贵州省安顺市2024届高三下学期模拟考试（一）数学试卷及答案

这是一份贵州省安顺市2024届高三下学期模拟考试（一）数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知是复数，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．150B．140C．130D．120
4．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆一定相交
C．若直线平分圆的周长，则
D．直线被圆截得的最短弦的长度为
6．2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（ ）
A．6种B．9种C．18种D．36种
7．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设样本数据的平均数为，中位数为，方差为，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则样本数据的分位数为11
10．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ）
A．动点的轨迹是圆
B．平面平面
C．三棱锥体积的最大值为3
D．三棱锥外接球的半径不是定值
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为 .（球的厚度可忽略不计）
14．设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
16．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
(1)甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；
(2)活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
(3)甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.
18．已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】根据交集的定义，即可求解.
【详解】由集合，得.
故选：B
2．A
【分析】根据复数的除法运算公式，即可化解求值.
【详解】由可知，.
故选：A
3．D
【分析】由条件求出等差数列的首项和公差，再代入前项和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，解得：，
所以.
故选：D
4．C
【分析】代入投影向量公式，即可求解.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：C
5．B
【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可求解.
【详解】A.联立，得，不管为何值，直线恒过点，故A错误；
B.，所以点在圆内，即直线与圆一定相交，故B正确；
C. 若直线平分圆的周长，在直线过圆心，，得，故C错误；
D.当定点为弦的中点时，此时弦长最短，
此时圆心到弦所在直线的距离，
则弦长，故D错误.
故选：B
6．D
【分析】首先理解题意，再结合组合数公式，即可求解.
【详解】由题意可知，每支省内的足球队都要和省外一支球队比赛一场，则有种方法.
故选：D
7．B
【分析】首先求函数的解析式，再根据，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.
【详解】由三角函数的图像变换规律可知，，
，，
因为函数在上单调递增，所以，且，
得.
故选：B
8．D
【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，
所以时，，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.
9．ABD
【分析】根据样本的平均数，中位数，方差和百分位数公式，即可求解.
【详解】A.，，故A正确；
B.，根据中位数的定义可知，，故B正确；
C.时，，则，故C错误；
D.，数据，，样本数据的分位数为第6个数据，即为11，故D正确.
故选：ABD
10．ABCD
【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.，当时，等号成立，故A正确；
B.，当时，等号成立，故B正确；
C.，故C正确；
D.，当时等号成立，故D正确 .
故选：ABCD
11．ABC
【分析】首先底面建坐标系，利用轨迹法求得点的轨迹，点也在轨迹圆上，再根据几何关系，以及体积公式，外接球的半径问题，利用数形结合，即可求解.
【详解】A.因为，所以在平面内，以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
设，，，
由知，，化简为，即点的轨迹为圆，故A正确；
B. 根据以上证明可知，点和在圆与轴的两个交点，如上图，由条件可知，点在圆上，
则，而平面，平面,所以，
所以是二面角的平面角，则平面平面，故B正确；
C.当点到的距离为2时，此时的面积最大，此时最大面积是,
则三棱锥体积的最大值为，故C正确；
D.由以上证明可知，，且，如图，
取的中点，作平面，且，
所以，
所以三棱锥外接球的半径是定值，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并在底面建立坐标系，求点的轨迹，后面的选项就会迎刃而解.
12．/
【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的平方关系构造齐次分式，再分子分母同时除以转化为正切的运算.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】首先假设球与下底面和侧面相切，根据几何关系和计算，能证明求与上底面也相切，由此可以求得球的半径，即可求得球的体积的最大值.
【详解】当球与下底面和侧面相切，如图，
圆台及其内切球的轴截面如图所示，
由题意可知，设分别梯形的上下底的中点，连结，
如图，作，交于点，点为侧面的切点，
则，则，，
则，
因为，所以，且,
所以球与上底面也相切，故内切球的半径为，此时为圆台内的最大的球，
内切球的体积.
故答案为：
14．/
【分析】依据题意求出点坐标，利用所给条件构造齐次方程求解离心率即可.
【详解】
由题意得，，，则，
直线的斜率为，即，联立方程组，，
可得，而，
故，代入直线中得，故,
可得，由题意得，
可得，化简得，
即，化简得，
同除得，且，解得.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解；
（2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
又，所以，
即.
又，所以.
（2）由余弦定理，得，
所以.
由基本不等式知，
于是.
当且仅当时等号成立.
所以的面积，
当且仅当时，面积取得最大值.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面，即可证明；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为底面底面，
所以.
因为底面是矩形，所以.
又，且平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以.
设平面的法向量为，则
，则
取，得.
设平面的法向量为，则
，则
取，得.
设平面与平面的夹角为，则
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）根据全概率概率公式计算可得；
（3）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）设“甲猜对一个灯谜”，“乙猜对一个灯谜”，则
因为甲､乙恰有一人猜对的事件为，
所以
，
所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为.
（2）设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，
则
，
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.
（3）由（1）知，.
易知甲､乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为，，，，.
则，
，
，
，
，
所以的分布列为
因此，的数学期望
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得，，可求得双曲线的方程为；
（2）设出两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明；
（3）设直线的方程为，求出直线与轴的交点分别为的坐标，联立直线和双曲线方程利用韦达定理化简即可得出证明.
【详解】（1）因为虚轴长，所以.
又因为点在双曲线上，所以，
解得.
故双曲线的方程为.
（2）证明：如下图所示：
设，则
所以
因为在双曲线上，所以，可得；
于是，
所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是.
（3）证明：设，直线的方程为，如下图所示：
联立，消去整理可得①
则
所以②
③
直线的方程为，令，得点的横坐标为；
同理可得点的横坐标为；
所以
将①②③式代入上式，并化简得到
所以的中点的横坐标为，
故的中点是定点.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解.
【详解】（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分和两种情况，利用导数判断附近的单调性.
0
1
2
3
4