云南省昭通市昭阳区第一中学2023-2024学年高一下学期2月开学考试数学试卷

这是一份云南省昭通市昭阳区第一中学2023-2024学年高一下学期2月开学考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若{a2,0,-1}={a,b,0}，则a2023+b2023的值是( )
A. -1B. 0C. 1D. 2
2.设x∈R，则“x<1”是“1x>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.梯形ABCD中，AB=2DC，设AB=m，AD=n，则AC+BD=( )
A. -12m+2nB. 12m-2nC. m-2nD. -m+2n
4.若两个正实数x，y满足1x+ 4y=1，且不等式x+ y4A. (-1,4)B. (-∞,-1)∪(4,+∞)
C. (-4,1)D. (-∞,0)∪(3,+∞)
5.若cs(π6+α)=13，则sin(π3-α)=( )
A. 2 23B. 13C. -2 23D. -13
6.设f(x)=lg2(1x+a+1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称，则g(x)的值域为( )
A. (-12,12)B. (-∞,-12)∪(12,+∞)
C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-2,2)
7.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且f(-1)=0，若对于任意两个实数x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集为( )
A. (-∞,-1)∪(0,1)B. (-∞,-1)∪(1,+∞)
C. (-1,0)∪(1,+∞)D. (-1,0)∪(0,1)
8.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+4)=f(x)，且x∈(-2,2]时，f(x)=12|x|，则函数y=f(x)的图像与函数y=lg|x|的图像交点个数为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(-2,1),b=(4,8)，则( )
A. a//bB. a⊥b
C. a+b=(2,9)D. a-b=(-6,-7)
10.下列说法中正确的是( )
A. 函数y=sin(x+π2)是偶函数
B. 存在实数α，使 sinα csα=1
C. 直线x=π8是函数y=sin(2x+5π4)图象的一条对称轴
D. 若α，β都是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(-∞,0]单调递减，则( )
A. f(f(1))C. g(f(1))12.下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)=ax-1-2(a>0且a≠1)的图像恒过定点(1,-2)
B. 若函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6，则函数g(x)的图象关于点(0,3)对称
C. 当x>0时，函数y=x+3x+1-1的最小值为2 3-1
D. 函数g(x)=(12) -x2-x+2的单调增区间为[-12,1]
三、填空题：本题共5小题，共32分。
13.将函数y=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像向左平移π6个单位后得到函数y=g(x)，若函数y=g(x)是R上的偶函数，则φ= ______．
14.已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为120°，则|a+2b|= ______．
15.设数集M={x|m≤x≤m+45}，N={x|n-14≤x≤n}，且集合M、N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a称为非空集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的取值范围为______．
16.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由31<π<41，取3为弱率，4为强率，得a1=3+41+1=72，故a1为强率，与上一次的弱率3计算得a2=3+71+2=103，故a2为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推a8= ______．
17.已知f(α)=sin(π-α)cs(2π-α)tan(-α+π)-tan(-α-π)sin(-π-α)；
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cs(α-3π2)=15，求f(α)的值．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
计算下列各式的值：
(1)(0.027)-13+ (π-3)2+212×618；
(2)lg25+lg22+lg2⋅lg25+lg25⋅lg258+eln2．
19.(本小题12分)
已知|a|=2，|b|=4，a与b的夹角为60°．
