这是一份2024春八年级数学下册第1章三角形的证明综合素质评价试卷（北师大版），共13页。
第一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，172．[2023·长春三模]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于eq \f(1,2)FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E.若AE＝2，BC＝7，则△BEC的面积为( )A．7 B．8 C．14 D．163．在解答一道习题时，嘉嘉先作出了△ABC的一条高AD，又作出了△ABC的一条角平分线AE，发现作的是同一条线段，则△ABC一定是( )A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )A．AC＝AD B．AC＝BCC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．[2023·台州]如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是( )A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BEC．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE6．[2022·自贡]等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是( )A．30° B．40° C．50° D．60°7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5 B．1.5 C．2 D．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，EF垂直平分AC，交BC于点E，交AC于点F，连接AE，若BD＝DE，△ABC的周长为16，AF＝3，则DC的长为( )A．4 B．5 C．6 D．79．[2023·河北模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，则IH的长为( )A．2 B．3 C．4 D．510．题目：“如图，已知∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，OM＝x，MN＝2，P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围．”对于其答案，甲答：x＝0.乙答：0
4时，满足条件的点P只有1个．所以甲、丙答案合在一起才完整．故选B.二、11．OB＝OD(答案不唯一) 12．3 13．有两个直角14．1 【点拨】∵BD＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC＋\f(AB2－AC2,BC)))，AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(72－52,6)))＝5.∴CD＝BC－BD＝6－5＝1.15．eq \r(3) 【点拨】如图所示，过点D作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝∠CAD＝30°，DE＝CD＝1，∴∠DAB＝∠B，AD＝2DE＝2，∴AE＝BE＝eq \r(AD2－DE2)＝eq \r(3)，∴AB＝AE＋BE＝2eq \r(3)，∴S△DAB＝eq \f(1,2)AB·DE＝eq \r(3).16．417．①②③④ 【点拨】①根据作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确．②∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝eq \f(1,2)∠CAB＝30°，∴∠ADC＝90°－∠CAD＝60°，故②正确．③∵∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确．④∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝eq \f(1,2)AD.∴S△DAC＝eq \f(1,2)AC·CD＝eq \f(1,4)AC·AD.∵AD＝BD，∴BC＝BD＋CD＝AD＋eq \f(1,2)AD＝eq \f(3,2)AD，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AC·eq \f(3,2)AD＝eq \f(3,4)AC·AD，∴S△DAC︰S△ABC＝1︰3，故④正确．18．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22 027－5,22 026)，\f(\r(3),22 026))) 【点拨】∵等边三角形AOC的边长为1，OD⊥AC，∴OC＝1，CD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，∴CC1＝CD＝eq \f(1,2)，∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2 023C2 024的长分别为1，eq \f(1,2)，eq \f(1,22)，eq \f(1,23)，…，eq \f(1,22 024)，∴OC2 024＝OC＋CC1＋C1C2＋C2C3＋…＋C2 023C2 024＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,22 024)＝eq \f(22 025－1,22 024)，∴点C2 024的横坐标为eq \f(22 025－1,22 024)，点A2 024的横坐标为eq \f(22 025－1,22 024)－eq \f(1,22 024)×eq \f(1,2)＝eq \f(22 026－3,22 025)，∴点D2 024的横坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22 026－3,22 025)＋\f(22 025－1,22 024)))×eq \f(1,2)＝eq \f(22 027－5,22 026).易得点D2 024的纵坐标为eq \f(\r(3),22 026)，∴D2 024的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22 027－5,22 026)，\f(\r(3),22 026))).三、19．【证明】∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD.在△AOB和△COD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOB＝∠COD，,OB＝OD，))∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD.20．【解】方法一：作∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD.在△BAD和△CAD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠BAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．方法二：作BC边上的高线交BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BAD和△CAD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠ADB＝∠ADC，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．21．(1)【证明】∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D.∴BE∥CD.∴∠E＝∠ECD.(2)【解】△BCE是等边三角形. 【点拨】∵∠E＝60°，∠E＝∠ECD，∴∠ECD＝60°.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，∴∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等边三角形．22．(1)【解】如图所示．(2)【证明】连接BD，如图．由作图知直线l是AB的垂直平分线，BD＝CB，∴BD＝AD，∠BDC＝∠BCD.∴∠A＝∠ABD.又∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.又∠BDC＝∠BCD，∴∠BCD＝2∠A，即∠ACB＝2∠A.23．【解】(1)EF＝2CF.理由如下：如图所示．∵BE＝EO，∴∠1＝∠2.∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5.∴∠2＝∠3.∴EF∥BC.∴∠4＝∠6.∴∠5＝∠6.∴OF＝CF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠AEF＝∠ACB＝∠AFE.∴AE＝AF.∴BE＝CF.∴EF＝OE＋OF＝2CF.(2)如图，连接AO并延长交BC于点D.∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴AD平分∠BAC.∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝eq \f(1,2)BC＝3.在Rt△ABD中，AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(52－32)＝4，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×6×4＝12.∵点O是△ABC三个内角平分线的交点，∴点O到三边的距离相等，即为OD的长．∵S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝S△ABC，∴eq \f(1,2)BC·OD＋eq \f(1,2)AC·OD＋eq \f(1,2)AB·OD＝12.∴OD＝1.5，即点O到BC的距离是1.5.24．(1)【证明】如图，根据题意可设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCT＝y，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＝∠A＋2x，,y＝x＋∠D，))∴2(x＋∠D)＝∠A＋2x.∴∠D＝eq \f(1,2)∠A.(2)①【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠BCE＝ABC＝60°，BC＝AC.∵AD＝CE，∴△ACD≌△CBE(SAS)．②【解】∵△ACD≌△CBE，∴∠ACD＝∠CBE.∴∠DMB＝∠CBE＋∠BCM＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACB＝60°.∵DN平分∠ADM，BN平分∠DBM，∴由(1)可知∠DNB＝eq \f(1,2)∠DMB＝30°.(3)【解】∵∠ADC＝∠DCB＋∠ABC，∠ABC＝60°，∠DCB＝40°，∴∠ADC＝100°.∵DN平分∠ADC，∴∠NDM＝eq \f(1,2)∠ADC＝50°.∵DN平分∠ADC，BN平分∠DBM，∴MN平分∠DME.∵∠DME＝180°－∠DMB＝120°，∴∠DMN＝eq \f(1,2)∠DME＝60°，∴∠MND＝180°－∠NDM－∠DMN＝180°－50°－60°＝70°. 等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，求证：△ABC是等腰三角形. 方法一 证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D. 方法二 证明：如图，作BC边上的高线交BC于点D.
