2024春八年级数学下册第一章三角形的证明学情评估试卷（山西专版北师大版）

这是一份2024春八年级数学下册第一章三角形的证明学情评估试卷（山西专版北师大版），共12页。
第一章学情评估一、选择题(每题3分，共30分)1．已知等腰三角形的顶角为70°，则它的底角为(　　)A．70° B．55° C．40° D．110°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，则下列结论不一定正确的是(　　)A．AB＝2BD B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C(第2题)　　　　　　(第3题)3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8 cm，点D到AB的距离为3 cm，则DB的长是(　　)A．3 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm4．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据(单位：米)不符合直角三角形的三边长的是(　　)A．3，4，5 B．7，24，25C．9，12，15 D．1，2，35．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是(　　)A．一定相等 B．当BD＝CD时相等C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等(第5题)　　　　(第6题)6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠B＝30°，P是线段BC上的一动点，连接AP，则AP的长不可能是(　　)A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．9.57．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为(　　)(第7题)A．130° B．125° C．120° D．115°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如下步骤尺规作图：(1)分别以点B，C为圆心，大于eq \f(1,2)BC长为半径作圆弧，相交于点E，F，连接EF分别交BC，AB于点D，G.(2)连接AD.根据操作，有下列判断：①AD平分∠BAC；②AD是△ABC的中线；③CG⊥AB；④S△ADC＝S△ABD，其中正确的序号是(　　)A．①②③④ B．②④ C．③ D．②③④9．如图，在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝126°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数是(　　)(第9题)A．36° B．45° C．46° D．48°10．如图所示的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有(　　)　(第10题)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题(每题3分，共15分)11．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是__________________________________________________________，该逆命题是________命题(填“真”或“假”)．12．用反证法证明：“在△ABC中，已知∠B≠∠C，则AB≠AC”时，应首先假设________________．13．如图，在△ABC中， AC＝BC ，过点A, B分别作过点C的直线的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.若AE＝CF＝3, BF＝4.5，则EF的长度为________．(第13题)　　　　　　　(第14题)14．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD ，则△ADE是________三角形．15.如图，△ABC为等边三角形，在△ABC内部作△MAC，使得MA＝MC，且MA⊥MC，连接BM，再以BM为一边作等边三角形MBN，点M，N分别在BC的两侧，若CN＝6，则BM＝________．(第15题)三、解答题(共75分)16．(6分)如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心(用点D表示)的位置．(第16题)17．(7分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BM平分∠ABC交AC于点M，求证：AM＝BM.(第17题)18．(8分)如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2.求线段CP的长．(第18题)19．(9分)如图，直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E.(1)若AB＝10，则△CDE的周长是多少？(2)若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．(第19题)20．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．(第20题)21．(10分)乐乐在学习中遇到了这样的问题：如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，有多少种剪法呢？经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形剪成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个顶点，请你帮助乐乐求出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积．(第21题)22．(12分)问题情境：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外的一点，且BD＝BC，∠DBC＝30°，连接AD.(1)若BC＝4，则D到BC边的距离为________．(2)小明在图①的基础上，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，得到图②，连接CE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．(3)在图②中，试猜想AE与AD的数量和位置关系，并证明你的猜想．　(第22题)23．(13分)已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、点C重合)．连接AD，以AD为边向逆时针方向作等边△ADE，连接CE.(1)如图①，当点D在线段BC上时：①求证：△ABD≌△ACE；②AC、CD、CE之间的数量关系是____________________；(2)如图②，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，判断AC，CD，CE之间的数量关系，并证明；(3)如图③，当点D在BC的反向延长线上时，其他条件不变，则AC、CD、CE之间的数量关系为____________________．(第23题)答案一、1.B　2.A 3．D　点拨：如图，过点D作DE⊥AB于E. (第3题)∵点D到AB的距离为3 cm，∴DE＝3 cm.