中学生标准学术能力诊断性测试2024届高三下学期3月测试数学试卷

这是一份中学生标准学术能力诊断性测试2024届高三下学期3月测试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，且，则（ ）
A．B．
C．或20D．
2．已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，那么（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内含D．内切
7．已知的展开式的各项系数和为4096，则展开式中的系数为（ ）
A．15B．1215C．2430D．81
8．设，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
10．已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，，则
11．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为12
D．以线段为直径的圆与圆相切
12．已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A．当时，有2个零点B．当时，至少有2个零点
C．当时，有1个零点D．当时，可能有4个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是______．
14．在平面直角坐标系中，已知点、，E、F是直线上的两个动点，且，则的最小值为______．
15．设是等差数列的前n项和，若，则______．
16．若，是两个夹角为的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
18．（12分）设数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．（12分）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点M的轨迹C的方程．
20．（12分）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人．
（1）求直方图中x，y的值；
（2）①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；
②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望．
21．（12分）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求证：的极大值恒为正数．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）求A点坐标；
（2）在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，求的最大值；
（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为，，若，求点M的坐标．
中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1614．15．16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）
解得，故
（2）
解得
由（1）知
故
故面积的最大值为．
18．（12分）
（1）对于时，
，，
，
经验算，符合上述结果，故
（2）设，
则
设，，
作差得到
故
故
19．（12分）
（1）圆的方程可变形为
故的圆心坐标为，半径为2
（2）设，因为点M是的中点，，
故
由此可得
故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆
20．（12分）
（1）解：，
故
，
故·
解得，
（2）①学院毕业生年薪在区间的人数比例为：，
故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元
②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率，
故随机变量，
故
的分布列为：
的数学期望
21．（12分）
（1）
当时，，
又，故曲线在处的切线方程为
（2），
解得知，
若，在，递减，递增·
极大值
若，函数单调递减，无极大值
若，在，递减，递增
极大值
综上，的极大值恒为正数．
22．（12分）
（1）椭圆的左，右焦点分别为，，
设，，故
即
又，解得，
点坐标为
（2）设P点坐标为，则可得Q点坐标为
当时，取最大值，最大值为3
（3）A点坐标为，B点坐标为，
点O到线段的距离
若，则点M到线段的距离应为，
故M点的纵坐标为或，代入椭圆方程，
解得M点的横坐标为或
故M点的坐标为：或1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
D
A
C
B
C
9
10
11
12
CD
ABD
BCD
ABD
0
1
2
3
4
P
0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081