人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动1 圆周运动优质学案设计

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[学习目标] 1.理解并掌握线速度的定义式及其物理意义(重点)。2.掌握角速度的定义式、单位，理解其物理意义(重点)。3.知道匀速圆周运动的特点及周期、转速的概念。4.掌握圆周运动各物理量之间的关系(重难点)。
一、描述圆周运动的物理量
如图所示，月球绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可看成圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月球的“对话”。
地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km。
月球说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你转一圈，到底谁转得慢？
请问：地球说得对，还是月球说得对？
答案 地球和月球的说法都是片面的，它们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同。严格来说地球绕太阳运动的线速度比月球绕地球运动的线速度大，而月球绕地球运动的角速度比地球绕太阳运动的角速度大。
1．线速度
(1)定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δs，则Δs与Δt的比值叫作线速度。
(2)公式：v＝eq \f(Δs,Δt)。
(3)单位：m/s
(4)物理意义：描述物体沿圆周运动的快慢。
(5)方向：物体做圆周运动时该点的切线方向。
2．角速度
(1)定义：连接物体与圆心的半径转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度。
(2)公式：ω＝eq \f(Δθ,Δt)。
(3)单位：弧度每秒，符号是rad/s，在运算中角速度的单位可以写为s－1。
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
3．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
4．周期
(1)周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间。
(2)单位：与时间的单位相同。
5．转速
(1)转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n表示。
(2)单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
匀速圆周运动中的“匀速”指速度不变吗？
答案 不是。做匀速圆周运动的物体只是线速度大小不变，方向在不断变化。所以“匀速”仅仅指速率不变。“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”。匀速圆周运动是变速曲线运动。
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。( × )
(2)物体做匀速圆周运动时在相等的时间内转过的角度相等。( √ )
(3)物体转动的周期越短，转动得就越快。( √ )
(4)转速越大，说明物体转动得越快。( √ )
(5)圆周运动线速度公式v＝eq \f(Δs,Δt)中的Δs表示位移。( × )
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。( × )
例1 (2022·泉州市高一期末)如图，做匀速圆周运动的质点在2 s内由A点运动到B点，AB弧长为4 m，所对的圆心角θ为eq \f(π,3)，该质点的线速度大小为________m/s，角速度大小为________rad/s。
答案 2 eq \f(π,6)
解析 根据线速度定义式v＝eq \f(Δs,Δt)
解得该质点的线速度大小为v＝eq \f(4,2) m/s＝2 m/s
根据角速度定义式ω＝eq \f(Δθ,Δt)
解得该质点的角速度大小为ω＝eq \f(\f(π,3),2) rad/s＝eq \f(π,6) rad/s。
二、描述圆周运动的物理量之间的关系
如图，设质点做圆周运动的半径为r，由A运动到B的时间为Δt， SKIPIF 1 < 0 的长度为Δs， SKIPIF 1 < 0 对应的圆心角为Δθ，那么该质点做圆周运动的线速度和角速度存在什么关系呢？
答案 由于v＝eq \f(Δs,Δt)，ω＝eq \f(Δθ,Δt)，当Δθ以弧度为单位时，Δθ＝eq \f(Δs,r)，由此可得v＝ωr。
1．线速度与角速度的关系式：v＝ωr。
(1)当v一定时，ω与r成反比；
(2)当ω一定时，v与r成正比。
2．线速度与周期、转速的关系式：v＝eq \f(2πr,T)＝2πrn。(n的单位为r/s)
3．角速度与周期、转速的关系式：ω＝eq \f(2π,T)＝2πn。 (n的单位为r/s)
(1)两物体做匀速圆周运动的周期相同，则角速度大小及转速都相同。( √ )
(2)当半径一定时，线速度与角速度成正比。( √ )
(3)线速度越大，角速度也越大。( × )
(4)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。( √ )
(5)因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比。( √ )
例2 (2022·烟台市高一期末)如图为在短道速滑比赛中运动员过弯道情景。假定两位运动员在过弯道时保持各自的速率恒定，一位运动员在内道角速度为ω1，线速度大小为v1；另一位运动员在外道角速度为ω2，线速度大小为v2，他们同时进入弯道同时出弯道，则他们的角速度与线速度大小的关系为( )
A．ω1＝ω2，v1ω2，v1C．ω1<ω2，v1＝v2 D．ω1<ω2，v1答案 A
解析 两位运动员过弯道时，同时进入弯道同时出弯道，故两位运动员绕弯道运动的角速度相同，由于外道的运动员的轨道半径较大，由v＝ωr知外道运动员的线速度较大，即ω1＝ω2，v1例3 (多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比为ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A．它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