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝DC＝3 cm.∵BC＝8 cm，∴BD＝BC－DC＝8－3＝5(cm)．4．D　5.D　6.A　7.D　8.B9．B　思路点睛：延长ED交AC于F，先根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝27°，再根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝27°，最后由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．10．C　点拨：题图①中，∵∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－70°－66°＝44°，∴∠A，∠B与∠C互不相等，∴△ABC不是等腰三角形；题图②中，∵∠B＋∠C＝140°，∠B＝70°，∴∠C＝140°－70°＝70°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；题图③中，∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝50°.∵∠B＝50°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；题图④中，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°－∠B＝180°－120°＝60°，∴∠BAC＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝∠BCA，∴△ABC是等腰三角形；题图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°.∵∠BCD＝∠A＋∠B＝60°，∴∠B＝60°－∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形．∴能判定△ABC是等腰三角形的有4个．二、11.如果a2＝b2，那么a＝b；假12．AB＝AC　13.7.514．等边 　点拨：易证得△ABE≌△ACD，∴AD＝AE，∠CAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形．15．3 eq \r(6)－3 eq \r(2)三、16.解：如图，点D即为文化活动中心的位置．(第16题)17．证明：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq \f(180°－36°,2)＝72°.∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠MBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABM.∴AM＝BM.18．解：如图，过点P作PE⊥OB于E. (第18题)∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴∠AOP＝∠BOP＝eq \f(1,2)∠AOB＝15°，PC＝PE.∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO＝15°，∴∠PDE＝∠BOP＋∠DPO＝30°.∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝eq \f(1,2)DP＝1，∴PC＝1.19．解：(1)∵直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝AD＋DE＋BE＝AB＝10.(2)∵AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE.又∵∠ACB＝125°，∴∠A＋∠B＝180°－125°＝55°，∴∠ACD＋∠BCE＝55°.∴∠DCE＝∠ACB－(∠ACD＋∠BCE)＝125°－55°＝70°.20．(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADB和△ADC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,∠ADB＝∠ADC，,AD＝AD，))∴△ADB≌△ADC，∴∠B＝∠ACB.(2)解：∵△ADB≌△ADC，∴AB＝AC.∵AC＝CE，∴AB＝AC＝CE＝5.在Rt△ADB中，BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(52－42)＝3，∴BD＝CD＝3，∴DE＝DC＋CE＝8，BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11.在Rt△ADE中，AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5)，∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4eq \r(5)＝16＋4eq \r(5)，S△ABE＝eq \f(1,2)×BE×AD＝eq \f(1,2)×11×4＝22.21．解：①如图①，当PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形，(第21题)则S△ACP＝eq \f(1,2)×4×4＝8.②如图②，当AP＝BP时，△ABP是等腰三角形．(第21题)在△ACP中，∠C＝90°，∴AC2＋CP2＝AP2.∵AC＝4，AP＝BP＝BC－CP＝6－CP，∴42＋CP2＝(6－CP)2，解得CP＝eq \f(5,3)，∴S△ABP＝S△ABC－S△ACP＝eq \f(1,2)×4×6－eq \f(1,2)×4×eq \f(5,3)＝eq \f(26,3).综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或eq \f(26,3).22．解：(1)2(2)△BCE为等边三角形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°.由轴对称的性质得△ABD≌△ABE，∴∠ABE＝∠ABD＝15°，BE＝BD，∴∠EBC＝15°＋15°＋30°＝60°.∵BD＝BC，∴BE＝BC，∴△BCE为等边三角形．(3)AE＝AD，AE⊥AD.证明：∵△ABD≌△ABE，∴AE＝AD，∠DAB＝∠EAB.∵△EBC是等边三角形，∴∠BEC＝60°，BE＝CE.∵AB＝AC，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE，∴∠AEB＝∠AEC＝eq \f(1,2)∠BEC＝30°.由(2)得∠EBA＝15°，∴∠EAB＝180°－∠AEB－∠EBA＝135°，∴∠DAB＝135°，∴∠EAD＝360°－135°－135°＝90°，∴AE⊥AD.综上所述，AE＝AD，AE⊥AD.23．(1)①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE.②AC＝CE＋CD(2) 解：AC，CD，CE之间的数量关系是AC＝CE－CD.证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.∵BC＝BD－CD，∴AC＝CE－CD.(3)AC＝CD－CE　点拨：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.∵BC＝CD－BD，∴AC＝CD－CE.