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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算随堂练习题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算随堂练习题，共11页。试卷主要包含了在平行六面体中，为与的交点，与向量共线的向量是，已知，，若，则实数的值为，长方体中，为的中点，，，，则，空间向量，则的夹角为等内容，欢迎下载使用。
1．为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点（ ）
A．一定不共面B．不一定共面
C．一定共面D．无法判断
2．在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．C．D．
3．已知平面α和平面β的法向量分别为，则（ ）
A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对
4．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( )
A．B．C．D．
5．与向量共线的向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则两直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，若，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．
9．长方体中，为的中点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．空间向量，则的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
11．已知平行六面体中，底面是边长为的正方形， ，则异面直线与所成角的余弦值( )
A．B．C．D．
12．在下列命题中：
①若．共线，则．所在的直线平行；
②若．所在的直线是异面直线，则．一定不共面；
③若．．三向量两两共面，则．．三向量一定也共面；
④已知三向量．．，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
13．已知正方体的棱长为4，，，分别为，，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点的轨迹长度为；
②的轨迹平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④若，则的最大值为．
A．4B．3C．2D．1
14．已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断
15．已知，，若，则实数的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
16．已知向量，，如果，那么等于（ ）
A．B．1C．D．5
17．在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
18．在空间直角坐标系中，四个点的坐标为，，，，则四面体的体积为（ ）．
A．2B．C．D．
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则
且．利用此推论可直接证明一定共面．
详解：因为=，且，所以四点共面.
【点睛】
四点共面问题，在空间向量中经常涉及，要熟练掌握共面向量定理．
2．【答案】B
【解析】
故选B.
3．【答案】A
【解析】根据向量的数量积运算结果，即可判断.
详解：因为
故可得，
则平面α和平面β垂直.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系.
4．【答案】D
【解析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.
详解：由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，
所以,则，故选D.
【点睛】
本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．【答案】D
【解析】分析：直接利用空间向量共线的性质判断即可.
详解：因为不存在实数使得
，，，
所以，，都不与共线，
因为，
所以与向量共线的向量是，
故选：D.
6．【答案】D
【解析】分析：直接利用向量的夹角公式可得答案.
详解：由向量的夹角公式可得，
两条直线的夹角的余弦值为.
故选：D.
7．【答案】A
【解析】分析：利用空间向量的加法运算得到，再由，利用待定系数法求解.
详解：如图所示：
，
，
又因为，
所以，
所以，
故选：A
8．【答案】A
【解析】分析：由得：，代入坐标计算可解出的值.
详解：解：由，得：.
又，，则
解得：.
故选：A.
9．【答案】A
【解析】分析：先计算，再利用空间向量的加减法的定义，用，，表示即可.
详解：如图所示，
依题意，
故，
则
.
故选：A.
10．【答案】C
【解析】分析：由可得，从而可得答案.
详解：向量，则，
所以，则的夹角为
故选：C
11．【答案】C
【解析】
设，则平行六面体，底面是边长为的正方形，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选C.
12．【答案】A
【解析】根据空间向量的相关概念，逐项判断，即可得出结果.
详解：①若．共线，则．所在的直线平行或重合；所以①错；
②因为向量是可以自由移动的量，因此即使．所在的直线是异面直线，．也可以共面；所以②错；
③若．．三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此．．三向量不一定共面；所以③错；
④若三向量．．共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查与空间向量有关的命题真假的判定，熟记空间向量的基本概念即可，属于常考题型.
13．【答案】D
【解析】分析：由题意得FP的轨迹为圆锥的侧面，P点在圆锥底面的圆周上，然后根据选项中的条件逐项判断正误即可．
详解：解：根据正方体的性质知，F到平面的距离为4，因为，所以FP的轨迹为圆锥的侧面，
P点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为，圆锥的高为4，母线，
对于①，点P的轨迹长度为，故①错误，
对于②，由题意知，平面与圆锥的高不垂直，所以平面截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误，
对于③，以A为原点，AB所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以，，P点所在的圆的圆心为，所以圆的标准方程为，AE所在的直线方程为，所以圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离最小值为，即NP的最小值为，故③正确；
对于④，以D点为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线为z轴，建立如图所示的坐标系，
则0，，0，，4，，0，，4，设y，，因为，所以，即，对于P，，，即求的最小值，，由二次函数的性质知，当时，取得最小值，又因为，所以，所以的最大值为，所以④错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方体的结构特征，点到直线的距离，解答的关键是根据题干所给信息找出动点的轨迹.
14．【答案】B
【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，
而 故 四点共面，故选B
15．【答案】C
【解析】分析：依题意存在，使得，即可得到方程组，解得即可；
详解：解：因为，，且，所以存在，使得，即
所以解得
故选：C
16．【答案】B
【解析】分析：用空间向量共线定理可求解.
详解：∵向量，，，∴，解得.
故选:B
17．【答案】A
【解析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可.
详解：由题意三棱锥如图，
则
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了空间向量三角形法则的应用，属于基础题.
18．【答案】C
【解析】根据四面体内接于一个长方体，可得四面体的体积等于长方体体积减去四个相等的三棱锥的体积，代入数据，即可求解.
详解：因为该四面体内接于一个长方体，如图所示，
则四面体的体积等于长方体体积减去三棱锥．．．的体积，
因为长方体的长．宽．高分别为2，1，1，
所以长方体的体积为2，
所以该四面体的体积为．
故选：C.