(1)计算a⋅(a+b)的值；
(2)若a⋅(a-kb)=0，求实数k的值．
20.(本小题12分)
记函数f(x)=sin2ωx+ 3sinωxcsωx(ω>0)的最小正周期为T.若π3(1)求ω的值；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[-π2,0)上的值域．
21.(本小题12分)
经调查，某产品在过去两周内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间t(天)的函数.其中日销售量为时间t的一次函数，且t=1时，日销售量为34千克，t=10时，日销售量为25千克.日销售单价满足函数f(t)=25-25t+1,1≤t<8且t∈N14+t,8≤t≤14且t∈N．
(1)写出该商品日销售额y关于时间t的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
(2)求过去两周内该商品日销售额的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=12，
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为{a2,0,-1}={a,b,0}，所以a=1，b=-1或a=-1，b=1．
两以上种情况代入a2023+b2023，可得a2023+b2023=0．
故选：B．
由集合元素的互异性，得到a≠0且b≠0，再由集合相等分析出a、b的值，进而算出答案．
本题主要考查集合相等的含义、集合的元素的性质等知识，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵1x>1⇔1x-1=1-xx>0⇔x(x-1)<0，
∴0∵(0,1)⫋(-∞,1)，
∴x<1是1x>1的必要不充分条件，
故选：B．
先求出分式不等式的解集，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了分式不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：∵梯形ABCD中，AB=2DC，设AB=m，AD=n，
∴AC=AD+DC=n+12m，BD=AD-AB=n-m，
∴AC+BD=n+12m+n-m=2n-12m，
故选：A．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．
将不等式x+y4【解答】解：∵不等式x+y4∴(x+y4)min∵x>0，y>0，且1x+4y=1，
∴x+y4=(x+y4)(1x+4y)=4xy+y4x+2≥2 4xy⋅y4x+2=4，
当且仅当4xy=y4x，即x=2，y=8时取“=”，
∴(x+y4)min=4，
故m2-3m>4，即(m+1)(m-4)>0，
解得m<-1或m>4，
∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞)．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：sin(π3-α)=cs[π2-(π3-α)]=cs(π6+α)=13．
故选：B．
根据三角函数诱导公式求解即可．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得1+1x+a=x+a+1x+a>0，
所以x<-a-1或x>-a，
因为f(x)=lg2(1x+a+1)是奇函数，
故定义域关于原点对称，即-a-1=a，
所以a=-12，函数的定义域为(12,+∞)∪(-∞,-12)，
函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称，
则根据互为反函数的关系可知，g(x)的值域为f(x)的定义域，即为(12,+∞)∪(-∞,-12).
故选：B．
结合奇函数定义域关于原点对称的条件可求a，然后结合互为反函数的函数定义域及值域关系可求．
本题主要考查了函数奇偶性的应用及互为反函数的函数定义域及值域关系的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，若对于任意两个实数x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0恒成立，
则f(x)在(0,+∞)上为增函数，
又由函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且f(-1)=0，则f(1)=0，
则在区间(0,1)和(-∞,-1)上，f(x)<0，
在区间(-1,0)和(1,+∞)上，f(x)>0，
又由xf(x)>0⇔x>0f(x)>0或x<0f(x)<0，则有x<-1或x>1，即不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞)．
故选：B．
根据题意，由函数单调性的定义可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，再由奇函数的性质分析f(x)>0和f(x)<0的区间，又由xf(x)>0⇔x>0f(x)>0或x<0f(x)<0，解可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵f(x+4)=f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数，
