江苏省盐城市射阳县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 在下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，
在，，，中，只有是无理数，
故选：C．
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，如果一个图形绕一个点旋转，能和自身完全重合，则这个图形是中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，两部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
3. 如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D．
考点：简单几何体的三视图．
4. 一组数据2，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求平均数以及中位数，根据，代入数值进行计算得的值，再排序取中间位置的数即为中位数，即可作答．
【详解】解：依题意，得
解得
∴一组数据2，5，5，6，7的中位数是5，
故选：B
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方和同底数幂相乘的运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方和同底数幂相乘的运算法则，准确的计算是解决本题的关键．
6. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示应为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：2200亿．
故选：B．
7. 一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（ ）．
A. 10B. 12C. 16D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】利用多边形的外角和除以外角度数可得边数．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷18°=20，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握多边形的外角和为360°．
8. 公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（ ）
A. 12B. 15C. 18D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正方形性质、反比例函数的图象和性质等知识，设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为，把两点的坐标代入得到，解方程即可得到答案
【详解】解：∵正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，
∴可设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为，
∵反比例函数的图像经过B，C两点，
∴，
则
解得或（不合题意，舍去），
∴，
故选：C
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
9. 若二次根式有意义，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
11. 若，则的值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，将，整体代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是：____（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】真命题
【解析】
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案
【详解】“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是“如果a=b，那么|a|＝|b|．”
“如果a=b，那么|a|＝|b|”是真命题，
故答案为：真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
13. 如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比______．
【答案】
【解析】
【分析】坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为的形式即可．
【详解】∵一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，
∴坡比．
故答案为．
【点睛】本题考查了坡比的求法；坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，熟练掌握坡比的公式并最终化成的形式是解题关键．
14. 如图，点A，，，四点均在上，，，则的度数为____．
【答案】##56度
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：连接，
，，
，
，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
15. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是___________
【答案】2
【解析】
【分析】利用平移的方法将AB进行平移，然后结合平行线的性质，以及勾股定理的逆定理和正切函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，将AB平移至CQ，连接PC，
则AB∥CQ，∠QMB=∠CQP，
由题意，，，，
∵，
∴△PCQ为直角三角形，∠PCQ=90°，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查求角的正切值，掌握正切函数的定义，灵活运用平移的方法和性质构造适当的直角三角形是解题关键．
16. 已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与、的切点为、，取的中点，连接、，根据已知条件证明，得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，进而求解．
【详解】解：设半圆与、的切点为、，
连接、、、，则，，，
所以平分，
，，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
，，
在和中，，，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时，
取得最小值, 最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先化简负整数指数幂，零指数幂，绝对值，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求解两个不等式得解，然后再求得不等式组的解集即可．
【详解】解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组解集为
