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2025版高考数学一轮复习真题精练第三章导数及其应用第11练利用导数研究不等式恒成立或有解问题课件
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这是一份2025版高考数学一轮复习真题精练第三章导数及其应用第11练利用导数研究不等式恒成立或有解问题课件，共18页。
1[2020新高考Ⅰ卷·21,12分,难度★★★☆☆]已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
4[2021天津卷·20,16分,难度★★★★☆]已知a>0,函数f(x)=ax-xex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)证明f(x)存在唯一的极值点;(3)若存在a,使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立,求实数b的取值范围.
【解析】4. (1)因为f(x)=ax-xex,所以f(0)=0,f'(x)=a-ex-xex,所以f'(0)=a-1,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=(a-1)(x-0),即y=(a-1)x. (2)f'(x)=a-ex-xex=a-ex(x+1),令g(x)=ex(x+1),则g'(x)=ex(x+2),令g'(x)=0,得x=-2,当x<-2时,g'(x)<0,当x>-2时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增.因为当x=-1时,g(x)=0,当x<-1时,g(x)<0,当x>-1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→+∞,且a>0,所以方程f'(x)=a-ex-xex=a-ex(x+1)=0有且只有一个实根,设实根为x0,则x0>-1,
1[2020新高考Ⅰ卷·21,12分,难度★★★☆☆]已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
4[2021天津卷·20,16分,难度★★★★☆]已知a>0,函数f(x)=ax-xex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)证明f(x)存在唯一的极值点;(3)若存在a,使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立,求实数b的取值范围.
【解析】4. (1)因为f(x)=ax-xex,所以f(0)=0,f'(x)=a-ex-xex,所以f'(0)=a-1,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=(a-1)(x-0),即y=(a-1)x. (2)f'(x)=a-ex-xex=a-ex(x+1),令g(x)=ex(x+1),则g'(x)=ex(x+2),令g'(x)=0,得x=-2,当x<-2时,g'(x)<0,当x>-2时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增.因为当x=-1时,g(x)=0,当x<-1时,g(x)<0,当x>-1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→+∞,且a>0,所以方程f'(x)=a-ex-xex=a-ex(x+1)=0有且只有一个实根,设实根为x0,则x0>-1,
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