2025版高考数学一轮复习真题精练第七章立体几何第25练空间角与距离空间向量及其应用课件

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1 [2020新高考Ⅰ卷·4,5分,难度★☆☆☆☆]日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为A.20°B.40°C.50°D.90°
【解析】1.B　过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示,其中CD为晷面,GF为晷针所在直线,EF为点A处的水平面,GF⊥CD,CD∥OB,∠AOB=40°,∠OAE=∠OAF=90°,所以∠GFA=∠CAO=∠AOB=40°.故选B.
2 [2022浙江卷·8,4分,难度★★★☆☆]如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α,EF与平面ABC所成的角为β,二面角F-BC-A的平面角为γ,则A.α≤β≤γB.β≤α≤γC.β≤γ≤αD.α≤γ≤β
4 [多选][2022新高考Ⅰ卷·9,5分,难度★★☆☆☆]已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
【解析】6.【参考答案】　(1)第1步:作辅助线,证DE⊥BC,AE⊥BC如图,连接DE,AE,因为DC=DB, 且E为BC的中点,所以DE⊥BC.因为∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,所以△ADB≌△ADC(SAS).可得AC=AB, 故AE⊥BC.第2步:证BC⊥平面ADE因为DE∩AE=E,DE,AE⊂平面ADE,所以BC⊥平面ADE.第3步:证BC⊥DA又DA⊂平面ADE,所以BC⊥DA.
 8[2021新高考Ⅰ卷·20,12分,难度★★★☆☆]如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
9[2022新高考Ⅱ卷·20,12分,难度★★★☆☆]如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
【解析】9.【参考答案】　(1)如图,取AB的中点D,连接DP,DO,DE.因为AP=PB,所以PD⊥AB.因为PO为三棱锥P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,因为AB⊂平面ABC,所以PO⊥AB.又PO,PD⊂平面POD,且PO∩PD=P,所以AB⊥平面POD.因为OD⊂平面POD,所以AB⊥OD,又AB⊥AC,所以OD∥AC,因为OD⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,所以OD∥平面PAC.因为D,E分别为BA,BP的中点,所以DE∥PA,因为DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC. 又OD,DE⊂平面ODE,OD∩DE=D,所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE,所以OE∥平面PAC.
10[2021全国甲卷·19,12分,难度★★★☆☆]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:BF⊥DE;(2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?
13[2020全国Ⅱ卷·20,12分,难度★★★☆☆]如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值..