物理必修 第二册3 万有引力理论的成就精品导学案及答案

这是一份物理必修 第二册3 万有引力理论的成就精品导学案及答案，共9页。

一、天体质量的计算
1．卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球重量的人”。
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义。
(2)由mg＝Geq \f(Mm,R2)得，M＝eq \f(gR2,G)。
2．如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？
答案 由eq \f(Gm地m太,r2)＝m地eq \f(4π2,T2)r知m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，可以求出太阳的质量。
计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq \f(gR2,G)。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2．“卫星”环绕法
已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
1．上面两种求中心天体质量的方法：M＝eq \f(gR2,G)和M＝eq \f(4π2r3,GT2)，“R”与“r”有何区别？
答案 在M＝eq \f(gR2,G)中，R为中心天体半径；在M＝eq \f(4π2r3,GT2)中，r为轨道半径，两种方法中的M若为同一天体，r＝R＋h。当环绕法选择近地卫星时，r＝R。
2．用“卫星”环绕法，根据环绕卫星的周期和轨道半径，能测出卫星的质量吗？
答案 不能。只能测出被环绕的中心天体的质量M，而不能测出卫星质量m。
例1 (2022·张家口市宣化一中高一期中)天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列正确的是( )
A．M＝eq \f(gR2,G) B．M＝eq \f(GR2,g)
C．M＝eq \f(4π2R3,GT2) D．M＝eq \f(T2R3,4π2G)
答案 A
解析 在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有Geq \f(Mm,R2)＝mg，可得月球的质量为M＝eq \f(gR2,G)，故A正确，B错误；月球绕地球做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得eq \f(GM地M,r2)＝Meq \f(4π2,T2)r，r表示月球绕地球运转的轨道半径，可得地球的质量M地＝eq \f(4π2r3,GT2)，无法求月球质量，故C、D错误。
例2 “天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
(1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小。
答案 (1)eq \f(2πr,T) (2)eq \f(4π2r3,GT2) (3)eq \f(4π2r3,T2R2)
解析 (1)由题意可得v＝eq \f(2πr,T)
(2)设“天问一号”的质量为m，由万有引力提供向心力有Geq \f(mM,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)
(3)忽略火星自转，火星表面质量为m′的物体所受引力等于重力，有m′g＝eq \f(Gm′M,R2)，得g＝eq \f(4π2r3,T2R2)。
二、天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
(1)将M＝eq \f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq \f(3g,4πGR)。
(2)将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2)。
例3 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案 (1)eq \f(3πR＋h3,GT12R3) (2)eq \f(3π,GT22)
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T12)(R＋h)，可得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT12)
天体的体积为V＝eq \f(4,3)πR3
故该天体的密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R＋h3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πR＋h3,GT12R3)
(2)卫星贴近天体表面运动时有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T22)R，可得M＝eq \f(4π2R3,GT22)，故ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22)。
例4 (2022·重庆八中高一月考)假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得其表面的重力加速度与地球上的相同，行星半径只有地球半径的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为( )
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
答案 A
解析 设行星的质量为M，行星的半径为R，行星的平均密度为ρ，行星表面的重力加速度为g，根据物体在行星表面受到的重力等于万有引力可得eq \f(GMm,R2)＝mg，又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，联立可得ρ＝eq \f(3g,4πGR)。由于该类地行星表面的重力加速度与地球上的相同，则其平均密度和地球的平均密度之比为eq \f(ρ行,ρ地)＝eq \f(R地,R行)＝eq \f(2,1)，故选A。
三、发现未知天体 预言哈雷彗星回归
在18世纪，人们发现了天王星后，发现天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出的结果总有一些偏差。天王星的轨道偏差是天文观测数据不准确？是万有引力定律的准确性有问题？还是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
答案 在天王星轨道外还有一颗未发现的新星——海王星。
1．英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料， 利用万有引力定律计算出海王星的轨道。
2．使用“计算、预测和观察”的方法，近100年来，人们发现 了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．英国天文学家哈雷计算了哈雷彗星的周期约为76年，并成功预言了其回归的时间。
4．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
例5 (多选)(2022·东北师大附中高一月考)万有引力理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。下列说法正确的是( )
A．卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”
B．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
C．牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
D．天王星被称为“笔尖上发现的行星”
答案 ABC
解析 卡文迪什用实验的方法测出引力常量G，从而可以算出地球的质量，因此卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”，A正确；英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了哈雷彗星的回归时间，B正确；牛顿利用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象，C正确；“笔尖上发现的行星”是海王星，D错误。
课时对点练
考点一 天体质量的计算
1．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
答案 D
解析 根据万有引力提供核心舱做匀速圆周运动的向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(ω2r3,G)＝eq \f(4π2r3,GT2)，则已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期或已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可计算出地球的质量，故选D。
2．(2022·永城高中高一期末)一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
