广西壮族自治区南宁市邕宁区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 点A的坐标是，则点A所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据点的横、纵坐标的符号可得所在象限．
【详解】解：∵A的横坐标的符号为正，纵坐标的符号为负，
∴点第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：．
2. 小静有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形的木框，那她第三木条应该选择的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设第三根木条的长度为，然后根据三角形的三边关系列不等式求x的长度范围，最后根据选项即可解答．
【详解】设第三根木条的长度为，
由题意得：，解得：，
四个选项中只有适合．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可解答．
3. 若直线沿轴平移2个单位得到新的直线，则为（ ）
A. 1或B. 或3C. 2或D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】根据上加下减的原则可知，将直线y=kx+b沿 y 轴平移2个单位得到新的直线y=kx+b2，即直线 y=kx-1，那么b2=-1，即可求出b的值．
【详解】解：根据上加下减的原则可得：
b2=-1
解得：b=1或-3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移和图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律：左加右减，上加下减．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
4. 如图，已知ABCD，∠A=56°，则∠1度数是（ ）
A. 56°B. 124°C. 134°D. 146°
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠A，再根据邻补角的定义求出∠1的度数．
【详解】解：如图，∵ABCD，
∴∠2=∠A=56°，
∴∠1=180°-∠2=180°-56°=124°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．
5. 如图，已知函数的图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性确定有关k的不等式组，求解即可．
【详解】解：由图象可知：y随x的增大而减小，且交与y轴负半轴，
∴
解得：k<0，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题关键．
6. 下列命题中：①如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；②如果两个角互为补角，那么这两个角的和是180°；③两条直线相交，只有一个交点；④有公共顶点的两个角是对顶角．是真命题的有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数的乘法运算，补角的定义，直线的位置关系，对顶角的定义逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①如果ab＞0，那么a＞0，b＞0或，故①是假命题，
②如果两个角互为补角，那么这两个角的和是180°，故②是真命题；
③两条直线相交，只有一个交点，故③是真命题；
④有公共顶点的两个角且角的两边互为反向延长线，是对顶角，故④是假命题
故选B
【点睛】本题考查了判断命题真假，掌握相关定义性质是解题的关键．
7. 下列一次函数中，的值随着的值增大而减小的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一次函数性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
【详解】解：A. ，k=1>0，y的值随着x值的增大而增大；
B. ，k=>0，y的值随着x值的增大而增大；
C. ，k=2>0，y的值随着x值的增大而增大；
D. ，k=-3<0，y的值随着x值的增大而减小；
故选D.
【点睛】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
8. 如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设，根据三角形内角和公式定理，进而表示出，进而根据三角形内角和定理根据即可求解
【详解】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设，
∴
即
故选A
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
9. 函数的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴一次函数经过第一、二、三象限．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图像经过第一、二、三象限；当时，一次函数图像经过第一、三、四象限；当时，一次函数图像经过第一、二、四象限；当时，一次函数图像经过第二、三、四象限是解题的关键．
10. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发．在跑步过程中，甲、乙两人的距离()与乙出发的时间()之间的关系如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的是( )

A. ①②③B. 仅有①②C. 仅有①③D. 仅有②③
【答案】A
【解析】
【分析】通过图象分析以及结合行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度；c的值就是乙到达终点时与甲之间的距离，a表示乙追上甲的时间，b表示乙出发后到甲到达终点的时间．进而求解即可．
【详解】解：由图象可知，甲2秒跑了8米，则甲的速度为：（米/秒)，故
由图象可知，乙用了100秒跑完全程，则乙的速度为：（米/秒），
∴（米），故③正确；
由解得，故①正确；
∵，
∴，故②正确，
故选：A．
【点睛】本题考查函数的图象，理解题意，看懂图象，得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键．
11. 一次函数的图象经过第一、三、四象限，则化简所得的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，是基础知识比较简单，解决此类问题的关键是熟练掌握相关知识．
12. 如图，长方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（2，1），B（-2，1），C（-2，-1），D（2，一1）物体甲和物体乙分别由点P（2，0）同时出发，沿长方形ABCD的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（ ）