【点睛】本题考查了不等式组的解法，正确地解每个不等式是解题的关键．
19. 先化简：，再从0，1，2三个数中选一个适当的数作为a的值代入求值．
【答案】，时，原式=2
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，原式．
20. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数学2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷(包含数字2的黑框区域记为A)．
（1）若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是_______．
（2）现在小艾点击了右下角的小方格，出现数字1(包含数字1的黑框区域记为B)，轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由．
（3）若小林和小艾均在B区域各点击一次，则两人均安全的概率有多大？
【答案】（1）
（2）应该选择区域A，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查概率：
（1）根据概率公式计算出概率即可；
（2）根据概率公式分别计算出两个区域踩雷的概率，然后得出结论即可；
（3）区域B内3个方块中埋藏着1颗地雷，两个安全，列树状图解答即可．
【小问1详解】
解：∵区域A内8个方块中埋藏着2颗地雷，
∴有6个方块没有地雷，
∴未踩中地雷的概率是：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）知，区域A未踩中地雷的概率是，
∵区域B的3个方块中埋着1颗地雷，有2个方块没有地雷，
∴区域B未踩中地雷的概率是：，
∵，
∴从安全的角度考虑，他应该选择区域A；
【小问3详解】
解：区域B内3个方块中埋藏着1颗地雷，两个安全，列树状图如下：
共有6种可能的结果，两人均安全可能有2种，
∴两人均安全的概率为：．
21. 国家航天局消息：北京时间2022年4月13日，搭载翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，圆满完成本次航天任务．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为：不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图
（1）此次调查中接受调查的人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”、“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）920人
【解析】
【分析】（1）从统计图中可以得到不关注、关注、比较关注的共有34人，占调查人数的68%，可求出调查人数；
（2）接受调查的人数乘以非常关注的百分比即可得到非常关注的人数，即可补全统计图；
（3）利用样本估计总体的思想，用样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”的占比乘以该校人数900人即可求解．
【小问1详解】
解：（1）不关注、关注、比较关注的共有（人），
占调查人数的，
∴此次调查中接受调查的人数为（人），
故答案为：50；
【小问2详解】
解：“非常关注”的人数是： （人），
补全统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有920人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
22. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD且交BC于点E，连接DE，CE＝3，BE＝4，DE＝5．
（1）求证：四边形 ABCD是矩形；
（2）连接BD交AE于点F，求△ADF的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由AE平分∠BAD得到∠BAE＝∠DAE，进一步证得△ABE为等腰三角形，得到AB＝BE＝4，利用平行四边形的性质得到AB＝CD＝4，利用勾股定理的逆定理证明△DCE是直角三角形，结论得证；
（2）利用矩形的性质，证得△ADF∽△EBF，得到，再求得△ABD的面积，进而求得△ADF的面积．
【小问1详解】
证明：∵ AE 平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB＝∠DAE
∴∠AEB＝∠BAE
∴△ABE为等腰三角形
∴AB＝BE＝4
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD＝4
在△DCE中，DE＝5，CE＝3，CD＝4
∵
∴△DCE是直角三角形，
∴∠BCD＝90°
∴四边形ABCD是矩形
【小问2详解】
解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AD＝BC＝BE＋CE＝7，∠BAD＝90°
∴∠DAF＝∠BEF，∠ADF＝∠EBF
∴△ADF∽△EBF
∴
∴∶＝7∶4
∵，＋＝
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质等知识，有一定的综合性，证明△DCE是直角三角形是解题的关键．
23. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”，小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的连杆，的连接点在上，当点在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．当与相切时，点B恰好落在上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证∶；
（2）若的半径为10，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、勾股定理及解直角三角形，熟练掌握相关知识点，会添加合适的辅助线以及等理代换是解题的关键．
（1）连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换求解即可；
（2）作出相关辅助线，构造，再利用同角的三角函数值相等求出，的长，最后根据直角三角形勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：证明：连接，

∵是的切线，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点P作，垂足为，

中，，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∴，
∴，，，
在中，
．
24. 如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯，测量人员从点处测得吊灯顶端的仰角为，吊灯底端的仰角为，从点沿水平方向前进6米到达点，测得吊灯底端的仰角为，求吊灯的长度．(结果保留根号， 参考数据：，，）

【答案】
【解析】
【分析】延长与的延长线交于点，在、中，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解，
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线，根据锐角三角函数求出边长．
【详解】解：延长与的延长线交于点，