答案 B
解析 在天体表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，所以M＝eq \f(gR2,G)，因为星球半径和地球半径相同，所以可得该星球质量是地球质量的2倍。故选B。
3．(2023·嘉兴市高一校考)2022年7月18日，阿联酋宣布将设立总额约合8.2亿美元的专项基金，用于开发卫星并资助太空计划。计划将在三年内首次发射卫星并探索金星。如果金星的公转周期为T，轨道半径为r，自转周期为T′，半径为R，引力常量为G，则( )
A．金星质量为eq \f(4π2R3,GT′2) B．金星质量为eq \f(4π2r3,GT′2)
C．太阳质量为eq \f(4π2r3,GT2) D．太阳质量为eq \f(4π2R3,GT2)
答案 C
解析 根据题目条件无法求出金星的质量，A、B错误；因为金星绕太阳公转，则由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，可得太阳的质量为M＝eq \f(4π2r3,GT2)，C正确，D错误。
4．(2023·玉溪第三中学开学考试)2022年11月27日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小为v，角速度为ω，引力常量为G，则地球的质量为( )
A.eq \f(v3,Gω) B.eq \f(v2,Gω) C.eq \f(v3,Gω2) D.eq \f(v2,Gω2)
答案 A
解析 卫星做圆周运动的轨道半径r＝eq \f(v,ω)，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，联立解得M＝eq \f(v3,Gω)，故选A。
5．土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
答案 B
解析 由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，则M＝eq \f(4π2r3,GT2)，代入数据得M≈5×1026 kg，故选B。
考点二 天体密度的计算
6．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A.eq \f(3g,4πRG) B.eq \f(3g,4πR2G) C.eq \f(g,RG) D.eq \f(g,RG2)
答案 A
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，又V＝eq \f(4,3)πR3，可得地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3g,4πRG)，故选A。
7．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A.eq \r(\f(3π,Gρ)) B.eq \r(\f(4π,Gρ)) C.eq \r(\f(1,3πGρ)) D.eq \r(\f(1,4πGρ))
答案 A
解析 根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，由以上两式可得：T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，故选A。
8．中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为h，运行周期为T，地球半径为R，引力常量为G，由此可得到地球的平均密度为( )
A.eq \f(3π,GT2) B.eq \f(4π,GT2)
C.eq \f(3πR＋h3,GT2R3) D.eq \f(3π2R－h3,GT2R3)
答案 C
解析 中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,R＋h2)＝m(eq \f(2π,T))2(R＋h)，可求得地球的质量M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，地球可近似看作球体，根据密度的定义式得ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(4π2R＋h3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)，故选C。
9.如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则月球的质量是( )
A.eq \f(l3,Gθ3t) B.eq \f(θ3,Gl2t) C.eq \f(l3,Gθt2) D.eq \f(t2,Gθl3)
答案 C
解析 因为每经过时间t通过的弧长为l，故“嫦娥三号”的线速度大小为v＝eq \f(l,t)，角速度为ω＝eq \f(θ,t)，“嫦娥三号”的运行半径为R＝eq \f(v,ω)＝eq \f(l,θ)，设月球质量为M，根据万有引力定律及牛顿第二定律得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，则月球的质量M＝eq \f(Rv2,G)＝eq \f(l3,Gθt2)，选项C正确。
10．(多选)(2023·大庆实验中学高一校考)航天员在星球A表面将一小钢球以某一初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升的最大高度为h，小钢球从抛出到落回星球表面的时间为t，不计空气阻力，忽略该星球的自转，已知星球A的半径为R(R远大于h)，星球A为密度均匀的球体，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．星球A表面的重力加速度为eq \f(2h,t2)
B．星球A表面的重力加速度为eq \f(8h,t2)
C．星球A的密度为eq \f(3h,2πGt2R)
D．星球A的密度为eq \f(6h,πGt2R)
答案 BD
解析 设星球A表面的重力加速度为g，则有h＝eq \f(1,2)g(eq \f(t,2))2，解得g＝eq \f(8h,t2)，故A错误，B正确；钢球在星球表面受到的万有引力等于重力，则有eq \f(GMm,R2)＝mg，又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，联立解得星球A的密度为ρ＝eq \f(6h,πGt2R)，故C错误，D正确。
11．(多选)(2022·重庆卷)我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的eq \f(17,16)倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则( )
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为eq \f(17πR,8T)
C．地球的平均密度约为eq \f(3π,GT2)(eq \f(16,17))3
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的(eq \f(16,17))2倍
答案 BD
解析 漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供其做匀速圆周运动的向心力而处于完全失重状态，故A错误；根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为v＝eq \f(2π\f(17,16)R,T)＝eq \f(17πR,8T)，故B正确；设空间站的质量为m，其所受万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,\f(17,16)R2)＝m(eq \f(2π,T))2(eq \f(17,16)R)，则地球的平均密度约为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝(eq \f(17,16))3eq \f(3π,GT2)，故C错误；根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,\f(17,16)R2)＝ma，则空间站绕地球运动的向心加速度大小为a＝eq \f(GM,\f(17,16)R2)，地面的重力加速度为g＝eq \f(GM,R2)，可得eq \f(a,g)＝(eq \f(16,17))2，即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的(eq \f(16,17))2倍，故D正确。
12．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ。
答案 (1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2h,t2)。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有Geq \f(Mm,R2)＝mg月，
月球的质量M＝eq \f(g月R2,G)＝eq \f(2hR2,Gt2)。
(3)月球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3h,2πRGt2)。
13.(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
答案 B