答案 BC
解析 A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比为ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝eq \f(Δθ,Δt)得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝eq \f(1,T)，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误。
例4 (2023·济宁市高一期中)某飞机在空中等待降落时，近似以80 m/s的速率做匀速圆周运动，圆周半径为4 000 m。计算飞机运动的周期和角速度的大小。
答案 100π s 0.02 rad/s
解析 飞机运动的周期为T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2π×4 000,80) s＝100π s
飞机运动的角速度为ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(80,4 000) rad/s＝0.02 rad/s。
课时对点练
考点一 描述圆周运动的物理量
1.如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中( )
A．笔尖的速率不变
B．笔尖做的是匀速运动
C．任意相等时间内笔尖通过的位移相同
D．相同时间内笔尖转过的角度不同
答案 A
解析 由线速度的定义知，匀速圆周运动的线速度大小不变，也就是速率不变，但速度的方向时刻改变，故A正确，B错误；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的位移大小相等，但位移还要考虑方向，C错误；相同时间内笔尖转过的角度相同，D错误。
考点二 描述圆周运动各物理量之间的关系
2.(2022·徐州市高一期末)如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈跑道匀速跑过一侧弯道的时间为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时( )
A．角速度为eq \f(π,6) rad/s B．线速度大小为3 m/s
C．转速为eq \f(1,12) r/s D．转速为eq \f(1,24) r/s
答案 D
解析 由题意知，绕半圆形跑道的时间为12 s，该同学在沿弯道跑步时角速度为ω＝eq \f(π,12) rad/s，故A错误；根据v＝ωr可得线速度大小为v＝3π m/s，故B错误；根据n＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)，得转速为n＝eq \f(1,24) r/s，故C错误，D正确。
3．(2022·宁波市北仑中学期中)在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6 m。下列说法正确的是( )
A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向
B．P位置飞出的小水珠初速度沿1方向
C．杯子在旋转时的角速度为eq \f(7π,6) rad/s
D．杯子在旋转时的线速度大小约为eq \f(7π,5) m/s
答案 D
解析 由题图乙中的轨迹可知，杯子的旋转方向为逆时针方向，P位置飞出的小水珠初速度沿2方向，故A、B错误；杯子旋转的角速度为ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(\f(7,6)π,0.5) rad/s＝eq \f(7π,3) rad/s，故C错误；杯子旋转的轨迹半径约为0.6 m，则线速度大小约为v＝ωR＝eq \f(7π,3)×0.6 m/s＝eq \f(7π,5) m/s，故D正确。
4．(2022·桐庐市分水高级中学期中)图甲是一款感应垃圾桶。手或垃圾靠近其感应区，桶盖会自动绕O点水平打开，如图乙所示。桶盖打开过程中其上A、B两点的角速度分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB C．vA＞vB D．vA＜vB
答案 D
解析 桶盖上的A、B两点同时绕着O点转动，则角速度相等，即ωA＝ωB；根据v＝ωr，又有rB>rA，则vB>vA，故A、B、C错误，D正确。
5．(2022·朝阳市高一月考)从圆周运动的角度分析机械钟表，下列说法正确的是( )
A．秒针转动的周期最长
B．时针转动的角速度最小
C．秒针转动的角速度最小
D．分针的角速度为eq \f(π,30) rad/s
答案 B
解析 秒针、分针、时针转动的周期分别为T秒＝60 s，T分＝1 h＝3 600 s，T时＝12 h＝12×3 600 s＝43 200 s，可知秒针转动的周期最短，A错误；秒针、分针、时针转动的角速度分别为ω秒＝eq \f(2π,T秒)＝eq \f(π,30) rad/s，ω分＝eq \f(2π,T分)＝eq \f(π,1 800) rad/s，ω时＝eq \f(2π,T时)＝eq \f(π,21 600) rad/s，
可知时针转动的角速度最小，秒针转动的角速度最大，B正确，C、D错误。
6．(多选)如图所示，在冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在将双臂逐渐放下的过程中，演员转动的速度会逐渐变快，则演员肩上某点随之转动的( )
A．转速变大 B．周期变大
C．角速度变大 D．线速度变大
答案 ACD
解析 转动的速度变快，即转速变大，故角速度变大，周期变小，肩上某点距其转动圆心的半径r不变，因此线速度也变大，故选A、C、D。
7.(2022·衢州市乐成中学高一期中)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为2∶3
B．角速度之比为3∶4
C．做圆周运动的半径之比为2∶1
D．周期之比为2∶3
答案 D
解析 根据线速度定义式v＝eq \f(Δs,Δt)，已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，则线速度大小之比为4∶3，故A错误；根据角速度定义式ω＝eq \f(Δθ,Δt)，相同时间内它们转过的角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据公式v＝rω，可得圆周运动半径r＝eq \f(v,ω)，线速度大小之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则圆周运动的半径之比为8∶9，故C错误；根据T＝eq \f(2π,ω)得，周期之比为2∶3，故D正确。
