,即
,
由且,得,即的单调递减区间是
由得,即的单调递增区间是.
（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立
即恒成立
令,
当时,,在上单调递减.
当时,,在上单调递增.
所以时,函数有最小值
由恒成立
得,即实数m的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）是定值;为定值
解析：（1）根据题意可得:,
解方程组可得,,故椭圆方程为
（2）当k变化时,为定值,证明如下:由,把代入椭圆方程得:;
设,,由二次函数根与系数关系得:
因为直线OP,OQ斜率依次是,,且满足,所以,
该式化为,代入根与系数关系得:,
经检验满足:即为定值
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由圆的参数方程,则,由,则,即①,
由圆的极坐标方程,两边同乘可得,
由,则②,
可得,故圆与圆的公共弦所在直线的方程为,其斜率为2,
由直线l与两圆公共弦所在直线平行,且直线l过,则,
化简可得,由,则.
（2）由射线,由,则射线,
由圆,可得,
代入,则,化简可得,解得,可得;
由圆,可得,
代入,则,化简可得,解得,可得.
由M为线段PQ的中点,则,
故的周长.
23．答案：（1）;
（2）8.
解析：（1）依题意,,
不等式化为:或或,
解,得无解;解,得,解,得,因此,
所以原不等式的解集为:
（2）作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影,
由,解得,由,解得,又,,
所以的面积.
甲
乙
丙
平均数
m
4.5
4.2
中位数
4.5
4.7
n