青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 设集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数轴法解决集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
答案：B
2. 将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（ ）
A. ∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B. ∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
C. ∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D. ∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的概念，改写命题，即可得答案.
【详解】命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.
故选：D
3. 将化为弧度为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角度制与弧度制的关系求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的性质判断各项对应函数是否符合题设.
【详解】由幂函数性质知：、为偶函数，为奇函数，为非奇非偶函数，
在上递减，递增，
综上，是偶函数，在区间上单调递减.
故选：A
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数真数大于零可得出关于实数的不等式，进而可求得原函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：B.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
6. 已知，，则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．
考点：均值定理
7. 函数 的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，结合对数函数的性质即可得解.
【详解】因为，故排除D；
当时，，故排除BC；
结合对数函数的性质可知A正确.
故选：A.
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分，多选错选不得分）
9. 下列四个选项能推出的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
分析】等价于，然后逐个分析判断即可.
【详解】，
对于A，当时，，所以，所以A正确，
对于B，当时，，所以，所以B错误，
对于C，当时，，所以，所以C正确，
对于D，当时，，所以，所以D正确，
故选：ACD
10. 下列各图象表示的函数有零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由函数零点的定义对比选项即可得解.
【详解】对比各选项函数图象可知，其中与轴有交点的选项是ABC.
故选：ABC.
11. 已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A. r是q的充要条件B. p是q的充分不必要条件
C. r是q的必要不充分条件D. r是s的充分不必要条件
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】依题意p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，
即，
所以是的充要条件，A选项正确.
是的充分不必要条件，B选项正确.
是的充要条件，C选项错误.
是的充要条件，D选项错误.
故选：AB
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件，属于基础题.
12. 对于函数，给出下列选项其中不正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 存，使
C. 存在，使函数的图象关于轴对称
D. 存在，使恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的对称性，函数的值域对称轴判断选项的正误即可.
【详解】函数，
对于：函数，当时，，
不能得到函数的图象关于点对称.不对；
对于，可得，，不存在；
不对.
对于：函数的对称轴方程为：，可得，
当，时，可得图象关于轴对称.对.
对于说明是函数的周期，
函数的周期为，故，
不存在，使恒成立，不对.
故选：.
【点睛】本题考查和差公式及三角函数性质，根据公式对原式进行化简，再代入选项值判断对称性、周期性即可，属于中等题.
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则的值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用的解析式，依次计算与即可得解.
【详解】因为，
所以,
则.
故答案为：.
14. 函数的单调递减区间是____．
【答案】
【解析】
【详解】设，
其中在是减函数，
在上是减函数，在上是增函数，
由复合函数单调性可知，的减区间为.
故答案为：
15. 如图，以正方形中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为_________.

【答案】；
【解析】
【详解】设正方形的边长为，由已知可得 .
的弧度数大小.
16. 将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值．
【详解】解：将函数，
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，
再向右平移个单位长度得到的图象，
，且，，
解得，，函数，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
三、解答题（17题10分，其它题各12分，共70分)
17. 已知集合，
（1）若，求实数的值
（2）若集合，且，求
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据是方程的根，代值计算即可；
（2）根据是和的根，代值求得，再求得集合以及其并集即可.
【小问1详解】
因为，故可得，解得.
故实数的值为.
【小问2详解】
因为，故是方程的根，
则，解得，此时，
即，解得或，故；
又是方程的根，
则，解得，此时，
即，解得或，故；
故.
18. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.
【小问1详解】
根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
原式.
【小问2详解】
由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：
.
19. 已知函数，且.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算；
（2）分，分别求解，注意检验即可得解.
【小问1详解】
因为，，
故，解得，故，
所以，.
【小问2详解】
因为，
当时，，解得，舍去；
当时，，解得或（舍去）；
综上，
20. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
【答案】30 min.
【解析】
【分析】首先根据咖啡降温到需要20min求得，再将代入解析式可得答案.
【详解】先设定半衰期h，由题意知
，
即，解之，得，
故原式可化简为
当时，代入上式，得，
即，∴.
因此，需要30 min，可降温到.
21. 设函数
(1)利用函数单调性的定义，证明:在单调递增；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性定义直接证明即可．
（2）利用函数的单调性，求出函数在区间内的值域，分离参数即可．
【详解】（1）由，任取，且，
则
又因为，
所以， ，
所以，即
所以
故在上单调递增
（2）由，则
若要使对任意的恒成立，只需即可，
因为在上单调递增，即在上单调递增，
所以，故，
所以实数的取值范围为．
【点睛】本题考查了定义证明函数的单调性，步骤“作差、变形、定号”；同时考查不等式恒成立求参数的取值范围，可采用“分离参数法”，转化为求函数的最值，属于中档题．
22. 已知点在角的终边上，且，
（1）求 和的值；
(2)求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】(1)解方程即得t的值，再利用平方关系求.(2)用诱导公式化简再代入和的值求解.
【详解】（1）由已知，所以解得，
故θ为第四象限角，；
（2）
=.
【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义和同角的平方关系，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.