当x∈(-2,2]时，f(x)=12|x|，
∵x=±10时，y=1g|±10|=1，
∴由图数形结合可得
函数y=f(x)的图象与函数y=lg|x|的图象交点个数是8个．
故选：C．
首先根据题意得到函数f(x)是周期为4的周期函数，再画出f(x)和y=1g|x|的图象，根据图象即可得到答案．
本题主要考查函数的交点个数，同时考查函数的图象，考查数形结合的思想，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：∵a=(-2,1)，b=(4,8)，
对于A，-2×8-1×4≠0，故a与b不平行，故A错误；
对于B，-2×4+1×8=0，故a⊥b，故B正确；
对于C，a+b=(2,9)，故C正确；
对于D，a-b=(-6,-7)，故D正确；
故选：BCD．
利用向量的坐标运算对选项一一求解即可．
本题主要考查了向量的坐标运算和向量的平行垂直关系，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：对于A：函数y=sin(x+π2)=csx，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于sinαcsα=1，故sinα和csα互为倒数，与sin2α+cs2α=1矛盾，故不存在实数α，使sinαcsα=1，故B错误；
对于C：当x=π8时，f(π8)=sin(π4+5π4)=-1，故C正确；
对于D：设α=13π6，β=π3，由于α，β都是第一象限角，但是sinβ>sinα，故D错误；
故选：AC．
11.【答案】BD
【解析】解：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在(-∞,0]单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，
g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)在(-∞,0]单调递减，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，
所以g(x)在R上是减函数，
所以f(1)0>g(1)>g(2)，可得f(g(1))g(f(1))>g(f(2))，所以C不正确；
g(g(1))故选：BD．
利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断选项的正误即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：根据指数函数的性质可知，函数f(x)=ax-1-2(a>0且a≠1)的图像恒过定点(1,-1)，A错误；
根据函数的对称性可知，若函数g(x)满足g(-x)+g(x)=6，则函数g(x)的图象关于点(0,3)对称，B正确；
当x>0时，函数y=x+3x+1-1=x+1+3x+1-2≥2 3-2，当且仅当x+1=3x+1即x= 3-1时取等号，C错误；
令-x2-x+2≥0可得-2≤x≤1，
故函数y= -x2-x+2的单调递减区间为[-12,1．
根据复合函数的单调性可知，g(x)=(12) -x2-x+2的单调增区间为[-12,1]，D正确．
故选：BD．
根据指数函数的单调性检验选项A；
根据函数的对称性检验选项B；
结合基本不等式检验选项C；
结合复合函数的单调性检验选项D．
本题主要考查了指数函数的性质，函数的对称性，基本不等式求解最值，还考查了复合函数单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】π6
【解析】解：因为将函数y=3sin(2x+φ)的图像向左平移π6个单位后得到函数y=g(x)，
所以g(x)=3sin[2(x+π6)+φ]=3sin(2x+φ+π3)，
因为函数y=g(x)是R上的偶函数，
所以φ+π3=kπ+π2,k∈Z，得φ=kπ+π6,k∈Z，
且0<φ<π，即k=0，所以φ=π6．
故答案为：π6．
先根据平移规律求出g(x)，然后再由g(x)为偶函数得出φ满足的关系式，从而求出结果．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
14.【答案】 13
【解析】解：由题意得|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=9+4×3×2×cs120°+16=13，
故|a+2b|= 13．
故答案为： 13．
将|a+2b|平方，结合数量积的运算律，即可求得答案．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的模长，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】[120,14]
【解析】解：根据题意，M={x|m≤x≤m+45}，则集合M的“长度”为45，
N={x|n-14≤x≤n}，则集合N的“长度”为14．
而M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
当N⊆M时，M∩N的“长度”最大值为集合N的“长度”，即14，
当M与N应分别在区间[0,1]的左右两端时，集合M∩N的“长度”最小，为45+14-1=120，
即集合M∩N的“长度”的取值范围为[120,14]，
故答案为：[120,14].
