四川省凉山州宁南县2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，同时检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案元效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回．
时间120分钟，满分150分，考生请将答案填写在答题卡上．祝你取得好成绩！
A卷（共100分）
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的判断是解题的关键．
2. 据科学检测，新冠病毒实际直径约为0.000011厘米，其中数据0.000011用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据科学记数法的原则，将所给数值写成形式即可．
【详解】由已知得：．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，解题关键在于的确定，即小数点移动位数需要确保准确，其次注意的正负．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，积乘方等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
4. 若点在x轴上，则点关于x轴对称的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据在x轴上，可求，进而得点即可解答．
【详解】∵在x轴上，
∴，
∴，
∴
∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点的坐标，在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标轴中关于x轴对称的点求解（关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数），掌握相关知识是解题的关键．
5. 若分式的的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ）
A. 是原来的20倍B. 是原来的10倍C. 是原来的倍D. 不变
【答案】B
【解析】
【分析】依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：若分式的值同时扩大到原来的10倍，
则有，
∴此分式的值是原来的10倍．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
6. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ）
A. 8B. C. D. 8或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构求解即可．
【详解】解：∵是个完全平方式，
∴，
∴，则或，
故选：D．
7. 已知的三边满足，则周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方数的非负性，绝对值的非负性，分别求出的值，由此即可求解．
【详解】解：已知，
∴，整理得，，
∴，
∴的周长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，平方数的非负性，绝对值的非负性，掌握以上知识是解题的关键．
8. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ACD=3，DE=2，则AC长是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故选A
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称—最短路线问题，连接，由等腰三角形的性质结合三角形的面积得出，再根据是线段的垂直平分线，可得点关于直线的对称点是点，从而得到的长为的最小值，熟练掌握等腰三角形的性质是解答此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点是点，
的长为的最小值，
的周长最短，
故选：A．
10. 如图，是的中线，点分别为的中点，若的面积为，则的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵F是的中点，的面积为，
，
∵E是的中点，
，
，
∴的面积为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
11. 下列命题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；③正五边形有五条对称轴；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；⑤在直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．其中正确的有（ ）个．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称定义以及性质，全等三角形的判定，三线合一以及直角三角形的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，故错误；
②关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形，故正确；
③正五边形有五条对称轴，故正确；
④等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故错误；
⑤在直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半，故正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，全等三角形的判定，三线合一以及直角三角形的性质，知识点较多，但是比较基础，需要平时熟记和理解．
12. 我校八年级（6）班的两位同学相约周末外出游玩，从学校到集合地共千米，小西同学骑自行车先出发，分钟后，小附同学乘公交车出发，结果他们同时到达集合地．已知汽车的速度是小西骑车速度的2倍，求小西骑车速度是多少？解：设小西骑车速度是，则可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设小西骑车速度是，则汽车的速度是，根据题意得，，进行化简即可得．
【详解】解：设小西骑车速度是，则汽车的速度是，
根据题意得，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意中的等量关系列出方程．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式．
14. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，则这个多边形的边数为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角，一元一次方程的应用，关键是掌握多边形的内角和的计算公式．多边形的内角和可以表示成，外角和都等于，故可列方程求解．
【详解】解：设所求多边形边数为，
则，
解得：．
故答案为：．
15. 已知，，求的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法得出，解方程组，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，解二元一次方程组，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解题的关键．
16. 设、、是的三边，化简：______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系及化简绝对值，根据三角形的三边关系得，，再化简绝对值即可求解，熟练掌握三角形的三边关系及化简绝对值是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，，
，，
，
故答案为：0．
17. 如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接、，
是的垂直平分线，
，
是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
,
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共5个小题，共32分）
18. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是相关的运算法则．
（1）先算乘方、绝对值，零指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
19. 解分式方程
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
（1）根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为，即可求解；
（2）去分母，去括号，合并同类项，化系数为，即可求解．
【小问1详解】
解：
经检验，是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：
经检验，是原分式方程的解．
20. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，2
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，将方程变形即可解答．
【详解】解：原式
根据方程，得，
故原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）在图中画出关于x轴对称的图形；
（2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）y轴，
（3）2.5
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用轴对称的性质解决问题即可；
（3）根据割补法求解．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即y轴，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为；
【小问3详解】
．
【点睛】本题考查了坐标与轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22. 如图，在与中，点、在线段上，，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，平行线的性质是解题的关键．根据，得到，由 ，推出，结合，，可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】证明：，，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
B卷（共50分）
四、填空题（共2个小题，每小题5分，共10分）
23. 分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________
【答案】，且
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，由解为非负数求出的范围即可．
【详解】解：
，
，
分式方程的解是非负数，
，且，
解得：，且，
故答案为：，且．
24. 根据，，， …的规律，则可以得出的末位数字是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可．
【详解】解：第1个等式为，
第2个等式为，
第3个等式为，
第4个等式为，
……
第n个等式为，
∴
，
∵，，，，，，，……，
∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环，
又，
∴即的末位数为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查整式的规律探究、数字类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25. 如图，，都是等边三角形， 且B、E、C三点在一条直线上.

（1）求.的度数；
（2）若点M、N分别是线段和的中点，连接，，，试判断的形状，并说明理由.
【答案】（1）60度 （2）等边三角形，见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
（1）利用等边三角形的性质推出即可求出结果；
（2）由（1）得出的，得到，，结合已知推出，从而得出，即可得出结论；
根据等边三角形性质推出是解答本题的关键．
【小问1详解】
， 是等边三角形，
，，，，
，
，
，
；
【小问2详解】

，
，，
为中点，为中点，
，，
，
又，
，
，，
，
是等边三角形．
26. 暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走路线，全程2000千米，乙队走路线，全程2400千米，由于路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．
（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
（2）甲乙两队规划的总预算为15600．甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求的值最大是多少．
【答案】26. 甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地； 27. 6
【解析】
【分析】（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，根据乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案；
（2）根据两队路途中共花费15600元，可得出关于a的一元一次不等式，取其符合题意的值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
答：甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得，
∵a是整数，
∴的值最大是6．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程和不等式．
27. 阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值；
（2）应用：若与，试比较与的大小．
【答案】（1）有最小值，这个最值为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据配方法，对式子进行配方，求解即可；
（2）用作差法求得的范围，然后判断即可．
【小问1详解】
解：
又∵，
∴，
∴的最小值为
小问2详解】
解：∵，
∵，
∴，
∴
∴
【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式进行配方求解．
28. 如图，是边长为厘米的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为．

（1）当运动时间为秒时，的长为________厘米，的长为________厘米；用含的式子表示
（2）当为何值时，直角三角形；
（3）如图，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】（1），
（2） 或
（3）不变，且
【解析】
【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到，则；
（2）分当时和当时，两种情况讨论求解即可；
（3）只需要证明得到，则，即不会变化．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∵，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，；

当时，
，
，
，
∴
解得 ；
综上所述，当 或 时，为直角三角形．
【小问3详解】
解：不变，且，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴不会变化．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键．