【点睛】
本题考查四面体的体积的求法，难点在于根据所给的空间坐标，得到四面体内接于一个长方体，根据体积关系进行求解，考查分析理解的能力，属基础题.
1．为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点（ ）
A．一定不共面B．不一定共面
C．一定共面D．无法判断
2．在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．C．D．
3．已知平面α和平面β的法向量分别为，则（ ）
A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对
4．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( )
A．B．C．D．
5．与向量共线的向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则两直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，若，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．
9．长方体中，为的中点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．空间向量，则的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
11．已知平行六面体中，底面是边长为的正方形， ，则异面直线与所成角的余弦值( )
A．B．C．D．
12．在下列命题中：
①若．共线，则．所在的直线平行；
②若．所在的直线是异面直线，则．一定不共面；
③若．．三向量两两共面，则．．三向量一定也共面；
④已知三向量．．，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
13．已知正方体的棱长为4，，，分别为，，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点的轨迹长度为；
②的轨迹平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④若，则的最大值为．
A．4B．3C．2D．1
14．已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断
15．已知，，若，则实数的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
16．已知向量，，如果，那么等于（ ）
A．B．1C．D．5
17．在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
18．在空间直角坐标系中，四个点的坐标为，，，，则四面体的体积为（ ）．
A．2B．C．D．
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则
且．利用此推论可直接证明一定共面．
详解：因为=，且，所以四点共面.
【点睛】
四点共面问题，在空间向量中经常涉及，要熟练掌握共面向量定理．
2．【答案】B
【解析】
故选B.
3．【答案】A
【解析】根据向量的数量积运算结果，即可判断.
详解：因为
故可得，
则平面α和平面β垂直.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系.
4．【答案】D
【解析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.
详解：由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，
所以,则，故选D.
【点睛】
本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．【答案】D
【解析】分析：直接利用空间向量共线的性质判断即可.
详解：因为不存在实数使得
，，，
所以，，都不与共线，
因为，
所以与向量共线的向量是，
故选：D.
6．【答案】D
【解析】分析：直接利用向量的夹角公式可得答案.
详解：由向量的夹角公式可得，
两条直线的夹角的余弦值为.
故选：D.
7．【答案】A
【解析】分析：利用空间向量的加法运算得到，再由，利用待定系数法求解.
详解：如图所示：
，
，
又因为，
所以，
所以，
故选：A
8．【答案】A
【解析】分析：由得：，代入坐标计算可解出的值.
详解：解：由，得：.
又，，则
解得：.
故选：A.
9．【答案】A
【解析】分析：先计算，再利用空间向量的加减法的定义，用，，表示即可.
详解：如图所示，
依题意，
故，
则
.
故选：A.
10．【答案】C
【解析】分析：由可得，从而可得答案.
详解：向量，则，
所以，则的夹角为
故选：C
11．【答案】C
【解析】
设，则平行六面体，底面是边长为的正方形，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选C.
12．【答案】A
【解析】根据空间向量的相关概念，逐项判断，即可得出结果.
详解：①若．共线，则．所在的直线平行或重合；所以①错；
②因为向量是可以自由移动的量，因此即使．所在的直线是异面直线，．也可以共面；所以②错；
③若．．三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此．．三向量不一定共面；所以③错；
④若三向量．．共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查与空间向量有关的命题真假的判定，熟记空间向量的基本概念即可，属于常考题型.
13．【答案】D
【解析】分析：由题意得FP的轨迹为圆锥的侧面，P点在圆锥底面的圆周上，然后根据选项中的条件逐项判断正误即可．
详解：解：根据正方体的性质知，F到平面的距离为4，因为，所以FP的轨迹为圆锥的侧面，
P点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为，圆锥的高为4，母线，
对于①，点P的轨迹长度为，故①错误，
对于②，由题意知，平面与圆锥的高不垂直，所以平面截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误，
对于③，以A为原点，AB所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以，，P点所在的圆的圆心为，所以圆的标准方程为，AE所在的直线方程为，所以圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离最小值为，即NP的最小值为，故③正确；
对于④，以D点为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线为z轴，建立如图所示的坐标系，
则0，，0，，4，，0，，4，设y，，因为，所以，即，对于P，，，即求的最小值，，由二次函数的性质知，当时，取得最小值，又因为，所以，所以的最大值为，所以④错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方体的结构特征，点到直线的距离，解答的关键是根据题干所给信息找出动点的轨迹.
14．【答案】B
【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，
而 故 四点共面，故选B
15．【答案】C
【解析】分析：依题意存在，使得，即可得到方程组，解得即可；
详解：解：因为，，且，所以存在，使得，即
所以解得
故选：C
16．【答案】B
【解析】分析：用空间向量共线定理可求解.
详解：∵向量，，，∴，解得.
故选:B
17．【答案】A
【解析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可.
详解：由题意三棱锥如图，
则
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了空间向量三角形法则的应用，属于基础题.
18．【答案】C
【解析】根据四面体内接于一个长方体，可得四面体的体积等于长方体体积减去四个相等的三棱锥的体积，代入数据，即可求解.
详解：因为该四面体内接于一个长方体，如图所示，
则四面体的体积等于长方体体积减去三棱锥．．．的体积，
因为长方体的长．宽．高分别为2，1，1，
所以长方体的体积为2，
所以该四面体的体积为．
故选：C.
【点睛】
本题考查四面体的体积的求法，难点在于根据所给的空间坐标，得到四面体内接于一个长方体，根据体积关系进行求解，考查分析理解的能力，属基础题.
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