8．(2022·罗平县第二中学月考)小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放置一块8英寸(直径20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘每隔4 s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油。下列说法正确的是( )
A．圆盘转动的转速为2π r/min
B．圆盘转动的角速度大小为eq \f(π,30) rad/s
C．蛋糕边缘的线速度大小为eq \f(π,3) m/s
D．蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度为0
答案 B
解析 由题意可知，圆盘转动的周期为T＝15×4 s＝60 s＝1 min，则圆盘转动的转速为1 r/min，A错误；圆盘转动的角速度为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,60) rad/s＝eq \f(π,30) rad/s，B正确；蛋糕边缘的线速度大小为v＝rω＝0.1×eq \f(π,30) m/s＝eq \f(π,300) m/s，C错误；蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度约为eq \x\t(v)＝eq \f(2r,\f(T,2))＝eq \f(0.2,30) m/s＝eq \f(1,150) m/s，故D错误。
9.(2023·河北师范大学附属中学期中)诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，指的是在地球赤道上的人随地球一昼夜运行路程大约为8万里，如图所示，假设地球是半径为R＝6.4×106 m的球体，山西省太原市位于北纬37°，则太原市市民随地球自转的线速度大约为(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)( )
A．391 m/s B．382 m/s C．372 m/s D．351 m/s
答案 C
解析 地球自转角速度ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,24 h)，太原市市民随地球自转的线速度大小
v＝ωRcs 37°≈372 m/s，故选C。
10．(2022·巴中市高一期末)在学校可以看到一种现象，有同学不由自主的转动自己手中的笔。同学的转笔过程可以视为圆周运动，转笔过程示意图如图，假设笔的长度为L，圆周运动的圆心为O，当笔尖M的线速度大小为v1，笔帽N的线速度大小为v2时，则圆心O到笔尖M的距离为( )
A.eq \f(v1＋v2L,v2) B.eq \f(v1＋v2L,v1)
C.eq \f(v1L,v1＋v2) D.eq \f(v2L,v1＋v2)
答案 C
解析 设圆心O到笔尖M的距离为r1，圆心O到笔帽N的距离为r2，则有r1＋r2＝L，笔尖M与笔帽N的角速度相等，则有eq \f(v1,r1)＝eq \f(v2,r2)，联立解得r1＝eq \f(v1L,v1＋v2)，C正确，A、B、D错误。
11．(2022·山东师范大学附中高一期中)2022年2月19日，2022年北京冬奥会花样滑冰双人滑自由滑比赛在首都体育馆举行，中国选手夺得冠军。如图所示是模拟男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动的示意图，若男运动员的转速为45 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为6 m/s。
(1)求女运动员做圆周运动的角速度ω；
(2)求女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)若他们手拉手绕他们连线上的某点做匀速圆周运动，已知男、女运动员触地冰鞋的线速度大小分别为3.5 m/s和4.9 m/s，则男、女运动员做圆周运动的半径之比为多少？
答案 (1)1.5π rad/s (2)eq \f(4,π) m (3)eq \f(5,7)
解析 (1)两人的角速度相同，转速相同，根据角速度与转速关系可得
ω＝2πn＝2π×eq \f(45,60) rad/s＝1.5π rad/s
(2)由公式v＝ωr
可得女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径为
r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(6,1.5π) m＝eq \f(4,π) m
(3)他们的角速度相同，设男运动员做圆周运动的半径为r1，女运动员做圆周运动的半径为r2，根据v＝ωr
可得男、女运动员做圆周运动的半径之比为
eq \f(r1,r2)＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(3.5,4.9)＝eq \f(5,7)。
12.(2023·广州市高一校联考)现将一把雨伞撑开后置于图中所示的位置，已知伞面边缘点所在圆形的半径为R，其边缘距离地面的高度为h。现将雨伞绕竖直伞柄以角速度ω匀速转动，其边缘上的水滴落到地面，形成一个半径较大的圆形，空气阻力忽略不计，当地重力加速度为g。请根据已知条件求下列物理量：
(1)雨滴飞行的水平位移大小；
(2)雨滴着地时的速度大小；
(3)雨滴在地面上形成圆的周长是多少。
答案 (1)ωReq \r(\f(2h,g)) (2)eq \r(ω2R2＋2gh) (3)2πReq \r(1＋\f(2ω2h,g))
解析 (1)根据题意可知，雨滴抛出时的速度大小为v0＝ωR
竖直方向，根据h＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2h,g))
雨滴飞行的水平位移大小x＝v0t＝ωReq \r(\f(2h,g))
(2)雨滴着地时竖直方向速度vy＝gt＝eq \r(2gh)
则雨滴着地时速度v＝eq \r(v02＋vy2)＝eq \r(ω2R2＋2gh)
(3)雨滴在地面上形成圆的半径为r＝eq \r(R2＋x2)＝Req \r(1＋\f(2ω2h,g))
雨滴在地面上形成圆的周长s＝2πr＝2πReq \r(1＋\f(2ω2h,g))。