A. （2，0）B. （-1，1）C. （-1，-1）D. （2，-1）
【答案】A
【解析】
【分析】利用行程问题中的相遇问题，根据长方形的长为4，宽为2，物体乙的速度是物体甲的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：由题意可知：长方形的长为4，宽为2，
∵物体乙的速度是物体甲的2倍，
∴物体甲与物体乙所走的路程比为1：2，
∴①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×＝4，物体乙行的路程为12×＝8，在AB边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×＝8，物体乙行的路程为12×2×＝16，在CD边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×＝12，物体乙行的路程为12×3×＝24，在P点相遇，此时甲乙回到原出发点，
…
∴每相遇三次，两点回到出发点，
∵2022÷3＝674，
故两个物体运动后的第2022次相遇地点的是第三次相遇地点，即出发点，
此时相遇点的坐标为：（2，0），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 点先向下平移2个单位，再向左平移5个单位，到达点的坐标是______．
【答案】（-2，-4）
【解析】
【分析】由平面直角坐标系中点的平移规律可知，向下平移2个单位，再向左平移5个单位，即纵坐标减2，横坐标减5，据此可写出平移后的点的坐标．
【详解】解：向下平移2个单位即纵坐标减2，，向左平移5个单位即横坐标减5，，所以平移后的点的坐标为（-2，-4）．
故答案为：（-2，-4）．
【点睛】本题考查了坐标系中坐标点的平移规律，横坐标x（右加左减），纵坐标y（上加下减），理解坐标系中点的平移规律是解题的关键．
14. 已知函数是关于x的一次函数，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】由一次函数定义可知x的次数为1，即3-m=1，x的系数不为0，即，然后对计算求解即可．
【详解】解：由题意知
解得（舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数，绝对值方程，解不等式．解题的关键根据一次函数的定义求解参数．
15. 点到轴的距离是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点到轴的距离为点的横坐标的绝对值计算即可．
【详解】解：∵，
∴点到轴的距离是，
故答案为：．
【点睛】考查点到坐标轴的距离．解题的关键是掌握：点到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
16. 已知直线经过第二、三、四象限，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的图象经过第二、三、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵直线的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b<0时函数的图象在二、三、四象限．
17. 已知三角形ABC，且AB=3厘米，BC=2厘米，A、C两点间的距离为x厘米，那么x的取值范围是________．
【答案】1＜x＜5
【解析】
【分析】直接根据三角形三边的关系进行求解即可；
【详解】根据三角形三边关系可得：
AB-BC＜AC＜AB+BC，
∵AB=3，BC=2
∴1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解题意是解题的关键．
18. 如图，已知中，，，、相交于点O．若的面积为30，则四边形的面积为______．
【答案】12.5
【解析】
【分析】连接AO，依据同高三角形的面积等于对应底边的关系，所以根据AE=BE可得：S△ACE=S△BEC，S△AOE=S△BOE，根据AD=2CD可得：S△ABD=S△ABC=20，S△AOD=2S△ODC，设S△COD=x，S△AOE=a，列方程组可得结论．
【详解】解：连接AO，
∵△ABC的面积为30，AE=BE，
∴S△ACE=S△BEC=S△ABC=×30=15，S△AOE=S△BOE，
∵AD=2CD，
∴S△ABD=S△ABC=×30=20，S△AOD=2S△ODC，
设S△COD=x，S△AOE=a，
∴S△BOE=a，S△AOD=2x，
∴，解得：，
∴四边形ADOE的面积=S△AOE+S△AOD=a+2x=7.5+5=12.5．
故答案为：12.5．
【点睛】本题主要考查了三角形面积和三角形中线的性质的运用，解决问题的关键是设S△COD=x，S△AOE=a，结合方程组解决问题．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假．
（1）如果，，那么；
（2）两直线平行，同旁内角互补．
【答案】（1）如果，那么，；假命题
（2）同旁内角互补，两直线平行；真命题
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题的真假，逆命题．逆命题就是将原命题的条件和结论对换位置即可．
（1）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法即可判断逆命题的真假；
（2）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质即可判断逆命题的真假；
小问1详解】
如果，，那么为真命题，
其逆命题为：如果，则，，此逆命题为假命题．
∵如果，则，，或者，．
【小问2详解】
两直线平行，同旁内角互补为真命题，
其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，根据平行线的判定逆命题为真命题．
20. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+2，y0+4），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
【答案】（1）画图见解析，A1（1，2），B1（0，0），C1（-2，3）；（2）
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，从而可得坐标．
（2）利用分割法求解即可．
【详解】解：（1）如图，A1B1C1并写即为所求作，A1（1，2），B1（0，0），C1（-2，3）．
（2）△A1B1C1的面积=3×3-×3×2-×1×2-×1×3=．
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 已知在中，，点在直线上，于点，于点，是的高．
（1）当点在边上时（如图），求证：；
（2）当点在边的延长线上时，试探索、和之间的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，根据题意作出辅助线，构造出三角形，根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键．
