北师大版八年级下册4 分式方程巩固练习

这是一份北师大版八年级下册4 分式方程巩固练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程是分式方程的是( )
A．x＋1＝1 B.eq \f(x＋1,2)＝1 C.eq \f(x＋1,x＋2)＝1 D.eq \f(x＋1,π)＝1
2．若分式eq \f(x,x＋3)有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠－3 B．x≠0 C．x≠eq \f(1,3) D．x≠3
3．若a≠b，则下列各式从左到右成立的是( )
A.eq \f(a＋2,b＋2)＝eq \f(a,b) B.eq \f(a,b)＝eq \f(a（m＋1）,b（m＋1）) C.eq \f(a2,b2)＝eq \f(a,b) D.eq \f(\f(1,2)a,\f(1,2)b)＝eq \f(a,b)
4．下列分式中，是最简分式的是( )
A.eq \f(a2－b2,a＋b) B.eq \f(15,10x) C.eq \f(4ab,10a2) D.eq \f(x,x＋y)
5．在求解方程eq \f(5,x－1)－6＝eq \f(3x,x－1)时，在方程两边同乘(x－1)，把原方程化为5－6(x－1)＝3x，这一变形过程体现的数学思想主要是( )
A．类比思想 B．函数思想 C．方程思想 D．转化思想
6．计算eq \f(1－x2,x2－2x＋1)－eq \f(x,1－x)的结果是( )
A．－eq \f(1,x－1) B.eq \f(1,x－1) C.eq \f(1,x＋1) D．－eq \f(1,x＋1)
7．如果把分式eq \f(x,x＋y)中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍
C．不变 D．缩小为原来的eq \f(1,2)
8．定义a⊗b＝2a＋eq \f(1,b)，则方程3⊗x＝4⊗2的解为( )
A．x＝eq \f(1,5) B．x＝eq \f(2,5) C．x＝eq \f(3,5) D．x＝eq \f(4,5)
9.若分式方程eq \f(x＋1,x－4)＝2＋eq \f(a,x－4)有增根，则a的值为( )
A．5 B. 4 C．3 D．0
10．下面是一道分式化简的过程．
则下列说法正确的是( )
A．A＝x B．B＝x＋3C．△表示“＋”号 D．▲＝x
二、填空题(每题3分，共15分)
11．分式eq \f(1,ab)和eq \f(a,3b2)的最简公分母是________．
12．若分式eq \f(a－1,3a＋3)的值为0，则a的值为________．
13．若x2＋3x＝－1，则x－eq \f(1,x＋1)＝________．
14．若关于x的分式方程eq \f(2x－b,x－3)＝4的解是非负数，则b的取值范围是________________．
15．山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到12 600 kg，经过改良后，平均每亩产量是原来的1.5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为x kg，则可列方程为______________________．
三、解答题(共75分)
16．(8分)化简．
(1)eq \f(m－1,m)÷eq \f(m2－1,m2)； (2)eq \f(12,m2－9)－eq \f(2,m－3)；
(3)a－b－eq \f(a2＋2ab＋b2,a＋b)； (4)eq \f(x2－1,x2－2x＋1)·eq \f(x－1,x2＋x)＋eq \f(2,x).
17．(8分)解方程：(1)eq \f(x,x－1)－1＝eq \f(2,x＋1)；
(2)eq \f(3,x－1)－eq \f(x＋2,x（x－1）)＝0.
18．(7分)先化简，再求值：eq \f(a,a－1)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a2－1)))，其中a＝.
19.(9分)下面是小彬同学进行一个式子化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
eq \f(x2－9,x2＋6x＋9)－eq \f(2x＋1,2x＋6)
＝eq \f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq \f(2x＋1,2（x＋3）)第一步
＝eq \f(x－3,x＋3)－eq \f(2x＋1,2（x＋3）)第二步
＝eq \f(2（x－3）,2（x＋3）)－eq \f(2x＋1,2（x＋3）)第三步
＝2x－6－2x－1第四步
＝－7.第五步
任务一：
以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________________________________________________________________________；
任务二：
本题化简过程是否正确？答：________；
如果正确，请写出第四步变形的依据；如果错误，请写出该式子化简的正确步骤．
20．(9分)已知关于x的分式方程eq \f(x,x－2)－eq \f(a,2＋x)＝eq \f(x2,x2－4)无解，求a的值．
21．(10分)小张和同学相约“五一”到离小张家2 400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小张跑步的平均速度；
(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影开始前赶到电影院？请说明理由．
22．(12分)为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1 800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7 200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．
(1)第一批头盔的进货单价是多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？
23．(12分)阅读材料
若分式A与分式B的差等于它们的积，即A－B＝AB，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如：eq \f(1,x＋1)与eq \f(1,x＋2)，
∵eq \f(1,x＋1)－eq \f(1,x＋2)＝eq \f(1,（x＋1）（x＋2）)，
eq \f(1,x＋1)×eq \f(1,x＋2)＝eq \f(1,（x＋1）（x＋2）)，
∴eq \f(1,x＋2)是eq \f(1,x＋1)的“关联分式”．
解决问题
(1)分式eq \f(2,a2＋1)________eq \f(2,a2－1)的“关联分式”(填“是”或“不是”)．
(2)和谐小组成员在求分式eq \f(1,x2＋y2)的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设eq \f(1,x2＋y2)的“关联分式”为B，则eq \f(1,x2＋y2)－B＝eq \f(1,x2＋y2)×B，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2＋y2)＋1))B＝eq \f(1,x2＋y2)，
∴B＝eq \f(1,x2＋y2＋1).即分式eq \f(1,x2＋y2)的“关联分式”为eq \f(1,x2＋y2＋1).
