新高考数学一轮复习微专题专练24平面向量基本定理及坐标表示（含详解）

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一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量 eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A． eq \f(1,4) B．1
C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2)
4．设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(1，－2)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(a，－1)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
6．已知向量m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin A，\f(1,2))) 与向量n＝(3，sin A＋ eq \r(3) cs A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是( )
A．2 eq \r(6) B． eq \f(25,12) C． eq \f(25,24) D． eq \f(25,6)
8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6，8)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)
9．正三角形ABC的内切圆圆心为Q，点P为圆Q上任意一点．若 eq \(QP,\s\up6(→)) ＝m eq \(QC,\s\up6(→)) ＋n eq \(QA,\s\up6(→)) ，则m＋n的取值范围是( )
A．[－1，1] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))) D．[－ eq \r(2) ， eq \r(2) ]
二、填空题
10．[2022·全国甲卷(文)，13]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
11．已知 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(2 eq \r(3) ，0)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(0，2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝t eq \(AB,\s\up6(→)) ，t∈R，当| eq \(OC,\s\up6(→)) |最小时，t＝________．
12．已知△ABC和点M满足 eq \(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝0，若存在实数m，使得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝m eq \(AM,\s\up6(→)) 成立，则m＝________．
[能力提升]
13．已知在Rt△ABC中，A＝ eq \f(π,2) ，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设 eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝a eq \(AB,\s\up6(→)) ＋b eq \(AC,\s\up6(→)) ，则a＋b的最大值为( )
A． eq \f(13,12) B． eq \f(5,4)
C． eq \f(17,12) D． eq \f(19,12)
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若 eq \(CA,\s\up6(→)) ＝λ eq \(CE,\s\up6(→)) ＋μ eq \(DB,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A． eq \f(6,5) B． eq \f(8,5)
C．2 D． eq \f(8,3)
15．(多选)已知向量m＝(1，0)，n＝( eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )，则( )
A．|m|＝ eq \r(2) |n|
B．(m－n)∥n
C．(m－n)⊥n
D．m与－n的夹角为 eq \f(3π,4)
16．如图，已知平面内有三个向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 、 eq \(OB,\s\up6(→)) 、 eq \(OC,\s\up6(→)) ，其中 eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) 的夹角为120°， eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OC,\s\up6(→)) 的夹角为30°，且| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝1，| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(3) .若 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋μ eq \(OB,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
专练24 平面向量基本定理及坐标表示
1．D 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝0)) 无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,－2＝2λ)) 无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝－λ)) 无解；
选项D中，e1＋3e2＝ eq \f(1,2) (6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．
2．D eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2))) ＝(－1，2).
3．C ∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，
∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，
得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，
∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＝－1，,m＋5n＝1，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(2,3)，,n＝\f(1,3)，))
∴m＋n＝－ eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) ＝－ eq \f(1,3) .
4．D ∵ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(a－1，1)， eq \(CB,\s\up6(→)) ＝(a＋b，－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b))) (2a＋b)＝4＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4a,b) ≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b)) ＝8(当且仅当 eq \f(b,a) ＝ eq \f(4a,b) 即a＝ eq \f(1,4) ，b＝ eq \f(1,2) 时等号成立)
5．A 设点N的坐标为(x，y)，则 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝(x－5，y＋6)
又 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝－3a＝(－3，6)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＝－3，,y＋6＝6，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))
6．C ∵m∥n，∴sin A(sin A＋ eq \r(3) cs A)－ eq \f(3,2) ＝0，
∴2sin2A＋2 eq \r(3) sinA cs A＝3.
可化为1－cs 2A＋ eq \r(3) sin 2A＝3，∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6))) ＝1.
∵A∈(0，π)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6))) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6))) .
因此2A－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ，解得A＝ eq \f(π,3) .故选C.
7．C ∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，
又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y) ＝2 eq \r(6xy) ，(当且仅当2x＝3y，即：x＝ eq \f(5,4) ，y＝ eq \f(5,6) 时等号成立)，
∴xy≤ eq \f(25,24) ，故选C.
8．D 由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m<0)，则|b|＝ eq \r(（－3m）2＋（4m）2) ＝10，解得m＝－2或m＝2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.
9.
