新高考数学一轮复习微专题专练14函数模型及其应用（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习微专题专练14函数模型及其应用（含详解），共4页。

一、选择题
1．[2023·河北唐山一中期中]某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：时)满足p(t)＝p0×2－ eq \f(t,30) ，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
2．[2023·广东惠州调研]为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)( )
A．2030年 B．2029年
C．2028年 D．2027年
3．2023年6月4日6时30分许，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域安全着陆，神舟十五号载人飞船是使用长征二号F遥十五运载火箭发射成功的．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v＝2 000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) .如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是( )
A.M＝e6m B．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6 D． eq \f(M,m) ＝e6－1
4．中国的5G技术处于领先地位，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(S,N))) .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 eq \f(S,N) 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 eq \f(S,N) 从1 000提升至4 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)( )
A．10% B．20% C．50% D．100%
5．[2023·重庆巴蜀中学月考]2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减小”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N0·2 eq \s\up6(\f(－t,5 730)) (N0表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参考数据：lg23≈1.6，lg25≈2.3)( )
A．3 440年 B．4 010年
C．4 580年 D．5 160年
二、填空题
6．某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函数y＝abx＋c(b＞0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为________万部．
7．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0＜x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且R(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(108－\f(1,3)x2（0＜x≤10），,－x＋\f(175,x)＋57（10＜x≤25）.))
当年产量为________千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
8．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x＝3－ eq \f(2,t＋1) 的函数关系．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元．若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润为________万元．
专练14 函数模型及其应用
1．C 因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝ eq \f(\f(1,2)p0－p0,30－0) ，所以p0＝600ln 2.因为p(t)＝p0×2－ eq \f(t,30) ，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
2．B 设经过n年后，投入资金为y万元，则y＝2 000·(1＋20%)n.
由题意得2 000(1＋20%)n＞10 000，即1.2n＞5，则n lg 1.2＞lg 5，所以n＞ eq \f(lg 5,lg 1.2) ≈ eq \f(0.70,0.08) ＝8.75，所以n＝9，即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元．
3．D 12 km/s＝12 000 m/s，所以12 000＝2 000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) ，所以ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))) ＝6，则1＋ eq \f(M,m) ＝e6，所以 eq \f(M,m) ＝e6－1，故选D．
4．B 将信噪比 eq \f(S,N) 从1 000提升至4 000时，C增加了 eq \f(Wlg2（1＋4 000）－Wlg2（1＋1 000）,Wlg2（1＋1 000）) ≈
eq \f(lg24 000－lg21 000,lg21 000) ＝ eq \f(2,3lg210) ＝ eq \f(2,3) lg 2≈ eq \f(2,3) ×0.301 0≈0.2＝20%，故C大约增加了20%，选B.
5．B 由题得0.6·N0＝N0·2 eq \s\up6(\f(－t,5 730)) ，即2 eq \s\up6(\f(－t,5 730)) ＝ eq \f(3,5) ，
两边同时取以2为底的对数，则有 eq \f(－t,5 730) ＝lg2 eq \f(3,5) ＝lg23－lg25≈－0.7，
故t≈0.7×5 730＝4 011年，最符合题意的选项为B.
6．1.375
解析：由题意可知，当选用函数f(x)＝ax2＋bx＋c时，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，)) ∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3；
当选用函数g(x)＝abx＋c时，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g(4)＝1.35.
∵g(4)比f(4)更接近于1.37，∴选用函数g(x)＝abx＋c模拟效果较好，∴g(5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的销售量为1.375万部．
7．9
解析：设该公司在这一产品的生产中所获年利润为f(x)，当0＜x≤10时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－ eq \f(x3,3) －100；
当10＜x≤25时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.
故f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(81x－\f(x3,3)－100（0＜x≤10），,－x2＋30x＋75（10＜x≤25）.))
当0＜x≤10时，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，
得当x∈(0，9)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(9，10)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
故f(x)max＝f(9)＝81×9－ eq \f(1,3) ×93－100＝386.
当10＜x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.
综上，当x＝9时，年利润取最大值，为386.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．
8．37.5
解析：由题意，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x＝3－ eq \f(2,t＋1) ，
即t＝ eq \f(2,3－x) －1(1＜x＜3)，
所以月利润y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(48＋\f(t,2x))) x－32x－3－t＝16x－ eq \f(t,2) －3＝16x－ eq \f(1,3－x) － eq \f(5,2) ＝45.5－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(16（3－x）＋\f(1,3－x))) ≤45.5－2 eq \r(16) ＝37.5，
当且仅当16(3－x)＝ eq \f(1,3－x) ，即x＝ eq \f(11,4) 时取等号，
即该公司最大月利润为37.5万元．