请你仿照和谐小组成员的方法求分式eq \f(a－b,2a＋3b)的“关联分式”．
拓展延伸
(3)观察(1)(2)的结果找出规律，直接写出分式eq \f(y,x)的“关联分式”：________．
答案
一、1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.A 7.C 8.B 9.A
10．D
二、11.3ab2
12．1 思路点睛：分式的值为0，则分子为0，分母不为0.
13．－2 点拨：∵x2＋3x＝－1，
∴x2＝－3x－1.
∴x－eq \f(1,x＋1)＝eq \f(x2＋x－1,x＋1)＝eq \f(－3x－1＋x－1,x＋1)＝eq \f(－2x－2,x＋1)＝－2.
14．b≤12且b≠6 15.eq \f(12 600,x)－25＝eq \f(12 600,1.5x)
三、16. 解：(1)原式＝eq \f(m－1,m)·eq \f(m2,（m＋1）（m－1）)＝eq \f(m,m＋1).
(2)原式＝eq \f(12,（m＋3）（m－3）)－eq \f(2（m＋3）,（m＋3）（m－3）)＝eq \f(6－2m,（m＋3）（m－3）)＝eq \f(2（3－m）,（m＋3）（m－3）)＝－eq \f(2,m＋3).
(3)原式＝a－b－eq \f(（a＋b）2,a＋b)＝a－b－a－b＝－2b.
(4)原式＝eq \f(（x＋1）（x－1）,（x－1）2)·eq \f(x－1,x（x＋1）)＋eq \f(2,x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,x)＝eq \f(3,x).
17．解：(1)去分母，得x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1)，
去括号，得x2＋x－x2＋1＝2x－2，解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解．
(2)去分母，得3x－(x＋2)＝0，解得x＝1,
检验：当x＝1时，x(x－1)＝0.
∴x＝1是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
18．解：原式＝eq \f(a,a－1)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2－1,（a＋1）（a－1）)＋\f(1,（a＋1）（a－1）)))
＝eq \f(a,a－1)÷eq \f(a2,（a＋1）（a－1）)
＝eq \f(a,a－1)·eq \f(（a＋1）（a－1）,a2)＝eq \f(a＋1,a).
当a＝eq \r(2)时，原式＝eq \f(\r(2)＋1,\r(2))＝eq \f(\r(2)＋2,2).
19．解：任务一：三；分式的基本性质
任务二：否
eq \f(x2－9,x2＋6x＋9)－eq \f(2x＋1,2x＋6)＝eq \f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq \f(2x＋1,2（x＋3）)
＝eq \f(x－3,x＋3)－eq \f(2x＋1,2（x＋3）)＝eq \f(2（x－3）,2（x＋3）)－eq \f(2x＋1,2（x＋3）)
＝eq \f(2x－6－（2x＋1）,2（x＋3）)＝eq \f(2x－6－2x－1,2（x＋3）)＝－eq \f(7,2x＋6).
20．解：方程两边都乘(x－2)(x＋2)，得x(x＋2)－a(x－2)＝ x2，化简，得(a－2)x ＝2a.
①若分式方程去分母得到的方程无解，
则a－2＝0，解得a＝2.
②若分式方程有增根，则(x－2)(x＋2)＝0，解得
x＝2或x＝－2.
当x＝2时，2(a－2)＝2a，此时方程无解，舍去；
当x＝－2时，－2(a－2)＝2a ，解得a＝1.
综上所述，a的值为2或1.
21．解：(1)设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分，
根据题意，得eq \f(2 400,x)－eq \f(2 400,1.5x)＝4，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意．
答：小张跑步的平均速度为200米/分．
(2)不能，理由如下：
小张跑步的时间：2 400÷200＝12(分钟)，
小张骑车的时间：12－4＝8(分钟)．
∵12＋8＋6＝26＞25，
∴小张不能在电影开始前赶到电影院．
22．解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．
根据题意，得eq \f(7 200,x＋20)＝3×eq \f(1 800,x)，解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的根，且符合题意．
答：第一批头盔的进货单价为60元．
(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×eq \f(1 800,60)＝120(个)，
∵总利润不少于4 200元，
∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110.
答：销售单价至少为110元．
23．解：(1)是
(2)设eq \f(a－b,2a＋3b)的“关联分式”是N，则
eq \f(a－b,2a＋3b)－N＝eq \f(a－b,2a＋3b)·N.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2a＋3b)＋1))·N＝eq \f(a－b,2a＋3b).
∴N＝eq \f(a－b,3a＋2b).
即分式eq \f(a－b,2a＋3b)的“关联分式”为eq \f(a－b,3a＋2b).
(3)eq \f(y,x＋y)
eq \f(x2＋6x＋9,x2－9)＋eq \f(3x,3x－x2)＝eq \f(（x＋3）2,A（x＋3）)＋eq \f(3x,B（3－x）)＝eq \f(x＋3,x－3)△eq \f(3,x－3)＝eq \f(▲,x－3).