A 如图所示，以BC所在直线为x轴，BC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设Q(0，1)，则A(0，3)，C( eq \r(3) ，0)，圆Q的方程为x2＋(y－1)2＝1，设P(cs θ，1＋sin θ)(θ∈R)，则 eq \(QP,\s\up6(→)) ＝(cs θ，sin θ)，又 eq \(QA,\s\up6(→)) ＝(0，2)， eq \(QC,\s\up6(→)) ＝( eq \r(3) ，－1)，所以m eq \(QC,\s\up6(→)) ＋n eq \(QA,\s\up6(→)) ＝m( eq \r(3) ，－1)＋n(0，2)＝( eq \r(3) m，2n－m).又 eq \(QP,\s\up6(→)) ＝m eq \(QC,\s\up6(→)) ＋n eq \(QA,\s\up6(→)) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs θ＝\r(3)m,sin θ＝2n－m)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,\r(3))cs θ,n＝\f(1,2)sin θ＋\f(1,2\r(3))cs θ)) (θ∈R)，所以m＋n＝ eq \f(1,2) sin θ＋ eq \f(\r(3),2) cs θ＝sin (θ＋ eq \f(π,3) )∈[－1，1]，故选A.
10．－ eq \f(3,4)
解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－ eq \f(3,4) .
11. eq \f(3,4)
解析：依题意得 eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝t(－2 eq \r(3) ，2)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝t(－2 eq \r(3) ，2)＋ eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(2 eq \r(3) －2 eq \r(3) t，2t)，| eq \(OC,\s\up6(→)) |2＝12(1－t)2＋4t2＝16 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,4))) eq \s\up12(2) ＋3≥3，当且仅当t＝ eq \f(3,4) 时取等号．因此，当| eq \(OC,\s\up6(→)) |最小时，t＝ eq \f(3,4) .
12．3
解析：∵ eq \(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝0，∴M为△ABC的重心，设D为BC边的中点，
则 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )× eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )，
∴ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(AM,\s\up6(→)) ，∴m＝3.
13．C
根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，4)，B(3，0)，易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由 eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝a eq \(AB,\s\up6(→)) ＋b eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以 eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝(3a，4z－4a).设Q(x，y)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3a，,y＝4z－4a，)) 消去a，得y＝－ eq \f(4,3) x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－ eq \f(4,3) x＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝ eq \f(12,5) ，|AR|＝ eq \f(17,5) ，所以点A到直线y＝－ eq \f(4,3) x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离为 eq \f(17,5) ，所以 eq \f(|－12z|,\r(32＋42)) ＝ eq \f(17,5) ，解得z＝ eq \f(17,12) ，即a＋b的最大值为 eq \f(17,12) ，故选C.
14．B
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴ eq \(CA,\s\up6(→)) ＝(－2，2)， eq \(CE,\s\up6(→)) ＝(－2，1)， eq \(DB,\s\up6(→)) ＝(1，2)，
∵ eq \(CA,\s\up6(→)) ＝λ eq \(CE,\s\up6(→)) ＋μ eq \(DB,\s\up6(→)) ，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，)) 解得λ＝ eq \f(6,5) ，μ＝ eq \f(2,5) ，则λ＋μ＝ eq \f(8,5) .故选B.
15．ACD 因为m＝(1，0)，n＝( eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )，所以|m|＝1，|n|＝ eq \r(（\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2) ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以|m|＝ eq \r(2) |n|，故A正确；因为m－n＝( eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,2) )，所以m－n与n不平行，故B错误；又(m－n)·n＝0，故C正确；因为cs 〈m，－n〉＝ eq \f(m·（－n）,|m||－n|) ＝－ eq \f(\r(2),2) ，所以m与－n的夹角为 eq \f(3π,4) ，故D正确．
16．6
解析：方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，则 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝OB1＋OA1，因为 eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) 的夹角为120°， eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OC,\s\up6(→)) 的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2 eq \r(3) ，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝4 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OB,\s\up6(→)) ，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，
B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) ，C(3， eq \r(3) ).
由 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋μ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝λ(1，0)＋μ(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) )，得(λ－ eq \f(1,2) μ， eq \f(\r(3),2) μ)＝(3， eq \r(3) )，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.)) 所以λ＋μ＝6.