根据题意，由集合M、N分析集合M，N的“长度”，由交集的定义分析M∩N的“长度”最大值、最小值，即可得答案．
本题主要考查了集合交集的性质，注意分析集合“长度”的定义，属于基础题．
16.【答案】4715
【解析】解：∵a2为强率，由31<π<103，得a3=3+101+3=134>3.1415927，∴a3为强率；
由31<π<134，得a4=3+131+4=165>3.1415927，∴a4为强率；
由31<π<165，得a5=3+161+5=196>3.1415927，∴a5为强率；
由31<π<196，得a6=3+191+6=227>3.1415927，∴a6为强率；
由31<π<227得a7=3+221+7=258=3.125<3.1415926，∴a7为弱率；
由258<π<227，得a8=25+228+7=4715．
故答案为：4715．
根据题意利用“调日法”不断计算，进行归纳推理能求出结果．
本题考查简单的归纳推理、“调日法”等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)f(α)=sin(π-α)cs(2π-α)tan(-α+π)-tan(-α-π)sin(-π-α)=-sinαcsαtanαtanαsinα=-csα；
(2)α是第三象限角，且cs(α-3π2)=15，可得-sinα=15，即sinα=-15，
csα=- 1-sin2α=-2 65．
f(α)的值为：2 65．
【解析】(1)利用诱导公式化简函数的表达式即可．
(2)利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
18.【答案】解：(1)(0.027)-13+ (π-3)2+212×618=(100027)13+π-3+212×(12)12=103+π-3+1=43+π；
(2)lg25+lg22+lg2⋅lg25+lg25⋅lg258+eln2=lg25+lg22+2lg2⋅lg5+lg5lg2⋅3lg22lg5+2=(lg2+lg5)2+32+2=92．
【解析】结合指数的运算性质可求(1)，结合对数的运算性质可求(2)．
本题主要考查了指数与对数的运算性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)a⋅(a+b)=a2+a⋅b=4+2×4×cs60°=8，
(2)由若a⋅(a-kb)=0得：a2-ka⋅b=4-k×2×4×cs60°=4-4k=0，
解得k=1．
【解析】利用平面向量的数量积直接计算即可．
此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=sin2ωx+ 3sinωxcsωx=1-cs2ωx2+ 3sin2ωx2=sin(2ωx-π6)+12，
由π3由于y=f(x)的图象关于直线x=π6对称，
所以ωπ3-π6=kπ+π2，
当k=1时，ω=5，f(x)=sin(10x-π6)+12．
(2)由(1)得：f(x)=sin(10x-π6)+12，将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位，
可得y=sin(10x+7π3)+12=sin(10x+π3)+12 的图象．
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，
得到函数y=g(x)=sin(5x+π3)+12的图象．
在[-π2,0)上，5x+π3∈[-13π6,π3]，sin(5x+π3)∈[-1,1]，g(x)∈[-12,32]，
即g(x)在[-π2,0)上的值域为[-12,32].
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据三角函数的图象和性质，求得ω值．
(2)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，从而求得它在[-π2,0)上的值域．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设日销售量g(t)(千克)关于时间t(天)的函数为g(t)=kt+b，
则k+b=3410k+b=25，解得k=-1b=35，
所以g(t)=35-t，
所以y=(25-25t+1)(35-t),1≤t<8,t∈N,(14+t)(35-t),8≤t≤14,t∈N,．
(2)①当1≤t<8时，y=25[37-(t+1)-36t+1]≤(37-2 36)×25=625，
当且仅当(t+1)2=36，即t=5时，等号成立，
②当8≤t≤14时，y=-t2+21t+490，
当t=10或11时，ymax=600，
∵625>600，∴t=5时，ymax=625，
即过去两周内该商品日销售额的最大值为625元．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，考查了二次函数的性质，是中档题．
(1)设日销售量g(t)(千克)关于时间t(天)的函数为g(t)=kt+b，利用待定系数法求出k，b的值，进而得到g(t)的解析式，再利用日销售额=日销售量×销售单价即可求出该商品日销售额y关于时间t的函数．
(2)分段分别求出y的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为过去两周内该商品日销售额的最大值．
22.【答案】解：(1)依题意得f(0)=0f(1)=12，
即b1+02=0a+b1+1=12，得a=1b=0，
∴f(x)=x1+x2；
(2)证明：任取-1则f(x1)-f(x2)
=x11+x12-x21+x22
=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)，
∵-1∴，x1-x2<0，1+x12>0，1+x22>0
又∵-1∴1-x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
∴f(x)在(-1,1)上是增函数；
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t)，
∵f(x)在(-1,1)上是增函数，
∴-1解得：0≤t<12．
【解析】(1)由f(0)=0，解得b的值，再根据f(1)=12，解得a的值，从而求得f(x)的解析式．
(2)设-10，即f(x1)-f(x2)>0，可得函数f(x)在(-1,1)上是减函数．
(3)由不等式f(t-1)+f(t)<0，可得f(t-1)本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．