（1）如图1，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）如图2，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【小问1详解】
如图1，当点在边上时，连接，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
如图2，连接，
，
，
，
．
22. （1）如图（a），平分，平分．若，则 ．
（2）如图（b），平分，平分外角．若，则______．
（3）如图（c），平分外角，平分外角．试确定和的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，考查了三角形内角和为的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角的和的性质．
（1）根据角平分线性质可得，根据三角形内角和为可得，即可解题；
（2）根据角平分线性质可得，，根据三角形内角和为可得，，即可解题；
（3）根据角平分线性质可得，，根据三角形内角和为可得，即可解题．
【详解】解：（1）平分，平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）平分，平分，
，，
，，，
，
，
，
故答案为：；
（3），理由如下：
平分，平分
，，
，，
，
，
．
23. 如图，过点B（1，0）的直线l1：y1＝kx＋b与直线l2：y2＝2x＋4相交于点P（－1，a）．
（1）求直线l1的解析式．
（2）不等式y1≥y2的解集为____________；（直接写出答案）
（3）求四边形PAOC的面积；
【答案】（1）y=-x+1；（2）x≤-1；（3）
【解析】
【分析】（1）将点P代入l2求得点P坐标，再将点B和点P代入l1即可求解；
（2）观察函数图像可知，在点左侧时，，即可求解；
（3）四边形PAOC的面积为的面积减去的面积，即可求解．
【详解】解：（1）将P（－1，a）代入直线l2：y2＝2x＋4得
，即
再将点和代入直线l1：y1＝kx＋b得
，解得，
直线l1：
（2）根据图像可得：在点左侧时，，此时
（3）将代入直线l1得，即
将代入直线l2得，即，
由（1）得
四边形PAOC的面积
故答案为
【点睛】本题考查了两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的有关性质和利用数形结合的思想是解题的关键．
24. 进入12月以来某些海鱼的价格逐渐上涨，某农贸市场水产商户老王只好在进货数量上做些调整．12月份前两周两种海鱼的价格情况如下表：
（1）老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼，总货款是1700元，若按第二周的价格购进与上周相同数量的鲅鱼和带鱼，则需多花300元，求老王第一周购进鲅鱼和带鱼分别是多少千克；
（2）若第二周将这两种鱼的进货总量减少到120千克，设购进鲅鱼a千克，需要支付的货款为w元，则w与a的函数关系式为_____；
（3）在（2）的条件下，若购进鲅鱼不超过80千克，则第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是多少元？
【答案】（1）老王第一周购进鲅鱼100千克，购进带鱼50千克；（2）w＝﹣10a+2400；（3）第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是1600元．
【解析】
【分析】（1）设老王第一周购进鲅鱼x千克，购进带鱼y千克，根据“总货款是1700元，若按第二周的价格购进与上周相同数量的鲅鱼和带鱼，则需多花300元”列方程组解答即可；
（2）根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式；
（3）根据购进鲅鱼不超过80千克，可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设老王第一周购进鲅鱼x千克，购进带鱼y千克，
根据题意，得，
解得，
答：老王第一周购进鲅鱼100千克，购进带鱼50千克；
（2）由题意，得w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400；
故答案为：w＝﹣10a+2400；
（3）根据题意，得a≤80，由（2）得，w＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝80时，w有最小值，w最小＝﹣10×80+2400＝1600（元），
答：第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是1600元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，熟练一次函数的性质是解题的关键．
25. 学完第11章《平面直角坐标系》和第12章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：如图，在长方形中，，点E为的中点，和相交于点P，求的面积，小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标，根据待定系数法求出直线的表达式，联立求得点P的坐标，从而可求出的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质以及三角形的面积公式．以点B为原点、为x轴、为y轴建立直角坐标系，由此可得出点B、A、C、E的坐标，利用待定系数法即可得出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解∶如图，建立平面直角坐标系，
则点
设直线的表达式为，
把点代入，
得 ，
解得 ，
∴直线的表达式为；
设直线的表达式为，
把点代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为，
联立 ，
解得 ，
∴点，
∴．
26. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”
例如：在中，如果，为“开心三角形”
问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接
（1）如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？
（2）若是“开心三角形”，直接写出的度数
【答案】（1）是“开心三角形”，理由见解析
（2）或或
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键．
（1）利用直角三角形的性质和三角形内角和定理求得，再利用“开心三角形”的定义解答即可；
（2）利用分类讨论的方法，根据“开心三角形”的定义解答即可．
【小问1详解】
解：是“开心三角形”，
理由如下：
，
，
，
，
在中，，
，
为开心三角形”，
在中，，
，
为开心三角形”；
【小问2详解】
解：若是“开心三角形”，由于点是线段上一点（不与，重合），
则或或，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，的度数为或或．
鲅鱼价格
带鱼价格
第一周
8元/千克
18元/千克
第二周
10元/千克
20元/千克