，，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
25. 某体育用品商场了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如表∶
（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的数据，在图中的平面直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，试求p与x的函数关系式；
（2）如果这种运动服的进价为每件50元，试求当卖出价格x（元/件）为多少时，该商城的销售利润y（元）达到最大，最大利润为多少？
【答案】（1）图象见解析，与的函数关系式为
（2）当卖出价为每件80元时，能获得最大利润，最大利润为9000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用．关键是根据图象判断一次函数，根据利润的计算方法得出二次函数关系式，利用二次函数的性质解题．
（1）根据表格依次描点、连线，根据图象判断与的函数关系式；
（2）根据（1）的表格求出与的函数关系式，根据利润（卖出价格每件元买入价为每件50元）销售量，列出函数式，根据二次函数的性质求最大利润．
【小问1详解】
解：描点、连线如图所示，可判断与满足一次函数关系式：
设与的函数关系式为，将，代入，
得，解得：，
∴与的函数关系式为；
【小问2详解】
销售利润为元，
则，
∵，抛物线开口向下，当时，有最大值为9000，
∴当卖出价为每件80元时，能获得最大利润，最大利润为9000元．
26. 某研究学习小组在学习《简单的图形设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为_______；
探究二：如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，则“等补四边形”的面积为_______ ．
由以上探究可知，对于一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积，那么如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定的角度，使与重合，得到，点C的对应点为，
I．由旋转得：_______，因为，所以，即、B、C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即，
Ⅱ．如图7，在中，作于点H，若， ，试求出“等补四边形”的面积（用含有m，n的代数式表示），并说明理由．
探究四：以上是图7中的“等补四边形”的四个条件：①，②，③，④，请你从中选择不超过3个条件（不能有多余条件），并用所选择的条件计算图7中“等补四边形”的面积．选择的条件是：_______；_______（写出两种不同组合，只填序号），“等补四边形”的面积为
_______．
【答案】探究一：；探究二：；探究三：，；探究四：①②③；③④，60
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题关键是理解题目，结合所学知识点进行求解．
探究一：计算出直角梯形的面积，由旋转的性质可得，“等补四边形”的面积为直角梯形面积的一半；
探究二：由旋转的性质即可得出，“等补四边形”的面积为等边三角形面积的，计算出等边三角形的面积即可求得答案；
探究三：由旋转的性质即可得出，，“等补四边形”的面积等于等腰的面积，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式即可求得的面积；
探究四：根据上述分析和已知条件，结合勾股定理和等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：探究一：如图，
将“等补四边形”烧点A顺时针旋转得到“等补四边形”四边形，可以形成一个直角梯形，
则，，
∴直角梯形的面积
，
∴“等补四边形”的面积直角梯形的面积；
故答案为：；
探究二：由题可知，等边三角形的边长为，
点C绕点A顺时针旋转得到 ,再旋转一次得到，
过点作垂足为E，
∵为等边三角形，，
∴
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积，
故答案为：；
探究三：由旋转的性质得，,
∵，，
∴，
∴，
又∵，且
∴，
故答案为：；
探究四：
选择的条件是：③；④，
在中，，
结合探究三得， ;
选择的条件是：①；②；③；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：①②③；③④，60．
27. 已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标；
（3）点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值；
（4）在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或或
（3）
（4）存在，或
【解析】
【分析】（1）把，代入，即可得到抛物线的函数表达式；
（2）设点Q的坐标为，，分对角线是；对角线是；对角线是，利用平行四边形的性质求出点N的坐标；
（3）过点A作，交y轴于点G，求出直线和直线的解析式，设点D的坐标为，点F的坐标为，表示线段的长度，证明，表示出的解析式，根据二次函数的性质求出最值；
（4）分和两种情况，求出点M的坐标，得到直线的解析式，联立二次函数解析式得到点P的坐标．
【小问1详解】
解：把，代入，得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵，得抛物线对称轴为直线，
设点Q的坐标为，，
①若对角线是，
由平行四边形的性质可得与互相平分，
则，即，
解得，
∴点N的坐标为，
②若对角线是，
由平行四边形的性质可得互相平分，
则，即，
解得，
∴点 N的坐标为，
③若对角线是，
由平行四边形的性质可得互相平分，
则，即，
解得，
∴点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或或；
【小问3详解】
解：过点A作，交y轴于点G，
把代入，得，
解得，
∴点A的坐标为，点C的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标为，点F的坐标为，
∵点D为直线下方抛物线上一动点，
∴，
由，设直线的解析式为，
把代入，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴点G的坐标为，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即，
得，
当时，取得最大值，最大值为；
【小问4详解】
解：①若△ABM∽△ACB，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，（点B的坐标，舍去），
∴点P的坐标为；
②若，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得，（点B的坐标，舍去），
∴点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为，．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求最值，本题的关键是利用分类讨论思想解题．卖出价格（元/件）
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